2021年中考数学复习讲座8：归纳猜想型问题(二)

2021年中考数学复习专题讲座八：归纳猜想型问题（二）

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数

字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者

其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者

证明，依此体现出猜想的实际意义。

二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善

于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。

其中蕴含着“特殊——一般—特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类

认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观

猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、

测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利

于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三、中考考点精讲

考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在

猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。

例8（2020苏州）已知在平面直角坐标系中放置了5个如图所示的正方形（用阴影表示），

点Bi在y轴上，点Ci、Ei、E2>C2、E3、&、C3在x轴上.若正方形AiBCQi的边长为1,

ZBiC|O=60°,BIB〃B2C2〃B3C3,则点A3到x轴的距离是（）

D*

考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；解直角三角形。

专题：规律型。

分析：利用正方形的性质以及平行线的性质分别得出D|E|=B2E2=3,B2c2=近，进而得出

_23

B3c3=工，求出WQ=U=3,FW=WA3・COS300=1xY3=近，即可得出答案.

3236326

解答：解：过小正方形的一个顶点W作FQLx轴于点Q,过点A3FLFQ于点F,

•.•正方形AIBICIDI的边长为1,ZBiCiO=60°,BCi〃B2c2〃B3c3,

AZB3C3E4=60°,ZDICIEI=30°,NE2B2c2=30°,

.,.D|E|=1D|C|=1,

22

AD1E1=B2E2=—,

2

1

BnE9O

cos30*JJ乙、

B2c2B2c2

解得：B2c2=1

_3

.•BE4=近，

6

cos3(r=^^,

B3c3

解得:B3c3=工，

3

则WC3」，

3

根据题意得出：ZWC3Q=30°,ZC3WQ=60°,ZA3WF=30%

.,.WQ=lxl=l,

236

FW=WA3・COS30°=L^=近，

326_

则点A3到x轴的距离是：FW+WQ=2+疸返

666

故选：D.

点评：此题主要考查了正方形的性质以及锐角三角函数的应用等知识，根据已知得出B3c3

的长是解题关键.

例9（2020绍兴）如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3,AC=4,D为斜边BC中点，第

1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P；设PD的中点为Di，第2次将

纸片折叠，使点A与点Di重合，折痕与AD交于点P2；设P?D的中点为D2,第3次将纸片

折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设PniD『2的中点为DnT，第n次

将纸片折叠，使点A与点D”।重合，折痕与AD交于点P”（n>2）,则AP6的长为（）

B

BB

5XB.365X36口.37

2125X292145X2”

考点：翻折变换（折叠问题）。

专题：规律型。

分析：先写出AD、ADi、AD2、AD3的长度，然后可发现规律推出AD”的表达式，继而根

据APn=.?ADn即可得出APn的表达式，也可得出AP6的长.

3

123

X

解答：解：由题意得，AD=1BC=9AD|=AD-DD|=.53,AD2=5.3AD3=-^£S-------

22232527

又APn=—ADn,

3

2..APn=5><31

故AP「5,AP2-15,AP3-5X3

4162622n

X5

故可得AP6=^J.

故选A.

点评：此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是写出前面几个有关线段长度的表达式,

从而得出一般规律，注意培养自己的归纳总结能力.

例10（2020广州）如图，在标有刻度的直线1上，从点A开始,

以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;

以BC=2为直径画半圆,记为第2个半圆;

以CD=4为直径画半圆,记为第3个半圆;

以DE=8为直径画半圆,记为第4个半圆,

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的.倍，第n个半圆

的面积为（结果保留兀）

考点：规律型：图形的变化类。

分析：根据已知图形得出第4个半圆的半径是第3个半圆的半径，进而得出第4个半圆的

面积与第3个半圆面积的关系，得出第n个半圆的半径，进而得出答案.

解答：解：,以AB=1为直径画半圆，记为第1个半圆；

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆；

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆，

.♦.第4个半圆的面积为：-*42=8兀,

2

第3个半圆面积为：冗X22=2兀,

2

...第4个半圆的面积是第3个半圆面积的空=4倍；

2打

根据已知可得出第n个半圆的直径为：2酎1,

则第n个半圆的半径为：/-----=2n-2,

2

-rrV（on-2\2

第n个半圆的面积为：------士——--=22n-57t.

2

故答案为：422n-57t.

点评：此题主要考查了数字变化规律，注意数字之间变化规律，根据已知得出第n个半圆

的直径为：是解题关键.

