2021年中考数学复习 第五章　四边形

2021年中考数学复习第五章四边形

第一节平行四边形与多边形

考点

易错自纠

易错点1将平行四边形面积公式与三角形面积公式混淆而出错

1.如图，在△A5C中，/伤=4,队.q,将△/!回沿直线/切向右平移2个单位长度得到△T8'。',连接8’,则四边形ACC'A'

的面积为4.

易错点2误用“一组对边平行，一组对边相等的四边形是平行四边形”进行判定

2.在四边形/区⑦中，已知?!〃〃比；则添加下列条件不能判定四边形加切是平行四边形的是（C）

A.AB//DCB.AD=BC

C.AB=DCQ.NB+ZC=180°

易错点3题干未给出图形而忽略分类讨论

3.在平行四边形4比9中，/130"应A1,则平行四边形丝在的面积为8次或16次.

方法

0提分特训

1.[2020郑州适应性测试]如图,在平面直角坐标系中，。如配的顶点/I在x轴上,心,入仞060°.以点。为圆心、任

意长为半径画弧,分别交创,优于点4日再分别以点。,£为圆心、大于夕国的长为半径画弧,两弧相交于点£过点0

作射线OR交BC于点、P.则点户的坐标为（B）

A.（4,275）B.（6,2力）

C.(273,4)D.(2V3.6)

2.[2020山东潍坊]如图，点E是MBCD的边4〃上的一点，且器弓,连接的并延长交徵的延长线于点卜;若DEW、DF=\、

则州政力的周长为（C）

A.21B.28C.34D.42

3.如图，在。4%力中，点£.是边比'上一点，且力族庞；力£戊、的延长线相交于点£4伫62°，则N%56°

4.[2019广西河池]如图，在△极;中,〃,£分别是明居的中点，点?任"的延长线上，连接CF.添加一个

条件，使四边形,4%为平行四边形，则这个条件可以是（B）

A./B二/F

B.4B=4BCF

C.AC=CF

D.AD=CF

5.[2019辽宁沈阳]如图，在四边形/出口中，点/:.和点尸是对角线AC上的两点,AEVFgBE,且DF〃BE/点。作

CGLAB交相的延长线于点G.

⑴求证:四边形力及刀是平行四边形；

⑵若tan/"比!，/祝W5°，仇工夜,则知融勿的面积是21.

⑴证明：；AE=CF,

.\AE+EF=C"EFWAF=CE.

:'DF〃BE、，/DFA=NBEC

又二DF二讽工AMP乌△CBE、

・：AD=CB、4DA—BCE、/.AD//CB、nC

•:四边形/I皮〃是平行四边形./

⑵24/

解法提示：丁血力6,・：NQ90°.:

：2的W5°,・：△砥;是等腰直角三角形.4r”

•・・B（X&、・・・BG=C（；t.

2

又7lan/。仍看,」.修10,.：/火-6,

・：3舒的面积为6X4=24.

6.如图,在平行四边形极力中2a60°,AO汽AB=8,E为四上一动点（不与点力乃重合）/为切上一动点（不与点Cfi

重合），将平行四边形4完'〃沿曲折叠，使点X的对应点A'落在平行四边形力及力的顶点上，则

4,的长度为4或胃.

7.如图，在RtZUSC中,NQ90。，及7=MO8,点〃为48上一点，且4M,点后为，。上一动点，将△4?£沿直线应折叠,

得到△凡次当以点〃£氏。为顶点的四边形是平行四边形时,45■的长为二遍上速3

真题

考法平行四边形的性质与判定（10年9考）

1.|涉及考点:平行四边形的性质、尺规作图、角平分线的性质、菱形的判定与性质、勾股定理

[2015河南,7]如图，在。力以力中,用直尺和圆规作/胡〃的平分线AG交8。于点次连接BF.若//户6,力?=5,则然的长为

(C)

A.4B.6C.8D.10

2.|涉及考点:平行四边形的性质、勾股定理

[2014河南,7]如图尸力物的对角线力。与劭相交于点OABVAC.若482,47=6,则劭的长是（C）

A.8B.9C.10D.11

3.涉及考点:平行四边形的性质、外角的性质

[2016河南,10]如图，在中，密1脑交对角线〃■于点£若/1=20°,则N2的度数为110」.

