2023-2024学年广西大学附属中学高二上学期开学考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat14页2023-2024学年广西大学附属中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．复数（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】根据复数的除法运算法则化简求解即可.【详解】复数.故选：B.2．在下列各组向量中，可以作为基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据平面向量基底的意义，利用共线向量的坐标表示判断作答.【详解】对于A，与共线，A不是；对于B，由知，与不共线，B是；对于C，由知，，共线，C不是；对于D，由知，，共线，D不是.故选：B3．已知，则的值为（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】利用三角函数齐次式进行弦化切，从而代入即可得解.【详解】因为，所以.故选：C.4．已知个数的平均数为，方差为，则数据的平均数和方差分别为（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】利用平均数与方差的性质求解即可.【详解】因为的平均数为，方差为，所以数据的平均数为，方差为.故选：D.5．为抗击新冠肺炎疫情，全国各地的医护人员纷纷请战支援武汉，某医院从请战的5名医护人员中随机选派2名支援武汉，已知这5名医护人员中有一对夫妻，则这对夫妻恰有一人被选中的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用古典概型公式求解即可.【详解】该事件的基本事件为,符合条件的事件分为夫妻中男方被选中和女方被选中两种情况，其中男方被选中的事件数为,女方被选中的事件数为,根据古典概型公式可知，这对夫妻恰有一人被选中的概率为,故选：.6．已知，且，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】转化，由空间向量数量积的坐标表示即可得解.【详解】由题意，，又，故，解得.故选：C.7．函数可以由经过变换得到，则变换方式正确的是（

）A．的纵坐标不变；横坐标伸长为原来的3倍，再向右平移个单位B．的纵纵标不变，模坐标缩短到原来的，再向右平移个单位C．向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍D．向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的【答案】D【分析】根据选项，利用三角函数平移变换的性质依次求出解析式即可得解.【详解】对选项A，的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的3倍，得到，再向右平移个单位，得到，故A错误；对选项B，的图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，再向右平移个单位，得到，故B错误.对选项C，的图象向右平移个单位，得到，再保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，得到，故C错误；对选项D，的图象向右平移个单位，得到，再保持纵坐标不变，横坐标缩短到原来的，得到，故D正确.故选：D.8．若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】C【分析】先求得的值，根据数量积的运算法则求得以及的模，再根据向量的夹角公式，即可求得答案.【详解】由题意可得，故，，，故，由于，故，故选：C.9．总体由编号为01､02､…､19､20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法从随机数表第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（

）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A．08 B．04 C．02 D．01【答案】D【分析】根据随机数表法取出满足条件的个体即可.【详解】由题可知从第1行的第5列数字开始由左到右依次选取两个数字第一个两位数为65，不满足在01到20之间舍去，依次往后取满足条件的数为：08，02，14，07，01，所以取出的第5个个体是01，故选：D.10．某学生参与一种答题游戏，需要从A，B，C三道试题中选出一道进行回答，回答正确即可获得奖品.若该学生选择A，B，C的概率分别为0.3，0.4，0.3，答对A，B，C的概率分别为0.4，0.5，0.6，则其获得奖品的概率为（

）A．0.5 B．0.55 C．0.6 D．0.75【答案】A【分析】利用互斥事件和独立事件的概率求解.【详解】解：该学生获得奖品的概率为.故选：A二、多选题11．已知平面内的两个向量的，则平面的一个法向量可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】设平面的法向量为，根据向量垂直的坐标表示求解可得答案.【详解】设平面的法向量为，因为向量，所以，取，得，取，得.故选：BC.12．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面圆的直径，，点C在底面圆周上，且二面角为，则下列选项正确的是（

）A．该圆锥体积为 B．该圆锥的侧面积为C． D．的面积为【答案】ABC【分析】根据圆锥的体积、侧面积公式判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.【详解】依题意，，，则，A选项，圆锥的体积为，A选项正确；B选项，圆锥的侧面积为，B选项正确；C选项，设是的中点，连接，易得，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选：ABC.三、填空题13．已知函数，则．【答案】/1.5【分析】将代入函数表达式即可求解.【详解】由题意将代入函数表达式，可得.故答案为：.14．若平面向量的夹角为，且，则．【答案】【分析】先用平面向量运算法则求出，从而求出模长.【详解】，所以.故答案为:.15．在正四棱台中，，则．【答案】/【分析】结合图像，依次求得，从而利用棱台的体积公式即可得解.【详解】如图，过作，垂足为，易知为四棱台的高，

因为，则，故，则，所以所求体积为.故答案为：.16．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为．【答案】/【分析】建立空间直角坐标系，求得，从而利用向量的夹角公式求解.【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系，

则，则，故，所以，即与所成的角的余弦值为.故答案为：.四、解答题17．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面积，对等式恒等变换，即可解出．【详解】（1）因为，所以，解得：．（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为．18．如图，在长方体中，，，E是CD的中点，F是BC的中点．求证：平面平面．【答案】证明见解析【分析】建立空间直角坐标系，求出点的坐标与平面的法向量，利用空间向量法证明即可；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设面的法向量为，则，即，令，则，所以；设面的法向量为，则，即，令，则，所以；因为，所以所以平面平面．19．某城市交通部门为了对该城市共享单车加强监管，随机选取了100人就该城市共享单车的推行情况进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照分成5组，制成如图所示频率分直方图.（1）求图中的值；（2）求这组数据的平均数和中位数；（3）已知满意度评分值在内的男生数与女生数的比为3：2，若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求2人均为男生的概率.【答案】（1）；（2）平均数为，中位数设为；（3）.【解析】（1）由各组的频率和为1，列方程可求出的值；（2）由平均数的公式直接求解，由图可得中位数在第3组，若设中位数设为，则，从而可求得的值；（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人，从5人中选2人，用列举法列出所有情况，利用概率公式求解即可【详解】（1）由，解得.（2）这组数据的平均数为.中位数设为，则，解得.（3）满意度评分值在内有人，其中男生3人，女生2人.记为，记“满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，恰有1名女生”为事件，从5人中抽取2人有：，，，，，，，，，所以总基本事件个数为10个，包含的基本事件个数为3个，所以.20．已知在中，点在线段上，且，延长到，使.设，.(1)用、表示向量、；(2)若向量与共线，求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）分析可知为的中点，利用平面向量的线性运算可得出关于、的表达式，结合平面向量的减法可得出关于、的表达式；（2）分析可知，存在，使得，根据平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得实数的值.【详解】（1）解：因为，结合图形可知为的中点，所以，，因为，则，所以，.（2）解：因为，因为向量与共线，则存在，使得，即，所以，，解得.21．已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根据角的关系及两角和差正弦公式，化简即可得解；（2）利用同角之间的三角函数基本关系及两角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根据等面积法求解即可.【详解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.22．如图，四棱锥中，，，，为正三角形，且平面平面，为侧棱的中点.

(1)求证：平面；(2)若，求直线与平面所成的角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取侧棱的中点，连结，可证四边形为平行四边形，可得，从而问题得证；