高二数学（江苏,理科）（新高三）暑期作业复习方法策略讲-第讲“数列”复习要全国通用

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第10讲“数列”复习要紧抓等差数列、等比数列数列是特殊的函数，复习数列时要注意函数思想方法的普遍性，又要考虑数列问题的特殊性．等差数列与等比数列是最基本的数列模型，从高考来看,数列问题往往要归结到这两个数列模型．因此,数列复习要紧抓等差数列与等比数列，理解概念，熟练公式，会用性质，注意运用分类讨论、数形结合的方法．1．注意数列的函数特性，迁移函数的思想方法．复习时要从数列的概念中，认识到数列的函数本质，在研究数列问题时会迁移函数的思想方法．研究数列的图象时,要抓住函数的对应法则，又要注意它的离散特点．研究数列单调性时，要判断an＋1－an的符号,甚至借助于导数．研究数列最大(小）项时,要研究数列的单调性，或借助不等式组eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（an≥an－1，an≥an＋1）)等．公差不为0的等差数列的通项公式an、前n项和公式Sn及eq\f(Sn，n），公比为不等于1的正数的等比数列的通项公式，都是关于n的基本初等函数，在研究等差数列与等比数列的图象、性质时，注意运用函数思想．如研究Sn的符号、Sn的最值，就能利用二次函数来解决．【温故知新】等差数列{an｝的公差为正数，前n项和为Sn，已知S10＝0，则n＝________时,Sn取得最小值．2．能熟练地通过方程（组)求解基本量．求解通项、指定项、前n项和、前指定项和,是等差、等比数列公式的基本应用，往往需要求解首项、公差(比）、项数等基本量，这些基本量都要列方程（组)解出来．根据数列特点，能熟练地通过方程(组）求解基本量，是复习好数列最基本的要求．等差数列计算中常两式“作差”，等比数列计算中常两式“作比”．3．对比等差数列与等比数列，掌握基本性质．等差、等比数列中尤其等差数列性质较多，利用这些性质解决问题方便简捷．对这些性质，能利用等差、等比数列的通项公式、前n项和公式,或利用函数方法推导成立,对于一些最基本的性质要熟记和熟用，这些最基本的性质在等差、等比数列中都是类似的，可对比复习．如等差数列等比数列m,n，s,t∈N＊，m＋n＝s＋tam＋an＝as＋ataman＝asatm，n∈N＊am－an＝（m－n）deq\f(am,an）＝qm－n｛kn}是等差数列,且kn∈N＊｛akn}是等差数列{akn｝是等比数列n＝2k－1，k∈N＊S2k－1＝(2k－1)·aka1a2·…·a2k－1＝aeq\o\al（2k－1,k）4。能熟练地运用裂项法、错位相减法求和．要掌握常见的裂项技巧，如eq\f（1,n（n＋1））＝eq\f（1,n）－eq\f(1，n＋1），eq\f（1，n（n＋k）)＝eq\f（1，k)（eq\f（1，n）－eq\f(1，n＋k）），eq\f(1,anan＋k)＝eq\f（1,kd)（eq\f(1,an)－eq\f(1，an＋k）)({an}是等差数列)等，凡形如eq\f(1,mn)且m－n＝c，都可裂项：eq\f（1,mn)＝eq\f（1，c）(eq\f（1，n）－eq\f（1，m)）．对于等差乘等比形式的数列求和，一定要清楚错位相减法的原理，否则，只会机械套用,不会化简结果．其原理如下:{an｝是等差数列，{bn}是等比数列,Tn＝a1b1＋a2b2＋a3b3＋…＋an－1bn－1＋anbn.①qTn＝a1b1q＋a2b2q＋a3b3q＋…＋an－1bn－1q＋anbnq。即qTn＝a1b2＋a2b3＋a3b4＋…＋an－1bn＋anbn＋1。②①－②得，（1－q）Tn＝a1b1＋（a2－a1)b2＋（a3－a2)b3＋…＋（an－an－1）bn－anbn＋1，即(1－q）Tn＝a1b1＋db2＋db3＋…＋dbn－anbn＋1。即(1－q）Tn＝a1b1＋d（b2＋b3＋…＋bn)－anbn＋1.只有弄清了求解原理，才能清楚为何要“错位”相减，相减之后得到什么形式的结果．例1等差数列{an｝的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解后反思当n＝1，2，3,…时nSn也是一个数列．