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这

种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律

是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换这种规律可以作

为猜想的一个参考依据。

例11（2020常德）若图1中的线段长为1,将此线段三等分，并以中间的一段为边作等边

三角形，然后去掉这一段，得到图2,再将图2中的每一段作类似变形，得到图3,按上述方

法继续下去得到图4,则图4中的折线的总长度为（）

Ei

图2

考点：规律型：图形的变化类；等边三角形的性质。

分析：当n=2时，折线的长度为：1+2=&当n=3时，折线的长度为：£+曳工=〃；当n=4

333339

时，折线的长度为：骂从而可求出折线的总长度.

99327

解答：解：由题意得：当n=2时，折线的长度为：1+工=4

33

当n=3时，折线的长度为：W+曳工⑪；

3339

当n=4时，折线的长度为：V+VxLCl

99327

故选D.

点评：此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，同时考查学生分析归纳问题的能力，

其关键是读懂题意，找出规律解答.

例12（2020河北）用4个全等的正八边形进行拼接，使相等的两个正八边形有一条公共边，

围成一圈后中间形成一个正方形，如图1,用n个全等的正六边形按这种方式进行拼接，如图

2,若围成一圈后中间形成一个正多边形，则n的值为.

图1图2

考点：平面镶嵌（密铺）。

专题：应用题。

分析：根据正六边形的一个内角为120。，可求出正六边形密铺时需要的正多边形的内角，

继而可求出这个正多边形的边数.

解答：解：两个正六边形结合，一个公共点处组成的角度为240。，

故如果要密铺，则需要一个内角为120。的正多边形，

而正六边形的内角为120°,

故答案为：6.

点评：此题考查了平面密铺的知识，解答本题关键是求出在密铺条件下需要的正多边形的

一个内角的度数，有一定难度.

例13（2020无锡）如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF,其中C、D的坐标

分别为（1,0）和（2,0）.若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x轴向右滚动，则在滚

动过程中，这个六边形的顶点A、B、C、D、E、F中，会过点（45,2）的是点.

考点：正多边形和圆；坐标与图形性质；旋转的性质。

专题：规律型。

分析：先连接AD,过点F,E，作FGJ_AT）,EH_LAD,由正六边形的性质得出A，的坐标,

再根据每6个单位长度正好等于正六边形滚动一周即可得出结论.

解答：解：如图所示：

当滚动一个单位长度时E、F、A的对应点分别是E\F\N,连接AT）,点P,E，作FG，A，D,

EH_LA，D,

♦.•六边形ABCD是正六边形，

Z.NAFG=30。，

.•.A，G=4AF=1,同理可得HD=L

222

.,.AD=2,

VD（2,0）

：.A'（2,2）,OD=2,

•.•正六边形滚动6个单位长度时正好滚动一周，

从点（2,2）开始到点（45,2）正好滚动43个单位长度，

6

•••恰好滚动7周多一个，

会过点（45,2）的是点B.

点评：本题考查的是正多边形和圆及图形旋转的性质，根据题意作出辅助线，利用正六边

形的性质求出A，点的坐标是解答此题的关键.

例14（2020绥化）长为20,宽为a的矩形纸片（10<a<20）,如图那样折一下，剪下一个

边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个

边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去，若在第n次操作后,

剩下的矩形为正方形，则操作停止.当n=3时，a的值为

第一次操作第二;欠撮作

考点：翻折变换(折叠问题)。

专题：规律型。

分析：首先根据题意可得可知当10<a<20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20

-a,第二次操作时正方形的边长为20-a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a,

2a-20.然后分别从20-a>2a-20与20-a<2a-20去分析求解，即可求得答案.

解答：解：由题意，可知当10<aV20时，第一次操作后剩下的矩形的长为a,宽为20-a,

所以第二次操作时正方形的边长为20-a,第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为20-a,

2a-20.

此时，分两种情况：

①如果20-a>2a-20,即a<40,那么第三次操作时正方形的边长为2a-20.

则2a-20=(20-a)-(2a-20),解得a=12；

②如果20-aV2a-20,即a>坐，那么第三次操作时正方形的边长为20-a.

3

则20-a=(2a-20)-(20-a),解得a=15.

当n=3时，a的值为12或15.

故答案为：12或15.

点评：此题考查了折叠的性质与矩形的性质.此题难度较大，注意掌握数形结合思想、分

类讨论思想与方程思想的应用，注意折叠中的对应关系.