作业

基础分点练健议用时：40分钟）

®考点1多边形及其内角和与外角和

1.[2020广东]若一个多边形的内角和是540。，则该多边形的边数为(B)

A.4B.5C.6D.7

2.[2020江苏扬州]如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点5,向左转45°后又沿直线前进10米到达点再向

左转15°后沿直线前进10米到达点1>…“照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程为（B）

A.100米B.80米C.60米D.40米

3.[2020江苏连云港]如图，正六边形4A444A内部有一个正五边形B、艮艮，旦44〃区及直线1经过区员则直线

）与44的夹角a=48:

4.[2020江苏扬州]如图,工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度e3cm,则螺帽边长

a=_V3cm.

®考点2平行四边形的判定与性质

5.[2020湖南益阳]如图产力及力的对角线ACBD交于氤Q若,406,劭=8,则4?的长可能是(D)

A.10B.8C.7D.6

DR

0

（第5题）第6题）

6.[2020浙江温州]如图在△板中,N/MO°,力作阳点〃在北边上以绍切为边作口况况;则N£的度数为（D）

A.40°B.50°C.60°D.70°

7.[2020濮阳模拟]如图，在。中，/冲7,/赧7的平分线与口交于点夕直线力月与比的延长线交于点片跳。"；贝U

力〃的长是（B）

A.3B.3.5C.4D.4.5

8.[2019广东广州]如图尸用力中，9对角线犯如相交于点。且/?/&〃分别是阳能屐2,的中点，则下列说

法正确的是（B）

A.EH=HG

B.四边形“7/是平行四边形

C.ACA.BD

D.△力的的面积是△£/、〃的面积的2倍

9.如图，在口被力中，点£在力〃上，且4?."介2；3,连接阳4c交于点£若△?/邮和四边形微沙的面积分别记为$£,

则S：S为（C）

A.4：9B.2：3C.6：11D.6：13

10.[2019郑州外国语三模]在中,NO90°,47=6,808,点〃为该平面内一点.若以4氏为顶点的四边形是平

行四边形，则此平行四边形的周长为（D）

A.28或32B.28或36

C.32或36D.28,32或36

11.[2019四川达州]如图尸屈力的对角线花物相交于点。，点少是4?的中点，△腕的周长是8,则△质的周长为

16.

12.在平面直角坐标系x片中尸。1%的位置如图所示，点A的坐标为（3,4）,点B在x轴的正半轴上，乙4班的平分线交

于点6,连接BG若加平分/仍C则水的长为2遍.

13.[2019河北保定二模]如图，在△力应'中,/〃加90。/为力夕边上一点，连接CD,E为5的中点，连接班'并延长至点

人使得成"能连接力'交4?于点G,连接CF.

⑴求证:四边形仍。’是平行四边形；

（2）若NG30。，&求a?的长.

⑴证明：丁点夕为。9的中点，

・：CE=DE.

又\*EF=BEy

,:四边形〃a厂是平行四边形.

（2）丁四边形〃成尸是平行四边形，

.：CF//AB.DF//BC、DF=BCA

.9.ZFCG=AA^°,

.：/力切=NIC300,

・：/CGF:/CGD4T.

在RtZk"G中，/'=6,N微;=30°,

.：/吟/二：3百，

.\DG=DF-FG=\.

在RI△DCG中,CD7CG?+DG2

综合提升练（建议用时：30分钟）

1.[2019洛阳一模]如图，点4是直线/外一点，在/的另一侧任取一点A；以点〃为圆心、掰的长为半径作弧交直线

1于点/V；再分别以昧V为圆心，以大于匏V的长为半径作弧,两弧相交于点P.连接即交直线1于点A.点C是直线1

上一点，点〃，石分别是线段仍吹的中点，点尸在。的延长线上,若/物=/用4>8,力庐6,则四边形力及方的周长为（I））

A.8B.10C.16D.18

2.[2019山东威海]如图/是孙8由边力〃延长线上一点，连接BE,CE,BD,BE交切于点K添加以下条件，不能判定四边

形式即为平行四边形的是（C）

li

A.ZABD=ZDCEB.DF=CF

C./AEB=/BCDD./AEC=/CBD

3.［2021预测］如图,在平行四边形ABCD中,NABC4Q°,4?力,及7=2,点£为射线比■上一动点，将△/1必沿直线折叠,

得到△{/%；当以点为顶点的四边形是平行四边形时，比.的长为二

4.［2018南阳三模］如图,四边形4及力中,4〃〃应;4ascm,a'=12cm,M是比■上一点，且秘=9cm,点E从点力出发以1

cm/s的速度向点。运动，同时点厂从点。出发，以3cm/s的速度向点夕运动，当其中一点到达终点时,另一点也随之

停止运动,设运动时间为ts,则当以4机£尸为顶点的四边形是平行四边形时,r一泡打.