根据数列的函数特性，可以将nSn的最值转化为相应函数的最值，但一定要注意数列的离散特点．例2已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.（1）求数列{an｝的通项公式；(2）求数列｛eq\f（an，2n－1)｝的前n项和．解后反思“等差乘等比”型数列求和一般用错位相减法．这里的“等差乘等比"是指一个等差乘一个等比，如(－1）nn·2n，把它变形为n·(－2）n,再用错位相减法求其和．分式数列求和一般用裂项法，把一项裂为相邻两项的差．例3设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，eq\f（2Sn,n)＝an＋1－eq\f（1，3)n2－n－eq\f(2,3)，n∈N＊。（1)求a2的值；(2)求证：｛eq\f（an,n）}为等差数列,并求数列{an}的通项公式．解后反思1．对于数列的递推关系，常常用n－1(n≥2）代n，得到它的一个姊妹式，两式相减(除),就会得到一个新的递推关系,揭示数列的本质属性．2．已知an与Sn的递推关系,探索数列的通项公式,切入点是an＝eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（S1，n＝1，，Sn－Sn－1，n≥2，））利用an＝Sn－Sn－1（n≥2),可将an与Sn的递推关系转化为an的递推关系，也可以转化为Sn的递推关系．如2Sn＝nan＋1－eq\f(1，3)n3－n2－eq\f（2，3）n中，令an＋1＝Sn＋1－Sn，就得到2Sn＝n（Sn＋1－Sn)－eq\f(1,3)n3－n2－eq\f(2,3)n，即Sn的递推关系．3．等差、等比数列的判定，主要依据定义，从相邻两项递推关系看，判断an＋1－an或eq\f(an＋1,an)是否为常数,从相邻三项递推关系看，判断2an＋1＝an＋an＋2或aeq\o\al(2，n＋1）＝anan＋2对n∈N＊是否成立．从通项公式看，判断an是否是pn＋q或abn的形式．从前n项和公式看，判断是否为等差数列，就看Sn是否是pn2＋qn的形式．如果Sn＝a（bn－1)(a≠0,b>0，b≠1）,那么该数列为等比数列．总结感悟1．数列是特殊的函数,在研究数列问题时如单调性、最大(小)项等可以运用函数、导数的思想方法，但要注意数列的图象是一列孤立的点．2．由数列的递推关系探索数列的本质属性，常常用n－1(n≥2)代n，得到姊妹式，两式相减(除），就会得到新的递推关系，揭示出数列的本质属性．3．已知an与Sn的递推关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2),转化为an的递推关系，也可以转化为Sn的递推关系,进一步揭示数列的本质属性．【误区警示】已知Sn求an时,一定要分n＝1与n≥2两种情况分别求解．A级1．数列eq\f(2，3），－eq\f（4，5),eq\f(6，7)，－eq\f(8,9），…的第10项是________．2．等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4＝________．3．(2016·全国Ⅰ改编)已知等差数列｛an}前9项的和为27,a10＝8，则a100＝________。4．已知{an｝为等差数列,a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20＝________．5．在等差数列{an}中，已知a3＋a8＝10，则3a5＋a7＝________．6．若数列{an｝的前n项和Sn＝eq\f(2，3)an＋eq\f（1,3），则{an}的通项公式an＝________．B级7．已知等比数列｛an｝中，各项都是正数，且a1,eq\f（1,2)a3，2a2成等差数列,则eq\f（a9＋a10，a7＋a8)＝__________．8．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝________．9。若一个等差数列｛an｝的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有________项．