考点六：猜想数字求和

例16(2020黄石)“数学王子”高斯从小就善于观察和思考.在他读小学时就能在课堂上快速

地计算出1+2+3+...+98+99+100=5050,今天我们可以将高斯的做法归纳如下：

令S=l+2+3+…+98+99+100①

S=100+99+98+...+3+2+1②

①+②：有2S=(1+100)xlOO解得：S=5050

请类比以上做法，回答下列问题：

若n为正整数，3+5+7+...+(2n+l)=168,则n=.

考点：有理数的混合运算。

专题：规律型。

分析：根据题目提供的信息，列出方程，然后求解即可.

解答：解：设S=3+5+7+...+(2n+l)=168①，

则$=(2n+l)+...+7+5+3=168②,

①+②得，2S=n(2n+l+3)=2x168,

整理得，n2+2n-168=0,

解得ni=12,n2=-14(舍去).

故答案为：12.

点评：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目提供的信息，表示出这列数据的和并列出

方程是解题的关键.

四、真题演练

一.选择题

1.（2020自贡）一质点P从距原点1个单位的M点处向原点方向跳动，第一次跳动到OM的

中点M3处，第二次从M3跳到OM3的中点M2处，第三次从点M2跳到OM2的中点Ml处，如

此不断跳动下去，则第n次跳动后，该质点到原点O的距离为（）

考点：规律型：点的坐标。

分析：根据题意，得第一次跳动到OM的中点M3处，即在离原点的工处，第二次从M3点

2

跳动到M2处，即在离原点的（工）2处，则跳动n次后，即跳到了离原点的工处.

解答：解：由于OM=1,

所有第一次跳动到OM的中点M3处时，OM3=JOM=』,

22

同理第二次从M3点跳动到M2处，即在离原点的（工）2处,

同理跳动n次后，即跳到了离原点的，处,

2n

故选D.

点评：本题主要考查点的坐标，这是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现.解

答本题的关键是找出各个点跳动的规律，此题比较简单.

2.（2020鄂州）在平面坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1,0）,

点D的坐标为（0,2）,延长CB交x轴于点Ai，作正方形AiBCiC,延长GB1交x轴于点

A2,作正方形A2B2c2G，…按这样的规律进行下去，第2012个正方形的面积为（）

A.5・(^)2010B.5-A2010

C5・(/)20124

D.5・6)4022

考点：相似三角形的判定与性质；坐标与图形性质；正方形的性质。

专题：规律型。

分析：首先设正方形的面积分别为S|,S2...S2012,由题意可求得Si的值，易证得

△BAA|S^B|A|A2,利用相似三角形的对应边成比例与三角函数的性质，即可求得S2的值,

继而求得S3的值，继而可得规律：Sn=5x（3）2n-2,则可求得答案.

2

解答：解：••,点A的坐标为（1,0）,点D的坐标为（0,2）,

/.OA=1,OD=2,

设正方形的面积分别为Si，S2...S2012,

根据题意，得：AD〃BC〃C1A2〃C2B2，

・・・ZBAA1=ZB1A1A2=ZB2A2X,

VZABAI=ZAIB|A2=90°,

/.△BAAI^ABIAIAI，

在直角△ADO中，根据勾股定理，得：AD=^QA2+OD2=75-

.♦.AB=AD=BC=V^,

；.Si=5,

•/NDAO+NADO=90。，ZDAO+ZBAAj=90°,

AZADO=ZBAA|,

AB

tanZBAAi=.1_QA_1

AB0D~2

.♦.A|B=亚,

2

.,.A|B=A,C=BC+AiB=^Z^,

2

/.S2=-x5=5x(卫)2,

42

3r-

.A2Bt5^3

"AjB=AB"西一了

.•.人正1=£><近=囚5

_224__

A2C]=BiCi+AzBi二返返研=岳(3)2,

2442

.,.S3=-^1X5=5X(3)4,

162

由此可得:Sn=5x(3)2n-2,

2

.,•S2O12=5X(J)2X2012-2=5X(3)4022.

22

故选D.

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角函数等知识.此题难

度较大，解题的关键是得到规律Sn=5x（J）2M2.