5.［2019许昌一模］如图，将。放置在平面直角坐标系xOy中，已知4(-2,0)的2,0)以0,3),反比例函数吟(“>0)的图

象经过点C.

⑴求反比例函数的解析式；

(2)能否通过平移切及以使它的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上？若能，请直接写出平移过程;若

不能,请说明理由.

解:(1)「四边形4及力是平行四边形,*-2,0),用2,0),

.：CD=ABA

又“0,3),.：点。的坐标为(4,3).

将点［4,3)代入理，得AT2,

故反比例函数的解析式为用.

(2)能.将。，应力先向右平移2个单位，再向上平移3个单位.(答案不唯一)

6.(2021预测］如图,在平面直角坐标系中，直线.哼厂4与抛物线吟rFx+c交于坐标轴上“两点，抛物线与x轴的

另一交点为点B.

⑴求抛物线的解析式.

⑵点〃是抛物线上一动点（不与点4员。重合），点M是＞轴上一动点，是否存在点AM使得以点8。上材为顶点的四边

形是平行四边形？若存在，请求出点，的横坐标;若不存在,请说明理由.

解:⑴对于丫争~4,令状0,得y=-\y

令尸0,得产3,

」。0,心）,43,0）.

把.7（，0）,«0,1）分别代入7争‘的"，

得£X32+3b+c=o,解得,=-1,

1c=-4,（c=-4.

故抛物线的解析式为，亨争7.

（2）存在.

当8（、为平行四边形的一边时,/火〃以：

.：%-"/可LF,即—/4）YY）N.

当“为平行四边形的对角线时,////3“易知yr=~A.

综上,/%/N.

设小哈U*I）,则筑1//7；1.

当前争m时，解得Uh-1^/7,w-1-y/7.

当刎争/T二T时，解得分"0（不合题意,舍去）

故点〃的横坐标为\S、\夕或2.

全国视野创新练

操作型[2020浙江金华]如图，平移图形用与图形A.可以拼成一个平行四边形厕图中”的度数是30

（第2题）

2.新情境2020浙江金华］如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点AAC

均为正六边形的顶点,月6与地面a'所成的锐角为£,则tan£的值是_喘_.

第二节矩形、菱形和正方形

----------------------------------------、——易错自纠

易错点1不熟悉四边形或平行四边形与特殊平行四边形之间的关系而致错

1.下列说法正确的是(D)

A.一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等且互相垂直的四边形是正方形

D.对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

易错点2因分类不全面而出错

2.在矩形ABCD中,悬£尸在直线/〃上，且四边形四喏是菱形，则力广的长为2或8.

3.如图，在平面直角坐标系中"1(0,3),点N是直线尸1上一动点，点C是平面内一动点,当以点〃力圈。为顶点的四边形

是菱形时，点8的纵坐标为3•入②2注,3-2四或2企.

-------2J--------

X=l

方法

■分特训

1.如图,在矩形4及力和矩形CEFG中,AB=\、BC=CG2CEA点P在边G尸上，点。在边◎1上，且PF=CQ遥接4。和PQ,M、N

分别是.他/婚的中点厕册的长为—苧

A

GM

N

B口C（第2题）

2.[2019贵州安顺]如图，在RtZU%中,NHICWO。，且仍点〃是斜边比'上的一个动点，过点〃分别作DMVAB

于点必〃归_/于点A；连接则则线段J邠长的最小值为—半

3.如图，在D/M?中,MA.是劭上两点，阳=砒连接制阳。匕圾添加一个条件，使四边形4幻T是矩形，这个条件是（A）

A.aif^ACB.MB=MO////

C.BDA.ACD.aAMB=4CND~~-^*C

4.如图，菱形，始G9的对角线4,加相交于点是成的中点，点GG在AB上,EF1AB,0G〃EF.

（1）求证:四边形两是矩形；

⑵若AD=IO,EF=4,^位■和W的长.

D

⑴证明：:四边形4?⑶为菱形，

.:点。为物的中点._-^.C

又丁点£为血?的中点，

.：0£为的中位线,

.".OE//FG.

又,.•OG//EF,

.：四边形6®%'为平行四边形.

又:EF1AB、

.:四边形颁；为矩形.

⑵丁点£为的中点,4M0,

舄/眇5

又T/EFA由0：EFA

:,四边形ABO）为菱形,

.：AB=AD=IO,

.:吟仍巧.

:•四边形〃£7匕为矩形，

；.FG=OE4、

.：BG=AB/fG=103H5=2.