10．设Sn为等比数列｛an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．11．已知等比数列｛an｝是递增数列，Sn是｛an}的前n项和．若a1，a3是方程x2－5x＋4＝0的两个根，则S6＝________．12．设Sn为数列{an｝的前n项和，Sn＝（－1）nan－eq\f(1,2n）,n∈N＊,则：(1)a3＝________；(2)S1＋S2＋…＋S100＝________．13．等差数列｛an}中，a1＝－60，a17＝－12,求数列｛｜an｜}的前n项和．

第10讲“数列”复习要紧抓等差数列、等比数列复习指导【温故知新】5解析等差数列{an}的公差为正数，则其前n项和Sn为n的二次函数，图象是开口向上的抛物线，与x轴有两个交点(0，0）,(10，0)，根据对称性,x＝5是对称轴，故n＝5时Sn取得最小值．题型分析例1－49解析由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝eq\f（10，3）.两式相减得a15－a10＝eq\f（10，3）＝5d,∴d＝eq\f(2，3)，a1＝－3。∴nSn＝n·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(na1＋\f（n（n－1),2)d))＝eq\f（n3－10n2,3）＝f（n），f′（n）＝eq\f（1，3）n(3n－20)．令f′（n)＝0得n＝0（舍）或n＝eq\f（20,3）.当n〉eq\f（20,3）时,f（n）是单调递增的;当0〈n<eq\f(20，3)时，f(n）是单调递减的．f(6）＝－48.f（7)＝－49。故当n＝7时，f(n）取最小值，f（n）min＝－49。∴nSn的最小值为－49.例2解（1）设等差数列｛an}的公差为d，由已知条件可得eq\b\lc\｛(\a\vs4\al\co1（a1＋d＝0，，2a1＋12d＝－10，））解得eq\b\lc\｛（\a\vs4\al\co1（a1＝1,，d＝－1。））故数列{an｝的通项公式为an＝2－n。（2）设数列{eq\f(an,2n－1）}的前n项和为Sn，即Sn＝a1＋eq\f（a2，2)＋…＋eq\f(an－1，2n－2）＋eq\f（an，2n－1)。①所以eq\f（Sn,2)＝eq\f(a1,2）＋eq\f(a2,4）＋…＋eq\f（an，2n）.②①－②得eq\f(Sn,2）＝a1＋eq\f(a2－a1，2）＋…＋eq\f(an－an－1，2n－1)－eq\f(an，2n)＝1－(eq\f（1，2)＋eq\f（1，4）＋…＋eq\f（1，2n－1))－eq\f（2－n，2n)＝1－(1－eq\f（1,2n－1))－eq\f（2－n,2n）＝eq\f(n，2n).所以Sn＝eq\f(n,2n－1）。即数列｛eq\f(an,2n－1）}的前n项和Sn＝eq\f（n，2n－1）.例3解(1)2S1＝a2－eq\f(1，3）－1－eq\f(2，3)，又S1＝a1＝1，所以a2＝4。(2)∵eq\f(2Sn，n）＝an＋1－eq\f（1，3）n2－n－eq\f（2,3)，n∈N＊.∴2Sn＝nan＋1－eq\f(1，3）n3－n2－eq\f（2，3)n＝nan＋1－eq\f(n(n＋1)（n＋2),3)。①∴当n≥2时,2Sn－1＝(n－1)an－eq\f((n－1）n（n＋1）,3)，②由①－②，得2Sn－2Sn－1＝naa＋1－(n－1）an－n（n＋1），∵2an＝2Sn－2Sn－1，∴2an＝nan＋1－（n－1)an－n(n＋1)，∴eq\f(an＋1，n＋1）－eq\f(an，n)＝1，∴数列{eq\f（an，n)}是以首项为eq\f（a1,1）＝1，公差为1的等差数列．∴eq\f（an，n）＝1＋1×（n－1）＝n，∴an＝n2（n≥2），当n＝1时，上式显然成立．∴an＝n2，n∈N*。线下作业1．－eq\f(20，21）解析所给数列呈现分数形式，且正负相间，求通项公式时，我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子．