2

3.（2020镇江）边长为a的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺

次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次

连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得

到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形

的边长为（）

A.lx(1)5B.lx(1)5

3223

C.lx(1)6D.lx(A)6

3223

考点：等边三角形的判定与性质。

专题：规律型。

分析：连接AD、DB、DF,求出/AFD=/ABD=90。，根据HL证两三角形全等得出

ZFAD=60°,求出AD〃EF〃GL过F作FZ1GI,过E作EN±GI于N,得出平行四边形FZNE

得出EF=ZN=2a,求出GI的长，求出第一个正六边形的边长是工a,是等边三角形QKM的边

33

长的工同理第二个正六边形的边长是等边三角形GHI的边长的工求出第五个等边三角形的

33

边长，乘以工即可得出第六个正六边形的边长.

3

解答：解：连接AD、DF、DB,

♦.•六边形ABCDEF是正六边形，

/.ZABC=ZBAF=ZZAFE,AB=AF,ZE=ZC=120°,EF=DE=BC=CD,

,ZEFD=ZEDF=ZCBD=ZBDC=30°,

VZAFE=ZABC=120°,

.,.ZAFD=ZABD=90°,

在RtAABD和RtAFD中

[AF=AB

lAD=AD

，RtAAABD^RtAAFD,

:.ZBAD=ZFAD=lx120°=60°,

2

ZFAD+ZAFE=60°+120°=180°,

，AD〃EF,

：G、I分别为AF、DE中点，

，GI〃EF〃AD,

，ZFGI=ZFAD=60°,

•••六边形ABCDEF是正六边形，△QKM是等边三角形，

.,.ZEDM=60°=ZM,

，ED=EM,

同理AF=QF,

即AF=QF=EF=EM,

•等边三角形QKM的边长是a,

第一个正六边形ABCDEF的边长是L,即等边三角形QKM的边长的工，

33

过F作FZ_LGI于Z,过E作EN_LGI于N,

则FZ〃EN,

VEF/7GL

二四边形FZNE是平行四边形，

;.EF=ZN=L,

3

VGF=-AF=Ax.la=Aa,NFGI=60°(已证)，

2236

...NGFZ=30°,

/.GZ=lGF=Aa,

212

同理IN=」a,

12

.•.GI=L+』a+L=L,即第一个等边三角形的边长是』a,与上面求出的第一个正六边形的

1231222

边长的方法类似，可求出第二个正六边形的边长是LL；

32

同理第第二个等边三角形的边长是与上面求出的第一个正六边形的边长的方法类似，

22

可求出第三个正六边形的边长是工xJ：xJ：a；

322

同理第三个等边三角形的边长是IxLIa,第四个正六边形的边长是工xLdixL；

2223222

第四个等边三角形的边长是』x」xJ：x』a,第五个正六边形的边长是工x』xLd：x2a；

222232222

第五个等边三角形的边长是第六个正六边形的边长是IxLdixlxlxL,

22222322222

即第六个正六边形的边长是工＜(1)与，

32

故选A.

点评：本题考查了正六边形、等边三角形的性质、平行四边形的性质和判定、全等三角形

的性质和判定的应用，能总结出规律是解此题的关键，题目具有一定的规律性，是一道有一

定难度的题目.

二.填空题

4.（2020天门）如图，线段AC=n+l（其中n为正整数），点B在线段AC上，在线段AC同

侧作正方形ABMN及正方形BCEF,连接AM、ME、EA得到△AME.当AB=1时，AAME

的面积记为Si；当AB=2时，4AME的面积记为S2；当AB=3时，4AME的面积记为S3;…；

当AB=n时，Z\AME的面积记为S»当吟2时，Sn-Sn-i=.

考点：整式的混合运算。

专题：规律型.

分析：方法一：根据连接BE,则BE〃AM,利用AAME的面积=ZXAMB的面积即可得出

222

Sn=­n,Sn-i=A（n-1）=An-n+A,即可得出答案.

2222

-

方法二:根据题意得出图象，根据当AB=n时,BC=1,得出Sn=S矩彩ACQN-SAACESAMQE-SAANM，

2

得出S与n的关系，进而得出当AB=n-1时，BC=2,Sn-i=^n-n+1,即可得出Sn-S1的

22

值.