5.[2019河师大附中二模]如图,在矩形48cp中,40=5/8=8,点£为射线ZT上一个动点，把△?!〃£沿直线折叠,当点。

的对应点厂刚好落在线段48的垂直平分线上时，则比.的长为'或10.

6.SCD中,BCa,NB$Q。，将。沿翻折至连接B'D.若以点4，。/'为顶点的四边形是矩形，则

的长为或」次.

7.(2019许昌二模］如图，菱形｛及⑦的对角线，伍加相交于点〃，过点〃作MAB于点4连接以若/丽=20。，则

N4r的度数是(C)

A.120°B.130°C.140°D.150°

8.［2020黑龙江哈尔滨］如图,在菱形4%力中,对角线血相交于点0,点。,在线段加上，连接,4£若

勿=2能NZM£=N〃£4,£0=1,则线段熊的长为2&.

9.［2020许昌二模］

如图,四边形力腼的两条对角线劭交于点O,OA=OC,OB=OD.添加下列条件，仍不能判定四边形月及第为菱形的是

(C)

A.ACLBDB.AB=BC

C.AC=BDD.NBAC=NDAC

10.如图，在,％式》中,4见_做//6,/193旧,将4及笫沿施方向移动t个单位长度，得到连接AB'.C'D.

(1)求证:四边形zib'C'。是平行四边形.

⑵磅t=」时,四边形49'C'4是矩形;

②St=厂两四边形也'C'〃是菱形.

⑴证明：：•四边形,4及⑦是平行四边形，

；.AD〃BC、AD=BC.

:,将△BCD沿加方向移动t个单位长度，得到△6'。'〃',

.：B'C'〃BGB'C'=BC、

.'.AD//B'C.At^B'C,

.：四边形DC'〃是平行四边形.

⑵④②9

解法提示:①当四边形，仍'C'〃是矩形时,/〃'49=90°.

AD2-AB2-9.

易证△4?'时△〃超

ABBB'

~DB~AB肥军..:缈w,

故/=4.

②S四边形.仿Z'〃是菱形时,,仿'=/以

VABLBD.

・：BB'=BD》

故片9.

11.如图,在菱形力凡加中，乙4=120°48m+1,点“在边仍上，命二1,点/、是对角线劭上一动点(不含点反。，将△戚

沿〃折叠，当点6的对应点4’落在菱形力版的边上时，筋的长为1或百.

12.[2019湖北黄石]如图，在平面直角坐标系中,边长为2的正方形ABCD的边/位在x轴上，/〃边的中点是坐标原点

0,将正方形绕点。按逆时针方向旋转90°后，点6的对应点8'的坐标是(C

A.(-1,2)B.(1,4)C.(3,2)D.(-1,0)

13.[2020山东滨州]如图，点〃是正方形/由(力内一点，且点P到点的距离分别为2倔e,4,则

正方形力成力的面积为11±1百.

14.已知:如图,在菱形ABCD中，点E,O,F分别为仍用初的中点，连接CE,CF、OE,OF.

(1)求证:△况回△以次

⑵当AB与8c满足什么关系时,四边形力£8.是正方形？请说明理由.

(1)证明：：,四边形为菱形，

:.AB=BC=CD=DA/B=/D.

又点£/分别是49”〃的中点，

.：BE=DF,，△8。但4DCF.

(2)当时,四边形4£0'为正方形.

理由如下：

:•点£"分别是仍何的中点,阳

又BC"M；.OEHAD般OE//AF.

同理可证OF//AE,

.：四边形/仇犷为平行四边形.

由⑴可得/乒"；

.：平行四边形,4£〃尸为菱形.

"BCLAB,

.：Z5=90°,

.：N阴庐90",

.：菱形力£。尸为正方形.

15.如图,正方形A?5的边长为10,点尸是火上的动点(不与端点重合)，点£是⑦的中点，连接AE、BE、AF,作4ABF关

于直线4尸的对称图形，点4的对应点为点G；当点G,落在△』比.的一边上时,G£的长为V5§£5V5-

10

真题

考法1矩形的性质与判定

1」涉及考点:折叠的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理|

点"落在矩形/耿力的边上厕a的值为—速苧

2.涉及考点:折叠的性质、矩形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理

[2016河南,15]如图，已知AD//BC.ABLBQAB^).点A为射线式1上一个动点，连接仍将△力应■沿折叠，点8落在点

8'处，过点6'作4〃的垂线，分别交｛〃典于点MN当点6'为线段MV的三等分点时廨.的长为手或手.

