2023-2024学年四川省达州外国语学校高二上学期9月月考数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat20页2023-2024学年四川省达州外国语学校高二上学期9月月考数学试题一、单选题1．在空间直角坐标系中，已知点M是点在坐标平面内的射影，则点M的坐标是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】点在平面内的射影是坐标不变，坐标为0的点.【详解】点在坐标平面内的射影为，故点M的坐标是故选：C2．一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】通过几何体结合三视图的画图方法，判断选项即可.【详解】几何体的俯视图，轮廓是矩形，几何体的上部的棱都是可见线段，所以C、D不正确，几何体的上部的棱与正视图方向垂直，所以A不正确故选：B.3．如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形的面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据斜二测画法还原四边形，由梯形面积公式求解．【详解】如图，作平面直角坐标系，使与重合，在轴上，且，在轴上，且，

过作，且，连接，则直角梯形为原平面图形，其面积为．故选：C4．如图，G，H，M，N均是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示GH，MN是异面直线的图形的序号为（

）

A．①② B．③④ C．①③ D．②④【答案】D【分析】根据异面直线的定义即可结合图形关系求解.【详解】在题图②④中，直线GH，MN是异面直线；在题图①中，由G，M均为所在棱的中点，易得；在题图③中，连接GM，由G，M均为所在棱的中点，所以,且，易得四边形GMNH为梯形，则GH与MN相交．

故选：D．5．下列说法正确的是（

）A．如果直线l不平行于平面α，那么平面α内不存在与l平行的直线B．如果直线//平面α，平面//平面β，那么直线//平面βC．如果直线l与平面α相交，平面//平面β，那么直线l与平面β也相交D．如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β【答案】C【分析】根据直线与平面的关系判断A，根据线面平行、面面平行的性质判断B，由直线与平面相交即平面平行的性质判断C，根据平面垂直的性质判断D.【详解】如果直线l不平行于平面α，例如，则平面α内存在与l平行的直线，故A错误；如果直线//平面α，平面//平面β，那么直线//平面β或，故B错误；如果直线l与平面α相交，平面//平面β，直线l与平面β也相交，故C正确；如果平面平面γ，平面平面γ，那么平面//平面β或与相交，故D错误.故选：C6．已知正三棱台的上､下底面的棱长分别为3和6，侧棱长为2，则该正三棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用勾股定理求出三棱台的高，再根据棱台的体积公式即可求解.【详解】如图画出正三棱台，连接上下底面中心，即为三棱台的高，过作，垂足为，则，,又上下底面外接圆半径分别，，侧棱长为，所以正三棱台的高为，因为正三棱台的上､下底面的边长分别为3，6，所以上下底面面积分别为，，所以其体积为.故选：D.7．如图，球面上有、、三点，，，球心到平面的距离是，则球的体积是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】求出外接圆的半径，结合已知条件可求得球的半径，再利用球体体积公式可求得球的体积.【详解】在中，，，则外接圆的直径为，所以，，因此，球心到平面的距离为，所以，球的半径为，因此，球的体积为.故选：B.8．如图正方体的棱长为1，线段上有两个动点且，则下列结论错误的是（

）A．与所成角为B．三棱锥的体积为定值C．平面D．二面角是定值【答案】A【分析】利用线面平行和线面垂直的判定定理和棱锥的体积公式以及二面角的定义对选项进行逐个判断即可得到答案.【详解】选项A，AC⊥BD，AC⊥BB1，且BDAC⊥面DD1B1B，即得AC⊥BE，此命题错误；选项B,由几何体的性质及图形知，三角形BEF的面积是定值，A点到面DD1B1B距离是定值，故三棱锥A﹣BEF的体积为定值，此命题正确；选项C，由正方体ABCD﹣A1B1C1D1的两个底面平行，EF在其一面上且EF与平面ABCD无公共点，故EF∥平面ABCD，此命题正确；选项D，由于E、F为线段B1D1上有两个动点，故二面角A﹣EF﹣B的平面角大小始终是二面角A﹣B1D1﹣B的平面角大小，为定值，故正确；故选A.【点睛】本题考查线面平行和线面垂直的判定定理的应用，考查棱锥体积公式以及二面角定义的应用，属于基础题.二、多选题9．以下各角中可能为钝角的有（

