2021年中考数学 一轮训练：菱形性质与判定综合（四）

2021年中考致学一桧专题训练：

菱形性质与判定综合E

1.如图，点4ByC,。在同一条宜线上，点£尸分别在直线？4。的两侧，JLAE-DF,

N4=N。，AB=DC.

(])求证：XAE3XDFB；

(2)若/用。=60°,BE=BC,求证四边形6&T是菱形.

2、如图，8边形46。中，ADIIBC£为/4U的中点，连接。£■并延长安4c于点尸，连

接"、

(})求证：AD=CF、

(2)请你再添加一个条件r不再添加辅助线j,使四边形/4尸(二。是菱形，并说明理由,

d_________*D

E

BC

3.如图，支、E、尸分别是n/48C。的边夕U4。上的点，JLBE=DF.

(})试判断四边形4氏/的形状；

(2)若AE=BE,/_BAC=90°,求证：四边形4A7是菱形.

4,给出如下定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形，

如图，在筝形力夕。中，AB=AD,BC=DC,AC.8。相交于点O,在OU上截取0f

=OA,连接BE.DE.

ru求证：AC全鱼牛分BD；

(2)到断B边形/4B&?的形状.，

5.如图，在平行0边形中，线段4C的垂宜平分线交/4U于O,分别交8cAD

E,F,连接CF.

f1J证明：0边形A&Z尸是菱形；

(2)在(1)的条件下，如果/4CJ_/4SLB-30°,AE-2,求四边形/ft77的面积、

6、如图所示，O是矩形/46CZ?的对角线的支点，DEWAC,CEWBDt

求证：OE_LDC、

7.在中，ZC4F=90°,4。是8U边上的中线，£是工。的中点，过点4作6U的

平行线交6g的延长线于点F,连接67、

(\)求证：四边形/4OCF是菱形、

(2)生接CE,为CE=EF,CE=5,求44的长.

8.如图，EF是平行旧边形/48CD的对角线4。的垂直平分线，EF多过AD、4U分别交于

点£F、

(y)求证：=边形4尸。F是菱形；

(2)若£Z?=5,BD-8,求菱形"尸。F的面依.

9、如图，平行四边形ABCD中，£尸分别为CD、BC上两点、，AF平分/BAE,/_EAD=

LFEC、

(\)求证：AB=AE\

(2)若/夕=90°,4尸与。U的延长线交于点”求证：日运形ABHE为霆形;

(3)在(2)的条件下，若DH=\6,/。=8,直接写出4尸的长为、

10.如图1,在中，Z/46^=90°,。是力夕边上任意一点，f是夕U边上的中点,

过点U作677/48交。£的延长线于点尸，走接BF,CD.

(\)求证：四边形CP8/7是平行B边形；

(2)如图2,若。为AB中点，求证：四边形UZ?8尸是菱形；

(3)若/尸04=30°,ABC=45°,BE=4,求的△SOf面也、

参考答泰

1.证明：CU•：AB=DC,

AB-\-BC=DC+BC>

即AC=DB,

在△4CF和△。夕尸中，

'AE=DB

,NA=ND，

AC=DB

△AC恒'DBFNAS)；

(2),:XACE9XDBF,

；.EC=BF,/_ECA=LFBD,

：,ECHBF,

b边形BFCE是平行卬边形,

•：Z_EBD=60°,BE=BC,

.•.△F8C是等边三角形，

/.EB=EC,

二.s边形6尸Cf是菱形.

2、(\)证明：在△。£4和△ZTC中，

-ADWBC,

:.(DAE=LFCE,乙ADE=Z.EFC、

VE为4C的中点，

：,AE=CE、

<ZDAE=ZFCE

在△/?&!与△/TU中，</ADE=NCFE，

AE=CE

:、△DE-XFEC

.\AD=CF；

(2)瞥：添加DA=DC.

证明：ADIIBC,

又,//4。=CF,

b边形AFCD为平行四边形、

又DA=DC,

/.叩边形AFCD为菱形、

3、(])斛：=边形/4氏尸为平行"边形.