4--5--

MD

3」涉及考点:折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定与性质、勾股定理

[2013河南,15]如图,在矩形力比力中，力庆3,以工，点E是比‘边上一点，连接力£把N8沿力上折叠，使点斤落在点”'处，连

接B'C.当△酸夕为直角三角形时，龙'的长为3或1.5

考法2菱形的性质与判定

4.涉及考点:平行四边形的性质、菱形的判定

[2017河南,7]如图，在口力腼中,对角线力C而相交于点。，添加下列条件不熊判定。月颇是菱形的只有(C

A.ACLBDB.AB=BC

C.AC=BDD.Z1-Z2

5.|涉及考点:菱形的判定、直角三角形的性质、圆的相关性质、相似三角形的判定与性质

[2016河南,网如图，在山“回中2械=9。。，点V是4C的中点，以四为直径作O。分别交能即于氤连接DE.

⑴求证:珈三见

⑵填空:百月比6,当AD吟"吐DE=2;

(2旌接勿，应；当Z/I的度数为60°时,四边形必仍是菱形.

⑴证明:在RtZVl砥中，点〃是〃’的中点,

•:物三妈

.：//二/侬.

丁四边形1四是圆内接四边形，

"ADE+NABEN8。。.

又/力庞+/血3180°,

同理可证N.世力=/4

,:乙MDE二乙甘ED,

，MD二ME.

⑵位

a°

考法3正方形的性质与判定

6涉.及考点:正方形的性质、中位线定理、勾股定理等

[2020河南,14]如图，在边长为2鱼的正方形力?山中，点分别是边/应比、的中点，连接EC、FD,点、分别是用功的

中点，连接674贝IJ中的长度为1.

7.涉及考点:正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理

[2015河南,15]如图，正方形/眼力的边长是16,点£'在边四上，力后3,点尸是边比上不与点5(重合的一个动点，把

△仍尸沿命折叠，点夕落在"处，连接B'C、B'D.若△鹿’恰为等腰三角形，则△'的长为16或1/.

AD

运

BFC

考法4四边形的动态综合题

8.惜及考点:平行四边形、菱形、矩形的判定，全等三角形的判定与性质|

[2012河南,18]如图,在菱形/区中中,/1庐2,NZM户60°,点E是4。边的中点，点//是/山边上一动点(不与点A重合)，连

接，监并延长,交射线⑦于点八；连接UD,AN.

(1)求证:四边形川位V是平行四边形.

(2)填空:⑦当4"的值为1时,四边形4极杵是矩形；

尊41/的值为2时,四边形和例是菱形.上——D----------C

解:⑴证明：>四边形应四是菱形，.:即〃4也\7\\/

.：/NDE=4MAE、NDNE=NAME.MN/

又二点ZT是布的中点，AMB

.：DE=AE,

.：△」《国△」〃£

.\ND=MA、

.：四边形A'U)N是平行四边形.

(2卬徵

9」涉及考点:菱形的判定、直角三角形的判定与性质、三角函循

[2011河南,22]如图，在RtZUbC中,N於90。，仇°.点。从点C出发沿。方向以每秒2个单位长度的速

度向点A匀速运动,同时点£从点A出发沿四方向以每秒1个单位长度的速度向点6匀速运动，当其中一个点到达

终点时，另一个点也随之停止运动.设点4E运动的时间是t(t>0)秒.过点。作加工比于点£连接DE.EF.

⑴求证/£=〃£

(2)四边形力能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值;如果不能，说明理由.

(3)当r为何值时，△颇为直角三角形？请说明理由.

D

B

⑴证明:在△加C中,NWG90°,ZC=QO°,DC^2t,

•：DF=t.

又VA^t,

.\A£=DF.

(2)能.

；ABLBQDFLBC、.：AE//DF.

又/彷'=〃£.：四边形IE叨为平行四边形.

「在RtAUC中,/6=30°,

.■.AK=BC-tan3004石,."CN/i5=10.

若使平行四边形川％。为菱形，则需.4Z"4〃，

即Z=10-2r,.：t=y,

故当/考时，四边形小叨为菱形.

(3)/为，或4时，△庞尸为直角三角形.

理由如下：

磁Z.EDF杂。时，四边形/方尸"为矩形.

在RtZ\4F〃中,N4应'=NO30°,

.：初24£即10-2f2r,解得若.

翦NDEF剑时，由(2)知EF//AD,

"ADE=NDEF帮：

：'ZA=90°-ZC=60",

J.A3AE。cos60°,

即10-21/，,解得t=4.

