2021年中考数学复习 第8讲-几何变换之旋转（二）

第8讲几何变换之旋转（二

Section1三垂直模型

知识总结

三、三垂直模型

i.模型介绍

△ABC是等腰直角三角形，一条直线过点C,分别过A、8向该直线作垂线，垂足分别为。、E,则

△ADCgACEB.

ZD=ZE

证明：\ZDAC=ZECB-△ADC丝△CEB（A4S）

AC=CB

总结：一条直线经过等腰直角三角形的直角顶点，过另外两个顶点分别向该直线作垂线，即可得三垂

直模型.（等腰、直角、作垂直）

【思考】“等腰、直角、作垂直”在证明全等中所发挥的作用是什么？

【弱化条件】

（1）如果没有等腰？

依然可以构造三垂直，只不过得到的是三垂直相似，而非三垂直全等.

如图，有AADgACEB.

特别地，若点C为BD中点,则△AOCS/\CEBSAACB.

(2)如果没有直角？

直角与作垂直是配套的，最终的结果是有三个直角,其价值不在于它们是特殊角，而是它们都是相

等的，所以即便没有直角，换成三个相等的角亦可,即“一线三等角”模型

2.模型构造

(1)当图形中存在等腰直角时，可构造得三垂直全等;

(2)当图形中存在直角时，可构造得三垂直相似；

(3)当图形中存在特殊角时，可构造三垂直.

［引例1］如图直角梯形ABCD中,AD//BC,ABLBC,4)=2,BC=3,将腰CD以。为中心

逆时针旋转90。至£»,连隹、CE,则AADE的面积是()

A.1B.2D.不能确定

【引例2】如图，在平面直线坐标系中，直线A8解析式为y=点M(2,1)是直线AB上一点,

将直线A8绕点M顺时针旋转a得到直线CD,且tana=。，求直线CD解析式.

2

3.模型理解

构造三垂直全等，一方面可以得到相等线段，在几何图形中作等量代换，另外在坐标系中构造三垂直

全等，可实现“化斜为直”，用水平或竖直线段刻画图中的点与线，尤其在坐标系中，更方便计算.

经典例题

【例1】如图，平面直角坐标系中，点8在第一象限，点A在x轴的正半轴上，/AOB=/B=30。,

04=2,将△A0B绕点。逆时针旋转90°,点8的对应点B'的坐标是()

A.+@B.(-6,3)C.(-73,2+D.卜3,⑹

【例2】如图，已知A(0,3)、B(4,0),点C在第一象限，且AC=5后，8c=10,则

直线OC的函数表达式为.

【例3】(2019•无锡)如图，在aABC中，AB=AC=5,BC=4也,。为边4B上一动点(8点除外),

以C£＞为一边作正方形以陀凡连接BE,则△8DE面积的最大值为.

E

A

BC

【例4】如图，正方形ABCD和RtAAEF,AB=5,AE=AF=4,连接班DE.若AAE尸绕点A

旋转，当尸最大时，S^DE=.

【例5】（2016•河南）如图，在矩形ABCD中，AB=3,3C=5,点E为5c边上一个动点，连接

AE,将线段隹绕点E顺时针旋转90。，点A落在点尸处，当点？在矩形488外部时，连接PC、

PD.若ADPC为直角三角形，则3E的长.

BEC

Section2半角模型

知识总结

1.90。+45。模型.

如图，在正方形A8CO中，E、尸分别在BC、CD上，且NE4F=45。连接EF.

【两个基本结论】

结论1：EF=BE+DF.

证明：延长CD至点G使得DG=BE【截长】

易证：/\ABE^/\ADG(SAS)-AE=AG,ZGAF=45°

易证：△AFEgAAFG(SAS)-EF=GF

综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF.

若E、F分别在CB、QC延长线上时，结论变为：EF=DF-BE.

r

证明：在QC上取点G使得DG=BE【补短】

易证：LABE/AADG(SAS)一AE=AG,ZGAF=45°

易证：^AEF^/XAGF(S4S)-EF=GF

综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE

【小结】截长、补短只是形式，关键点在于已知半角的情况下，构造相应的另一个半角.此处通过旋

转，想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置，需要：邻边相等，对角互补.