•/叩边形46。是平行囱边形，

:.AD=BC,ADIIPC,

汽：BE=DF,*,AF-CEy

/.四边形AECF为平行8边形；

(2)证明：,：AE=BE,

:、/_B=/_BAE,

又,.・/必U=90°,

.・・/6+/4C4=90°,/_CAE^/_BAE^90°,

・•.ZBCA=ZCAE,

.\AE=CE,

又「四边形小氏尸为平行四边形，

四边形/4£CF是菱形、

4、证明：(])\'AB=ADt

・•.点Z在线段6。的垂宜平分线上,(2分)

­/BC=CD,

・••点U在线段8。的垂直平分线上,（4分）

••.4C垂直平分82（5分）

（2）,一/4U垂克平分82

/.OB=0D,

,：OE=OA,（6分）

四边形ABED是平行四边形、（对角线互相平分的囱边形是平行四边形）（7分）

又AB=AD,

.,・口/46£。是菱形、（一组邻边相等的平行四边形是菱形）（8分）

5、（1）证明：:四边形/4C。是平行四边形，

：.AD\\BC,

.・./OAF=ZOCE,

■:EF是线段/4U的垂直平分线，

/.OA=OCEFLAC,

<ZOAF=ZOCE

&XAOF%QXCOE中一OA=OC

ZAOF=ZCOE

：.^AOF^/\COE(AM),

b边形AECF是平行0边形,

又二班L/4c

四边形AECF更表形；

(2)斛：由C1J得：四边形4以7是菱形，EFLAG

:.CE=AE=2,OA=OGOB=ODt

t：ACLAB,

.\EFUABf

.\Z<9£C=ZF=30°,

：.OC=^CE=A,OE=^06=73)

.\AC=2OC=2,EF—2OE—2^^,

/.b边形AECF的面积=—/4CxEF--i-X2X2^/3=2^/3.

2

6.W正明：,:DENAC,CEIIBD,

.二四边形OC£7?是平行8边形.

'：ABCD是渍巨形,「・OC-OD.

「.叩边形OC。是菱形，

・•.OE\_CD.

7、斛：(]),:E为4。中点，

:.AE=DE,

-AFWBC,

:.△AFESXDBE,

.AF_AE

•,~~,

DBDE

AF—DB,

是直角三角形C44斜边3上的中线,

AD=BD-DC,

.\AF=DC,

-AFWDC,

叩边形/I。。7是平行8边形，

*.*AD—DC—DB,

・•・四边形ADCF黑麦形、

(2),:CE=EF=BE,

：.AFCB=90°,

*.*b边形/4Z?CF是菱形，

・・・3边形ADCF是正方形,

：./_ADC=90°,

♦：DC=DB,ADLBC

.\AC=ABy

；.AD=CD=DB,：支AE=DE=x,贝CD=BD=AD=2x,

♦:EG=CU+DR,

・,.5W=25,

・・・'=泥（负根已经舍弃），

AD—BD—CD—2^1^,

AB-^2/4P=2y

8、斛：（]）证明：•..四边形/wc。是平行四边形

：.ADHBCOB=OD

••,/_EDO=ZFBO,ZOED=ZOFB

：.XOED^4OFB

・•.DE=BF

队•；EDMBF

s边形BEDF是平行=边形

•；EF[BD

囚边形BFDE是菱形；

（2）・.・B边形夕/NE是菱形，BD=8

：,OD=—BD=4

2

•・•豆?=5

・・.OE=3

EF=6

菱形BFDE的面积为:—X8X6=24

2

答：蕤形BFDE的面短为24、

9.C)证明：,:(AEC=LAERZ.FEC=/.EAAED,乙EAD=/_FEC,

ZAEF—ZD,

•/8边形46。是平行四边形，

:,Z_B=/_D,

・・.N4=(AEF,

•；AF平分ZBAE,

ZBAF=ZEAF,

fZB=ZAEF

在ZXZb尸和△/I)中，(NBAF=NEAF，

AF=AF

：,!\ABF^/\AEF(AAS),

AB=AE\

(2)证明：,••叩边形是平行b边形，

：.AB\\CD,

：・/_BAF=/_EHA,

•・•ZBAF=ZEAF,

:.乙EHA=(EAF,

；.AE=HE,

\-AB=AE,

；,AB=EH,

0边形ABHE是平行凹边形，

又AB=AEt

四边形ABHE为菱形；

C3J解：•・,3边形4以亦为菱形，

：.AE=BH=EH,

设AE=BH-EH=x,

•・•平行B边形46。中，/5=90°,

・•.四边形46。是矩形，

.\BC=AD=8,2D=Z_BCD=9。。,

在RtZXAOf中，尸=4尸，即：82+C16-x)2

斛得：x=10,

22

CH=VBH-BC=7102-82=6'

同理，DE=6,

：.CE=EH-(77=10-6=4,

：.AB=CD=DE+CE=6+4=10,

ZEAD=ZFEC./.EAD+Z.AED=9Q0,

：./.FEC+/.AED=90°,

：./_AEF=90°,

,；AF中分ZBAE,

・•.BF=EF,