的90。时，此种情况不存在.

综上所述，当琦或4时，△游为直角三角形.

作业

基础分点练(建议用时：70分钟)

«考点1矩形的性质与判定

1.(2020江苏连云港］如图，将矩形纸片ABCD沿虚折叠，使点A落在对角线加上的4'处，若N的。24。，则N/1'以等

于

A.66°B.60°

C.57°D.48°

2.已知3纪9,下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是

A.ZA=ZBB.NA=NC

C.AC=BD\),ABVBC

3.［2019信阳二模］如图，在矩形/切口中,仍2%在⑦上取一点£使川耳区则的度数为(C)

A.30°B.45°

C.15°D.不能确定n一

4/2019许昌一模］如图,,4。是矩形月氏第的一条对角线3是力。中点，连接儆再分别以点4〃为圆心、大于品〃的长

为半径作弧,两弧相交于点£连接EF交49于点G.若四3/04,则四边形力a力的周长为

A.8B.8.5C.9D.9.5

7?(第4题)(第5题)

5.［2018贵州遵义］如图，点P是矩形力腼的对角线然上一点，过点〃作仔77%分别交做⑦于£1；连接PB、PD.若

力£、之,/不用，则图中阴影部分的面积为

A.10B.12C.16D.18

6.［2020广东广州］

6.如图，矩形/威力的对角线A&BO交于点、QAB&BC4,过点、。作位1区交力〃于点£过点£作ERLBD,垂定为7•；则

应力%的值为

7.［2020焦作二模］

如图,在平面直角坐标系中，矩形被⑦的边外在x轴上,顶点力(M,6)44,0),连接转按下列方法作图:⑴以点。为圆

心，适当长为半径画弧，分别交以切于点££⑵分别以点为圆心，大于^绪的长为半径画弧，两弧交于点G⑶作射

线CG交力〃于点H.则点〃的横坐标为(D)

A.6B.4C.3D.1

8.[2020广东广州]如图，矩形力仇》中，点G,万分别在边8Q%＞上，连接/屹£%4£将4,4跖和△£(%分别沿4G,£C折叠，使

点瓦。恰好落在A?上的同一点,记为点F.若困,8=4则sinZDAE=_^_.

9.[2020四川遂宁]如图，在△4%、中,/俗4,点〃,£分别是线段比的中点，过点/I作欢,的平行线交班'的延长线于

点£连接CF.

(1)求证:△应性△目£

⑵求证:四边形ADCF为矩形.

证明:⑴：'AF//AFE=ADBE.

:,点？是49的中点,."£=加

又/AEF=/DEB'；.4BD曜4FAE.

(2);ABD昭4FAE、；.AF=BD.

丁点。是用的中点,46=阳

.：BD=CD,AD1.BC,.\AF=CD.

又."7/a,：四边形4戊7」是平行四边形.

又乙MC90°,.：四边形4皮方为矩形.

10.[2019黑龙江大庆]如图,在矩形/眼⑦中，心=3,小4即，在对角线47上，且4佐制£尸分别是做8。的中点.

⑴求证:侬△勿北

⑵点。是对角线北上的点,NEC490。，求4G的长.

⑴证明：:四边形/I及力是矩形，

:.AB"CD、AB=CD'

；.ZMAB=/NCD.

在△/a/和中，

(AB=CD,

\0MAB=QNCD,

[AM=CN,

.'△AB34CDN.

⑵连接钛交4,于点0.

:,四边形力及切为矩形，

.,.AD//BC,AD-!iC:"y/AB2+BC2=5,

；.NEAO=/FCO、AE=CF.

又ZEOA=NFCO,

.：£(AN),AO=CO.

:NEGF郎。、OG中1喝Q

.•.AG=OA-GO=\或AG=OA^GO=\,

."C的长为1或4.

®考点2菱形的性质与判定

11.（2018湖北十堰］菱形不具备的性质是(B)

A.四条边都相等B.对角线一定相等

C.是轴对称图形I）.是中心对称图形

12.[2019河北]如图，菱形械力中,N〃=150。，则Nl=(D)

A.30°B.25°C.20°D,15°

13.［2019贵州毕节中考改编］在平行四边形1阅9中"匕劭是两条对角线，现从以下四个关

系:勤8=比：勃。物:③4cL初勘AL%中随机取出一个作为条件，可推出平行四边形4ra是菱形的是（B）

A.&2）B.C.®®D.③④

14.［2020辽宁抚顺］

如图,四边形力及力是菱形，对角线/优;物相交于点点£是由上一点，连接阳若庞工图则的长是（B）

A.2B.1C.3D.4

15.（2019广东深圳］如图，菱形4及力的边长为4,N班〃=120°.点£/•'分别为边AB,AD上的点,BE=AF.〃、与环交于点G,

连接EC.CK有下列结论：

①4BC跆4ACP、

②少为等边三角形；

③NAGE=NBEC,

理"=1,则跖=3月C.