）A．异面直线所成角 B．直线和平面所成角C．二面角的平面角 D．两个向量形成的角【答案】CD【分析】根据各类角的范围直接判断可得.【详解】异面直线所成角的范围为，A错误；直线和平面所成角的范围为，B错误；二面角的平面角的范围为，C正确；两个向量形成的角的范围为，C正确.故选：CD10．《蝶恋花·春景》是北宋大文豪苏轼所写的一首词作.其下阙为：“墙里秋千墙外道，墙外行人，墙里佳人笑，笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼”.如图所示，假如将墙看做一个平面，墙外的道路､秋千绳､秋千板简单看做是直线.那么道路和墙面线面平行，秋千静止时，秋千板与墙面线面垂直，秋千绳与墙面线面平行.那么当佳人在荡秋千的过程中（

）A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直【答案】ACD【分析】根据图中秋千绳，墙面，道路的位置关系以及相关的线面，线线垂直的判定定理、性质定理等即可判断．【详解】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行，但与道路所成的角在变化.而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直．故选：ACD.11．如图，已知分别是的中点，分别在上，，二面角的大小为，且平面，则以下说法正确的是（

）

A．四点共面B．平面C．若直线交于点，则三点共线D．若的面积为6，则的面积为3【答案】ACD【分析】由题意证出即可判断A项；假设B项正确，然后利用直线与平面平行的性质得出，从而推出与已知条件矛盾的结论，可判断B项；利用基本事实3可判断C项；通过作出二面角的平面角，从而找到与的公共边上的高之间的关系，从而求出结果，可判断D项.【详解】由知EF平行且等于，又分别是的中点，所以GH平行且等于，∴，因此E，F，G，H四点共面，A项正确；假设平面ADC成立，因为平面，平面平面，所以，又G是BC的中点，所以F是AB的中点，与矛盾，B项不正确；因为直线交于点，所以，，因为平面，，所以平面，同理平面，因为平面平面，所以，所以P，A，C三点共线，因此C正确；在平面内作，垂足为，连接，因为平面，平面，所以，又因为平面，所以平面，又平面，所以，则为二面角的平面角，即，因为平面，平面，所以，所以，所以，D正确.故选：ACD.12．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑中，平面ABC，，且.若鳖臑外接球的体积为，则当该鳖臑的体积最大时，下列说法正确的是（