解答：解：方法一：连接BE,

•在线段AC同侧作正方形ABMN及正方形BCEF,

.♦.BE〃AM,

.,.△AME与AAMB同底等高，

AAAME的面积=aAMB的面积，

2

当AB=n时，Z\AME的面积记为Sn=-n,

2

9n-1

，当定2时，Sn-Sn-i=^—A,

2

故答案为：生二1；

2

方法二：如图所示：延长CE与NM,交于点Q,

♦.•线段AC=n+l(其中n为正整数)，

.,.当AB=n时，BC=1,

.♦.当AAME的面积记为：

Sn=SSi®ACQN-SiACE-SAMQE-SAANM，

=n(n+1)-Axlx(n+1)--xlx(n-1)-Axnxn,

222

=An2,

2

当AB=n-1时，BC=2,

.•.当4AME的面积记为：

SnI=S博彩ACQN-SAACE-SAMQE-SAANM>

=(n+1)(n-1)-AX2X(n+1)-Ax2x(n-3)-Ax(n-1)(n-1),

222

=%-n+A,

22

22

当n>2时，Sn-Sn-1=—n-(—n-n+A)=n-L?"_

22222

故答案为：红二1

2

点评：此题主要考查了三角形面积求法以及正方形的性质，根据已知得出正确图形，得出S

与n的关系是解题关键.

6.（2020威海）如图，在平面直角坐标系中，线段OAi=l,OAi与x轴的夹角为30。，线段

A|A2=1,A2A1J_OAI,垂足为Ai；线段A2A3=1,A3A2-LAiA2，垂足为A2;线段A3A4=1,

A4A3_LA2A3,垂足为A3；…按此规律，点A2012的坐标为.

考点：规律型：点的坐标。

专题：规律型。

分析：过点Ai作AiBLx轴，作人《〃*轴A?C〃y轴，相交于点C,然后求出点Ai的坐

标，以及AC、A2c的长度，并出A2、A3、A4、As、A6的坐标，然后总结出点的坐标的变化

规律，再把2012代入规律进行计算即可得解.

解答：解：如图，过点Ai作AiBLx轴,作人（〃*轴A?C〃y轴，相交于点C,

VOAi=l,OAi与x轴的夹角为30。,

OB=OA|,cos=lx,

22

AiB=OAi*sin30°=lxA=_l,

22

二点Ai的坐标为（Y5,1）,

22

VA2AI±OAI，OAI与x轴的夹角为30。,

二NOAiC=30°,NA2Ale=90°-30°=60°,

AZA,A2C=90°-60°=30°,

同理可求：A2c=OB=Y^,AIC=AIB=-1,

22

所以，点A2的坐标为（近-工，渔工，

2222_

点A3的坐标为（爽-工+爽，亚+1+工），即（J5-1，近+1）,

22222222

点A4的坐标为西1+近），即（逐-1，虫+1），

2222_

点As的坐标为（&-1+近，E+1+工），即（"-1,加+卫），

2222

点A6的坐标为（2^3-1-1,后至+近），即（"-旦当5+卫）,

22222222

当n为奇数时，点A”的坐标为（过-EZ1,口二小+些）,

4444

当n为偶数时，点A”的坐标为竽甫照吃，

所以，当n=2012时，工玄-星503«-503,工技g503技503,

4444

点A2012的坐标为（50373-503,503、年+503）.

故答案为：（503A/3-503,503心503）.

点评：本题考查了点的坐标的规律变化问题，作出辅助线，求出各点的横坐标与纵坐标的

规律变化的数值，然后依次写出前几个点的坐标，根据坐标与点的序号的特点找出点的坐标的

通式是解题的关键.

7.（2020湖州）如图，将正4ABC分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个

黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若三里，则AABC的边长是.

n25

考点：菱形的性质；等边三角形的性质。

专题：规律型。

分析：设正4ABC的边长为X,根据等边三角形的高为边长的亚倍，求出正4ABC的面积,

2

再根据菱形的性质结合图形表示出菱形的两对角线,然后根据菱形的面积等于两对角线乘积的

一半表示出菱形的面积,然后根据所分成的小正三角形的个数的比等于面积的比列式计算即可

得解.

解答：解：设正AABC的边长为x,则高为近x,

_2

SAABC=—X，在x=2&,

224

•••所分成的都是正三角形，

结合图形可得黑色菱形的较长的对角线为近x-较短的对角线为（近x-V3）亚=1x

2232

-1,

••・黑色菱形的面积=工（强x-«）（lx-1）=登（X-2）2,

2228

黎2邛.2）2

.ir_J______8___________47

•・丁号…2方

O

整理得，11x2-144x+144=0,

解得x尸〃(不符合题意，舍去)，X2=12,

11

所以，AABC的边长是12.

故答案为：12.