其中正确的结论有(D)

A.1个B.2个C.3个D.4个

16.［2020广东］如图，在菱形械》中,N4-30°,取大于物的长为半径，分别以点48为圆心作弧相交于两点,过此两

点的直线交成边于点凤作图痕迹如图所示），连接BE、BD.则NE必的度数为6」.

17.［2019广西北部湾经济区］如图，在菱形/仿切中,对角线〃；物交于点Q,过点d作/1〃_1及;于点〃已知BO=4,SSK

.故•产24则AH=-y

18.［2020江苏扬州］如图尸力朋的对角线力C初相交于点过点。作正1的分别交明〃。于点"；连接AF,CE.

⑴若呜，求)的长

(2)判断四边形/伤夕'的形状,并说明理由.

解:(1)丁四边形力施力是平行四边形，

・：AB//CDQA=OC,,：ZEAO=Z.FCO.ZOEA=/OFC.

.：△力〃3△《小

.\FO=EO.

又丁。弓，

；.晔2%尢义3衿

(2)四边形/或＞是菱形.

SS：•.,EFLAC,OE=OF,OA=OC.

.：四边形/故，是菱形.

®考点3正方形的性质与判定

19.［2019湖南长沙地区模拟］下列说法中不正确的是(D)

A.两条对角线互相垂直的矩形是正方形

B.两条对角线相等的菱形是正方形

C.两条对角线垂直且相等的平行四边形是正方形

D.两条对角线垂直且相等的四边形是正方形

20.［2020许昌二模］如图,正方形4及力的边长为3,4。与劭交于点Q,点£在边5c上，且BECEC连接交物于点F,

则"的长为(C)

A.iV13B.1V13

C.|A/13D.1V13

21.(2020广东］如图，在正方形4M中,4户3,点劭'分别在边AB,CD上,NEFD4Q°.若将四边形EBCF论分'折叠，点B

恰好落在49边上，则班.的长度为(D)

A.1B.V2C.V3D.2

22.如图,正方形CWW.的边长为1,点4c分别在x轴、y轴上，将正方形OABC绕息。顺时针旋转30。，得到正方形

以'2'。',8'。'与4/相交于点/：则点〃的坐标为(D'.

A.(y,l)B.(l净©卜K

C.(f.l)D.喈)0%'

23.如图,正方形四切的对角线交于点Q点£/分别在做比上(AEVB0且NEOFWO。，OE,DA的延长线交于点虬ORAB

的延长线交于点八；连接MN.

⑴求证:。聆加

(2)若正方形4瓦〃的边长为4,为如的中点，求拗.的长

⑴证明：:四边形，仍成是正方形，

・：OA=OBZDAOa50,N倒N5:ACLBD,

」N614人/如W135°/AOB戈Q°.

又7/EOF挈°,

・・・/AOM二/BON、

・：△如虑△饭M

,\OM=ON.

⑵过点。作0〃_L4。于点〃

则OH〃AB、OH二DH二A吟由它.

又：苫为期的中点，二物力步2

・：//I/-1,Z如R22+42-2V5,

Z.I/\V20I/-2V10.

24.[2020开封二模]如图,4?是。〃的直径，过点力作。。的切线AP点，是射线北上的动点，连接CO交。。于点£过

点“作BD//CO,交O。于点〃，连接DEMCD.

⑴求证：。=6P.

(2)填空：

①^乙怙。的度数为3()时,四边形EOBD是菱形;

②©应勺〃，则当47二凫_(用含〃/的式子表

示)时,四边形“W是正方形.

⑴证明：丁BD〃C。、・：/OBD「/AOE、/ODB「/EOD.

;OB=OD、・*・/OBD=/ODB,・，・/AOE=4EOD,

(AO=DO,

在和中JCIAOC=口OOC,

(co=co,

,ROC旭△OCD、・：CA=CD.

⑵刎。若m

解法提示:①丁四边形必必是菱形,,：如.又丁如;如「AM9是等边三角形,,：//%=/如〃W0°.7"是。。的切

线,.：N6MCR0°,,：//0＞考0°.