很容易归纳出数列｛an}的通项公式an＝(－1）n＋1·eq\f（2n，2n＋1），故a10＝－eq\f(20,21）。2．123．98解析由等差数列性质，知S9＝eq\f（9（a1＋a9）,2）＝eq\f(9×2a5,2)＝9a5＝27，得a5＝3,而a10＝8，因此公差d＝eq\f(a10－a5,10－5)＝1，∴a100＝a10＋90d＝98.4．1解析方法一∵a1＋a3＋a5＝105，即3a3＝105,解得a3＝35，同理a2＋a4＋a6＝99，得a4＝33，∵d＝eq\f(a4－a3,4－3）＝eq\f（33－35,1)＝－2.∴a20＝a4＋（20－4)d＝33＋16×（－2）＝1。方法二由a1＋a3＋a5＝105，得a1＋a1＋2d＋a1＋4d＝3a1＋6d＝105，由a2＋a4＋a6＝99，得a1＋d＋a1＋3d＋a1＋5d＝3a1＋9d＝99，所以eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1(3a1＋6d＝105,，3a1＋9d＝99，））解得eq\b\lc\{（\a\vs4\al\co1（a1＝39,,d＝－2。))∴a20＝39＋（20－1）×(－2)＝1。方法三∵a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，∴(a2＋a4＋a6)－（a1＋a3＋a5)＝(a2－a1）＋（a4－a3)＋（a6－a5)＝3d＝99－105＝－6.解得d＝－2,又a1＋a3＋a5＝105,得a3＝35，a20＝a3＋(20－3）d＝35＋17×（－2)＝1.5．20解析设公差为d，则a3＋a8＝2a1＋9d＝10，∴3a5＋a7＝4a1＋18d＝2（2a1＋9d)＝20.6．（－2)n－1解析当n＝1时，a1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝eq\f(2,3)an－eq\f（2，3）an－1，故eq\f(an，an－1）＝－2，故an＝(－2)n－1。7．3＋2eq\r(2)解析设数列｛an｝的公比为q（q≠0)，因为a1,eq\f（1,2）a3，2a2成等差数列，则a1＋2a2＝a3，即a1＋2a1q＝a1q2.则1＋2q＝q2，解得q＝1±eq\r（2).又等比数列｛an｝中,各项都是正数,则q>0，则q＝1＋eq\r（2）。所以eq\f(a9＋a10，a7＋a8）＝eq\f（(a7＋a8）·q2，a7＋a8)＝q2＝（1＋eq\r（2）)2＝3＋2eq\r(2）。8．10解析由a5a6＋a4a7＝18，得2a5a6＝18，即a5a6＝9.∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·…·a10）＝log3(a5·a6)5＝5log39＝10.9。13解析a1＋a2＋a3＋an－2＋an－1＋an＝34＋146＝180，所以3（a1＋an）＝180，即a1＋an＝60.由Sn＝390，知eq\f(n（a1＋an),2）＝390.所以eq\f（n×60,2)＝390，解得n＝13。10．3n－111．63解析∵a1,a3是方程x2－5x＋4＝0的两根，且q＞1，∴a1＝1，a3＝4,则公比q＝2，因此S6＝eq\f（1×（1－26）,1－2)＝63。12．(1）－eq\f(1，16)（2)eq\f(1，3）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,2100）－1）)解析∵an＝Sn－Sn－1＝(－1）nan－eq\f（1，2n)－（－1)n－1·an－1＋eq\f(1,2n－1），∴an＝（－1）nan－（－1）n－1an－1＋eq\f（1，2n)。当n为偶数时，an－1＝－eq\f（1,2n)，当n为奇数时,2an＋an－1＝eq\f（1,2n)，∴当n＝4时，a3＝－eq\f（1，24）＝－eq\f（1,16)。根据以上｛an｝的关系式及递推式可求．a1＝－eq\f（1，22)，a3＝－eq\f（1,24)，a5＝－eq\f(1，26),a7＝－eq\f(1，28)，a2＝eq\f（1，22），a4＝eq\f(1，24），a6＝eq\f(1，26)，a8＝eq\f(1,28)。∴a2