点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握有一个角等于60。的菱形的两

条对角线的关系是解题的关键，本题难点在于根据三角形的面积与菱形的面积列出方程.

8.(2020泰安)如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图

中“一”方向排列，如(1，0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2)…根据这个规律,

第2012个点的横坐标为.

考点：点的坐标。

专题：规律型。

分析：观察图形可知，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角

的点的横坐标的平方，并且右下角的点的横坐标是奇数时最后以横坐标为该数，纵坐标为0

结束，当右下角的点横坐标是偶数时，以横坐标为1,纵坐标为右下角横坐标的偶数减1的点

结束，根据此规律解答即可.

解答：解：根据图形，以最外边的正方形边长上的点为准，点的总个数等于x轴上右下角

的点的横坐标的平方，

例如：右下角的点的横坐标为1,共有1个，1=12,

右下角的点的横坐标为2时，共有4个，4=22,

右下角的点的横坐标为3时，共有9个，9=32,

右下角的点的横坐标为4时，共有16个，16=42,

右下角的点的横坐标为n时，共有I?个，

452=2025,45是奇数,

第2025个点是(45,0),

第2012个点是(45,13),

所以，第2012个点的横坐标为45.

故答案为：45.

点评：本题考查了点的坐标，观察出点个数与横坐标的存在的平方关系是解题的关键.

9.(2020北京)在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.已知

点A(0,4),点B是x轴正半轴上的整点，记AAOB内部(不包括边界)的整点个数为m.当

m=3时，点B的横坐标的所有可能值是；当点B的横坐标为4n（n为正整数）时,

m=（用含n的代数式表示）.

yAA

ol12345678910II1213i

考点：点的坐标。

专题：规律型。

分析：根据题意画出图形，再找出点B的横坐标与aAOB内部（不包括边界）的整点m之

间的关系即可求出答案.

解答：解：如图：

•4・・■・r--»•一，-r

IMe

"?.W.L.i.Ia

ol~I2678910111213X

当点B在（3,0）点或（4,0）点时，AAOB内部（不包括边界）的整点为（1,1）（1,2）

（2,1）,共三个点，

所以当m=3时，点B的横坐标的所有可能值是3或4；

因为aAOB内部（不包括边界）的整点个数=[（点B的横坐标-1）x（点A的纵坐标-1）

-3H2,

所以当点B的横坐标为4n（n为正整数）时，m=[（4n-1）x（4-1）-3]-2=6n-3；

故答案为：3或4,6n-3.

点评：此题考查了点的坐标，关键是根据题意画出图形，找出点B的横坐标与aAOB内部

（不包括边界）的整点m之间的关系，考查数形结合的数学思想方法.

10.（2020佳木斯）如图，直线y=x，点Ai坐标为（1,0）,过点Ai作x轴的垂线交直线于

点B”以原点O为圆心，OBi长为半径画弧交x轴于点A?,再过点A2作x轴的垂线交直线

于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3,…按此作法进行去，点&的

纵坐标为___________________（n为正整数）.

A〕A2A3

考点：一次函数综合题。

专题：规律型。

分析：由Ai(1,0),可知Bi的横坐标为1,由于Bi，B2,B3,Bn都在直线y=x上，

可知Bi，B2,B3,Bn各点的横坐标与纵坐标相等，即Bi(1,1),由勾股定理得OBi=J],

由此可得A2(V2-0),贝1JB2(V2-圾)，由勾股定理得OB2=2,则A3(2,0),则B3(2,

2),由此得出一般结论.

解答：解：：Bi，B2,B3....Bn都在直线y=x上，

.•.Bl,B2.B3,…,Bn各点的横坐标与纵坐标相等，

由A|(1,0),得Bl(1,1),

此时

可知，A2(A/2>0)，则B2(V2>双)，

同理可得B3(2,2),

则瑶(V2n-bV2n-1)-

故答案为：

点评：本题考查了一次函数的综合运用.关键是明确直线y=x上点的横坐标与纵坐标相等

特点，由易到难，由特殊到一般，得出规律.