2：•四边形”刀〃是正方形△〃例是等腰直角三角形,.：(加-〃〃当例耳佝火号公

综合提升练(建议用时：50分钟)

1.[2020浙江绍兴]如图，点。为矩形1比》的对称中心，点£从点A出发沿4?向点8运动，移动到点4停止，延长E0交

切于点£则四边形刈%＞形状的变化依次为(B)

A.平行四边形一正方形一平行四边形~矩形

B.平行四边形一菱形一平行四边形~矩形

C.平行四边形一正方形一菱形一矩形

D.平行四边形一菱形一正方形一矩形

2.[2020湖北恩施州]如图,正方形力及刀的边长为4,点E在47上且防N产为对角线4。上一动点，则△毋7?周长的

最小值为(B)

A.5B.6C.7D.8

3.[2020陕西]如图,在菱形｛及笫中走60。，点后在边4。上，且AE=2.若直线1经过点£将该菱形的面积平分,

4.[2019平顶山三模]如图,在菱形40中,4?2,/胡如120。，点£户分别是边44加上的动点，将△应犷沿直线EF折

叠，使点3的对应点8’始终落在边切上，则4万两点之间的最大距离为2^/3.

5.[2020南阳宛城区一模]在矩形纸片胸中”仿当，比N5,沿着过该矩形纸片顶点的一条直线将N3折叠，当点6的

对应点6'恰好落在矩形的边力。上时，折痕的长为9&或5-/10

6.如图，在正方形力及力中,4明3,点片在4〃边上，且4£=2.点尸是射线比1上一动点，连接/叫啊过点P作PFLBE于羔

人.当△必F与相似时,游的长为2或停.

---------4---

7.[2020开封一模]如图，矩形4及力的两个顶点分别在y轴和x轴上,对角线A&BD交于息£过点(■作优Lx轴于

点F.已知反比例函数y§(xX))的图象经过点£与CF交于点G,点4//的坐标分别为(0,3),(2,0),(8,0).

⑴求反比例函数的解析式.

⑵在x轴上是否存在点已使得加V。的值最小？若存在，请求出点尸的坐标;若不存在,请说明理由.

解:⑴丁00轴，•：/加仁90'-Z.AOB.

:4(0,3),及2,0),外8,0),,：如-3,08-2,0)，

；・BF鼻嗓鼻.

•••/ABO+/CBF4SCF+/CBF*Q；

,4ABO二Z.BCF、・•，AAO吐ABFC,

•喘喘"脸」"小：侬).f°

丁四边形仍成为矩形,•：点£为NC的中点.

由中点坐标公式得乂与工力专白竭).

把尺吗)代入广3得R居M,4F

.:反比例函数的解析式为.

x

(2)存在.

对于「司14令「8,则『*7.W8彳7).

作点(；关于*轴的对称点仁则点。'的坐标为(8,5

连接仅'，则册'与八轴的交点即为〃处672的值最小时点/)的位置，如图所示.

由中点坐标公式可得等工学!

解得用可,乂也・：火6,7).

设直线%’的解析式为y=ax+b.

7

把体,7),/(8,i)分别代入•.,―/，，

35

6a+b=7,a----

8

得7解得

8a+b=—•,133

4,b=—­

.：直线加"的解析式为L输苧.

84

a工35133A八mi38.“38八、

8455

8.[2019驻马店地区模拟]如图,在矩形ABCD中,AE平分NBAC交附于点E、CF平■脸4ACD交/M于点£连接能交AC

于点。，点“为反'的中点，点A,'为上的一个动点(不与点4?重合)4加6

⑴求证:次

(2)填空:侬砥=」百—时，四边形4即■,为菱形；

②SQ的条件下，当创三二V5_时,四边形公加'为平行四边形.

⑴证明：：•四边形/以要是矩形,

；.AB=CD、AB〃CD/B=/DW°、

BMC

，/BAC=/ACD.

TNBAEfZBAC,ZDC吟ZACD,

；./BAE=/FCD.

在△，跖和△口/中，

Z.BAE=Z.DCF,

AB-CD,

Z.B=Z.D,

.：△/»侬△亦

⑵(2W3

9.规定:有一角重合，且角的两边叠合在一起的两个相似四边形叫做“嵌套四边形”，如图,四边形4阅9和和火V就是

嵌套四边形.

⑴问题猾想:如图⑴，嵌套四边形4及6,4网；都是正方形，现把正方形4"丫顺时针旋转150°得到正方形4，。%,连

接交于点。，则BM'与ZW'的数量关系为BM'小.