）

A． B．C．该鳖臑体积的最大值为 D．该鳖臑的表面积为【答案】ABD【分析】根据鳖臑的几何特征，分别根据外接球半径求出边长判断A,B选项，根据体积及表面积公式计算判断C,D选项即可.【详解】在鳖臑中，四个面都为直角三角形，可知PC的中点O到四个顶点的距离都相等，所以点O是鳖臑外接球的球心，由外接球的体积为，得外接球半径，所以.设，，则，得，所以，当且仅当时，取得最大值,A,B选项正确，C错误；此时，所以鳖臑的表面积，D选项正确.故选:ABD.三、填空题13．已知向量，，若与垂直，则.【答案】【分析】根据与垂直，可知，根据空间向量的数量积运算可求出的值，结合向量坐标求向量模的求法，即可得出结果.【详解】解：与垂直，，则，解得：，，则，.故答案为：.14．如图，在直三棱柱中，，点D是AB的中点，则直线和平面所成角的正切值为.【答案】【分析】作出直线和平面所成角，由此求得所成角的正切值.【详解】是的中点，所以，在直三棱柱中，，由于，所以平面.过作，垂足为，则，由于，所以平面，所以是直线和平面所成角，.所以直线和平面所成角的正切值为.故答案为：15．如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为．【答案】【分析】过点作平面，连接，则，由此可求得点的坐标.【详解】三棱柱中，侧面是边长为菱形，∠，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，过作平面，垂足是，连接，，则，点的坐标为．故答案为:.16．在边长为6的菱形ABCD中，，现将沿BD折起，当三棱锥的体积最大时，三棱锥的外接球的表面积为.【答案】【分析】当三棱锥的体积最大时平面平面，据此可求外接球的半径，从而可求表面积.【详解】当三棱锥的体积最大时平面平面，如图，取的中点为，连接，则，设分别为外接圆的圆心，为三棱锥的外接球的球心，则在上，在上，且，且，平面，平面，因为平面平面，平面平面，平面，故平面，故，同理，，故四边形为平行四边形，因为平面，平面，故，故四边形矩形，故，而，故外接球半径，故外接球的表面积为，故答案为：.【点睛】思路点睛：求几何体的外接球的半径，关键是确定球心的位置，一般通过过不同面的外接圆的圆心且垂直于该面的直线的交点来确定.四、解答题17．如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求：（1）该几何体的体积；（2）该几何体的表面积.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可.【详解】连接，交于点，取的中点，连接，，（1）∴（2）∵，∴【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高.18．如图所示，已知圆柱的侧面展开图的面积为，底面直径，为底面上异于，的点，且求：(1)二面角的余弦值(2)点到平面的距离．【答案】(1)(2)【分析】（1）依题意可得，证明平面，即可得到，则为二面角的平面角，再由锐角三角函数计算可得；（2）在平面中，作于，即可证明平面，即为点到平面的距离，在中，利用等面积法求出，即可得解．【详解】（1）是底面的直径，为底面上异于，的点，，又平面，平面，，又，，平面，平面，平面，，为二面角的平面角．因为圆柱的侧面展开图的面积为，底面直径，所以，，在中，，所以，在中，，所以，所以二面角的余弦值为；（2）在平面中，作于，由（1）知，平面，又平面，则，，，平面，所以平面，即为点到平面的距离，在中，，即点到平面的距离为.

19．如图所示，底面为正方形的四棱锥中，，，，与相交于点O，E为中点．

(1)求证：平面；(2)上是否存在点F，使平面平面．若存在，请指出并给予证明；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在点，证明见解析【分析】（1）利用线面平行的判断定理，判断，即可证明线面平行；（2）根据面面平行的判断定理，转化为判断线线平行，即可确定点的位置，即可证明.【详解】（1）因为分别是的中点，所以，且平面，平面，所以平面；（2）存在，点是的中点，此时，连结

因为分别是的中点，所以，平面，平面，所以平面，由（1）可知，平面，且，且平面，所以平面平面，所以上存在中点，使平面平面.20．在四棱锥中，底面是正方形，若，，．

(1)求证：平面平面；(2)求异面直线与所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取的中点为，连接，可证平面，从而得到平面平面.（2）连接，由可得与所成的角为异面直线与所成角，再求得，从而可得，即可得到答案.【详解】（1）

取的中点为，连接.因为，，则，而，故.在正方形中，因为，故，故，因为，故，故为直角三角形且，因为，平面，故平面，因为平面，故平面平面.（2）

因为，连接，则与所成的角为异面直线与所成角，所以或它的补角为所求的角，由题意可得，，所以，所以，即异面直线与所成角的余弦值为.21．如图，在直三棱柱中，.

(1)求证：；(2)求与平面所成的角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据直三棱柱的性质和各棱长可知，连接，利用线面垂直的判定定理可得平面，易知四边形为菱形，可得平面，由线面垂直的性质即可得；（2）取的中点，连接，可证明是与平面所成角的平面角，在中，易知，，即与平面所成的角的大小为.【详解】（1）连接与相交于点，如下图所示

在直棱柱中，平面平面，，又，平面，所以，平面，又平面，，四边形为菱形，即又，且平面，平面，又平面，.（2）取的中点，连接.如下图所示；

，又平面平面，又，且平面，平面，是在面内的射影，是与平面所成角的平面角.在中，易知，，即与平面所成的角的大小为.22．已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F分别是AB，CD上的点，EF∥BC，AE＝2，沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．