11.(2020鄂州)已知，如图，△OBC中是直角三角形，OB与x轴正半轴重合，ZOBC=90°,

且OB=1,BC=F，将AOBC绕原点O逆时针旋转60。再将其各边扩大为原来的m倍，使

OBi=OC,得到△OB1C1，将△OBICI绕原点O逆时针旋转60。再将其各边扩大为原来的m倍,

使OB2=OC|,得到△OB2c2，…，如此继续下去，得到aOB2012c2012,则01=.点

C2012的坐标是•

考点：坐标与图形变化-旋转；解直角三角形。

专题：规律型。

分析：先解直角三角形求出/BOC=60。，再根据30。角所对的直角边等于斜边的一半即可求

出m的值，然后求出OCi、OC2、OC3OCn的长度，再根据周角等于360。，每6个为一

个循环组，求出点C20I2是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可.

解答：解：VZOBC=90°,OB=1,BC=V3-

tanZBOC=—=5/3，

，ZBOC=60°,

；.OC=2OB=2xl=2,

•.•将AOBC绕原点O逆时针旋转60。再将其各边扩大为原来的m倍，使OB产OC,

/.m=2,

.,.OG=2OC=2X2=4=22,

OC2=2OCI=2X4=8=23,

4

OC3=2OC2=2X8=16=2,

・.♦,

n+1

OCn=2,

.,•OC2012=22021,

,.,2012+6=335…2,

...点C2012与点C2X在同一射线上，在X轴负半轴，坐标为（-22021,。）.

故答案为:2,（-22021,0）

点评：本题考查了坐标与图形的变化-旋转，解直角三角形，根据解直角三角形，以及30。

角所对的直角边等于斜边的一半，求出m的值是解题的关键.

12.（2020泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Mi，M2,M3,…Mn

分别为边B1B2，B2B3,B3B4,…,BnBn+i的中点,△BIGMI的面积为Si，4B2c2M2的面积

为S2，…△BnCnMn的面积为Sn，则S产.（用含n的式子表示）

考点：相似三角形的判定与性质。

专题：规律型。

分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点Ml，M2,M3,…Mn分别

为边BB2,为B3,B3B4.........BnBn+1的中点,即可求得△BlClMn的面积,又由BnCn〃BlCl，

即可得△BnCnMnS^BiGM”然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案.

解答：解：•.、个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M”M2,M3,…Mn

分别为边BB2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中点,

/.Si=—xBiCixB|Mi=ix]x.l=_l,

2224

SAB1CIM2=3xBICIXB1M2=°X1x_?=至，

2224

SABiciM3=」xBiC।xBiMa=3x1x至=2

2'224

SABiciM4=~^xBiC।1M4——1x_Z=_Z,

2224

SABICM产LBIC/BIMFAXIX2n二1=2"二1,

2224

：BnCn〃B|C”

△BnCnMn^ABiCjMn，

1

.BM,~2

••SABnCnMn：Sz\BICIMn=（-----n-------n--）"=（不

B[h2n-1

2

即Sn：生21=--------------1——-）

4（2n-l）2

Sn=--------------±——

4（2n-l）

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式.此

题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键.

13.（2020衡阳）观察下列等式

①sin30°=」cos60°=—

22

②sin45°=Y^COS=45°=Y^

22

③sin60°=亚cos30°=登

22

根据上述规律，计算si/a+sii?(900-a)=.

考点：互余两角三角函数的关系。

专题：规律型.

分析：根据①②③可得出规律，即si/a+sii?(9(T-a)=1,继而可得出答案.

解答：解：由题意得，sin23O°+sin2(90°-30°)=1；

sin2450+sin2(90°-45°)=1；

sin260°+sin2(90°-60°)=1；

故可得si/a+sin?(90°-a)=1.

故答案为：1.

点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另

外si/a+sir?(900-a)=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用.

14.(2020东营)在平面直角坐标系xOy中，点A”A2,A3,…和Bi，B2,B3,…分别在直

线丫=心+|5和x轴上.△OAB，△B1A2B2,4B2A3B3,...都是等腰直角三角形,如果Ai(1,

考点：一次函数综合题。

专题：代数几何综合题；规律型。

分析：利用待定系数法求一次函数解析式求出直线的解析式，再求出直线与x轴、y轴的交

点坐标，求出直线与x轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向x轴作垂线,

然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半,利用正切值列式依次

求出三角形的斜边上的高线，即可得到各点的纵坐标的规律.

解答：解：VAi(1,1),A2(工乜)在直线y=kx+b上，

22

'k+b=l

<73，

-k+b=-

直线解析式为y=2x+W,

55

如图，设直线与X轴、y轴的交点坐标分别为N、M,

当x=0时，y=W,

5

当y=0时，1x+W=O,解得x=-4,

55

.•.