结论2：连接A。，与AE、AF分别交于M、N,则：MN2=BM2+DN2.

证明：构造△AZJM'丝△ABM-AM=AM',NMAN=NM'AN,BM=DM'

易证：△AMNmAAM'N(SAS)-MN=M，N

易证：△”£＞可是直角三角形—M'N2^M'D2+DN2-MN2=BM2+DN2.

【两个常用结论】

结论3：若则点尸是C。边中点.反之亦然.

3

结论4：过点A作A〃_LEF交EF于H点，则△A8E也△AHE,/\AHF^/\ADF.

另外还可得：AE平分NBEF,AF平分NDFE.

注意：若AE平分NBE凡则可推NE4FE5°.

2.120。+60。模型

(1)如图，△A8C是等边三角形，B£>=C£>且/B0C=12O。，E、/在直线AB、AC上且/E£>F=60。

结论：EF=BE+CF

(2)若点F在AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系？

经典例题

【例6】（2016滁州）如图，正方形ABCZ）的边长为2,点E,尸分别在边AD,C£＞上，若NEBF=45。,

则AEZW的周长等于—.

【例7】如图，在正方形ABC短内作NE4产=45。，AE交8c于点AF交8于点F,连接班

过点A作AHJ_EF,垂足为7/,将AADF绕点4顺时针旋转90。得到AABG,若BE=2,DF=3,

则AH的长为.

【例8】如图，在正方形ABCD中，E是边上的一点，BE=4,EC=8,将正方形边AB沿他折

叠到AF,延长EF交DC于G,连接AG,FC,现在有如下4个结论：①NE4G=45。；②FG=FC；

③FC〃AG；④SA5C=14.

其中正确结论的个数是（）

A.1B.2C.3D.4

【例9】如图，在正方形A8CD中，点E是AB边上一点，以DE为边作正方形DEFG,DF与BC交

于点、M,延长EM交GV于点H,£F与C8交于点N,连接CG.

(1)求证：CD1CG；

(2)tanZ.MEN=-,求丝*■的值；

3EM

(3)已知正方形A8CD的边长为1,点E在运动过程中，EM的长能否为1?请说明理由.

2

Section3另类旋转一弦图的应用

知识总结

在勾股定理的证明中，我们学习过赵爽弦图，如下，有AAED注4BFA沿ACGBmDHC.

稍作变形，DE1AF,则可得：（证明思路类似三垂直模型）

一般地，在正方形ABCZ）中，若MN_LPQ,则必有MN=PQ.

法一：分别将PQ、MN平移至4尸、DE位置（作平行线）证明A尸=OE即可.

法二：过点P作PE_L8C,过点N作NF_LAB交A8于点F,易证△PEQ丝△NFM.

反之，若已知PQ=MM但不一定存在PQ_LMN.

如下：EF=PQ=MN,但EF不与MN垂直.

由位置关系可推数量关系，但由数量关系未必可推位置关系.

其他结论：

(1)弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且平分.

将正方形ABCD沿MN折叠，则且A4'_LMM

(2)弦图与辅助圆：垂足H轨迹是个圆弧(定边对直角)

以A。中点〃为圆心，为半径的圆，两端分别的点A及对角线交点0.

经典例题

【例9】如图，E、F是正方形ABCD的边AO上的两个动点，满足AE=£>F,连接CF交8。于点G,

连接BE交AG于点H,若正方形边长为2,则线段。”长度的最小值是.

【例10】(2018•宿迁)如图，在边长为1的正方形A8C。中，动点E、R分别在边AB、8上,

将正方形A88沿直线即折叠，使点B的对应点M始终落在边4)上(点M不与点A、。重合),

点C落在点N处，MN与CD交于点、P,设

(1)当时，求x的值；

3

(2)随着点M在边4)上位置的变化，APD似的周长是否发生变化？如变化，请说明理由；如不变,

请求出该定值；

(3)设四边形班FC的面积为S,求S与x之间的函数表达式，并求出S的最小值.

备用图

【引例1】求面积当然是先考虑考虑面枳公式咯.

已知A£>=2,过点E作ENLAQ交AO延长线于点N,求出EN即可求出面积.

考虑△COE是等腰直角三角形，过点C作CMON交LW于M点，

易证△ENDW△£＞例C,Z.EN=DM=BC-AD=I,

故L”E=[X2X1=1,

故选A.

【引例2】在直线AB上再选取点。构造三垂直相似，如下图所示,

易证△PFOS/\OEM,且相似比丝=tanNP/0O=3,

OM2

333

^OF=-ME=-,PF=-OE=3,

222

故尸点坐标为卜I，3),

结合P、M点坐标可解直线C。解析式：y=--x+-.

-77

【例1】旋转90。构造三垂直全等.

由题意可求B点坐标为（3,6）,

分别过点8、9作3M、3'N垂直x轴，垂足分别为M、N,

易证△BMO丝△ONB',

.•.点8'坐标为卜班,3),故选8.

【例2】发现△4BC是直角三角形是关键.

易证△ABC是直角三角形，过点C作轴交x轴于，点,

易证△AOBS/XBHC,可得8H=6,CH=8,

故点C坐标为(10,8),

直线OC函数表达式为y=.

【例3】求三角形的面积，可以首先考虑面积公式，以3。为底，需作高.

分别过C、E作B4的垂线，垂足分别记为点M、N,

易证△DMC之△£N£),由tanNABC=2得：CM=4,8M=8,

2

设B£>=x,则£7V=QM=8-x,

S^BDE=一x・(8—x)=—J+4x,

当44时，5,皿£取到最大值8,

故面积的最大值为8.

［例4］动态问题先分析何时最大.

F点轨迹是以点A为圆心，A尸为半径的圆，

当8尸与圆相切时，NAB尸最大，

分别过点E、尸作直线D4的垂线，垂足分别记为M、N,

故△△£)£的面积为6.

【例5】并不确定直角时需分类讨论.

情况一：当/POC=90。时，如下左图，

易证△然后是等腰直角三角形，；.BE=AB=3.

情况二：当NCPC=90。时，如上右图，

过点P作BC的垂线，垂足记为与延长线交于点N,则MNLAD,

易证△ABE彩ZXCMP,丛CMPs丛PND,

®BE=x,则MP=x,PN=3-x,EM=A8=3,CM=x-2,

..CM_MP^代入得」一2_x7+Vn7-V17

,解得：大=,JCs-（舍）,

PNND3—xx—24'4

综上所述，BE的长为3或竽

【例6】半角模型.

根据半角模型结论可知EF=AE+CF,

：./\EDF的周长等于DA+DC=4,

故尸的周长为4.

【例7】半角模型.

EF=BE+DF=5,设正方形边长为x,则CE=x-2,CF=x-3,

勾股定理得：（X-2）2+（X-3）2=52,解得k6或-1（舍）,

故AH=AB=6,AH的长为6.

【例8】显然4ABE丝Z\AFE,易证AAGF畛ZXAGD,

ZE4G=-ZBAD=45°,故结论①正确；

2

若FG=FC,则点F是EG边中点，显然不成立，故结论②错误;

连接FC,

VBE=-BC,可得点G是CD边中点，...GD=GC=GF,ZGFC+ZGCF=ZDGF=2ZAGF,

3

/GFC=NAGF,；.FC〃AG.故结论③正确；

113372

故结论④错误.

SCFC=-2£C-CG=2-x8x6=24,5rFr=5-SrFr=5-x24=5—14,

综上，正确的个数有2个，故选B.

【例9】

(1)易证4DAE^4DCG,；.NDCG=NDAE=90°,ACDlCG.

(2)易证NMEN=NMGF=NCDG=NADE

易证^FME丝Z\FMG,；.ME=MG,ZFEM=ZFGM,

.,.△EMN^AGMH,，MN=MH.

.MNMHFH

-=tanZMEN=-

~DEEF3

—的值为L

EM3

（3）不可能.

VZEDF=45°,易证EM=AE+CN,若EM=L则AE+CM='，

22

则BE+BM=L,：.EM=BE+BM,

2

又在aBEM中，又...不可能.

【例10]根据条件可知：ZDAG=ZDCG^ZABE,易证AG-LBE,即乙448=90°,

所以H点轨迹是以AB为直径的圆弧

当。、H、。共线时，OH取到最小值，勾股定理可求.

【例11](1)BE=x,则AE=