2021年中考数学复习满分突破训练：几何专项-《相似综合》（五）

备考2021年中考数学复习满分突破训练:

几何专项一一《相似综合》(五)

1.如图1,例为线段AB的中点，AE与BO交于点C,NDME=NA=NB=a,且。M交

AC于F,ME交BC于G.

(1)求证：AAMFs丛BGM；

(2)若AM=2&,AF=3,求8G的长；

(3)如图2,连接尸G,在(2)条件下，若a=45°,求△EFG的面积.

2.如图1,在矩形A8CD中，AB=6a〃，BC=8cm,如果点E由点B出发沿BC方向向点C

匀速运动，同时点F由点D出发沿DA方向向点4匀速运动，它们的速度分别为每秒2cm

和lew,FQ1BC,分别交AC、BC于点尸和。，设运动时间为f秒(0<f<4).

(1)连接EF,若运动时间秒时，求证：△EQF是等腰直角三角形；

(2)连接EP,当的面积为3。小时，求r的值；

(3)在运动过程中，当f取何值时，△EPQ与△ADC相似.

3.如图，在矩形ABC。中，点P为BC边上一点(BP>CP),ZAPD=90°,将△PC。沿

PD翻折，得到△PC'D,PC的延长线交AO于点M,过点A作AN〃P比交BC于点N.

(1)试判断四边形AMPN的形状并说明理由；

(2)如图2,连接B。，分别交MP,AP于点E,F,若tan/PDC=2，求里的值.

4.已知四边形ABC。是矩形，AB=2,BC=4,E为BC边上一动点且不与8、C重合，连

接AE(1)如图1,过点E作EN1AE交CD于点N.

①若BE=1,求CN的长；

②将△ECN沿EN翻折，点C恰好落在边AD上，求BE的长；

(2)如图2,连接B。，设BE=m,试用含，〃的代数式表示S四边形CDFE：&ADF值.

5.如图1,ZVIBC中，ZB=30°，点。在BA的延长线上，点E在8c边上，连接OE,

交AC于点F.若NEFC=60°,DE=2AC,求黑■的值.

某学习小组的同学经过思考，交流了自己的想法：

小明：“通过观察和度量，发现/C与NO存在某种数量关系”；

小强：“通过构造三角形，证明三角形相似，进而可以求得迪•的值.

老师：如图2,将原题中“点。在84的延长线上，点E在8c边上”改为“点。在AB

边上，点E在8c的延长线上”，添加条件“BC=5E，EC=4«"，其它条件不变，

可求出△BEQ的面积.

请回答：

(1)用等式表示/C、的数量关系并证明；

(2)求整的值：

BE

(3)/XBOE的面积为(直接写出答案).

6.如图，在平行四边形ABCQ中，AELBD^E.

(1)若BC=BD,4。=15,求△AB。的周长.

BE

(2)若NQ8C=45°,对角线AC、BD交于点、0,F为AE上一点,且Ab=2E0,求证:

。/=扬8.

BB

7.己知在。ABC。中，点E,F分别为边AB,2C上的点，ZADE=ZBAF,DE,AF交于

点M.

(1)如图1,若/ABC=90°,求证：△AEMS^AFB；

(2)若E为AB中点.

①如图2,^AFLBC,黑=5，求里•的值；

AD3AD

②如图3,若NABC=60°,链■=〃，请直接写出黑的值(用〃的式子表示).

(1)如图1,AF=BF,求证：A^=BF・BC；

(2)如图2,FC=2BF,点E、M在直线A8上，EF//AC,cosB=n,且月02="£.知8

①若M在边AB上，求铛■的值(用含〃的式子表示)；

EM

②若M在BA的延长线上时，直接写出〃的范围.

9.(1)问题发现

如图①，在Rt/XABC中，乙4=90°,点。是48上一点，DE//BC.

填空：BD,CE的数量关系为；位置关系为；

(2)类比探究

如图②，将△AOE绕着点A顺时针旋转，旋转角为a(0°<a<90°),连接B。，CE,

请问(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由.

(3)拓展延伸

在(2)的条件下，将AADE绕点A顺时针旋转，旋转角为a,直线B。，CE交于点F,

若AC=1,当NACE=15°时，请直接写出8F的长.

10.我们知道三角形任意两条中线的交点是三角形的重心.重心有如下性质：重心到顶点的

距离是重心到对边中点距离的2倍.请利用该性质解决问题

(1)如图1,在△ABC中，AF、是中线，AFLBE^P.若8P=2,ZFAB=30",

贝!1EP=,FP=；

(2)如图1,在△ABC中，BC=a,AC=b,AB=c,AF、BE是中线，AF^BE^P.猜

2

想滔、b\c三者之间的关系并证明；

(3)如图2,在口A8CD中，点E、F、G分别是A。、BC、8的中点，BELBG,AB=

3,AD=2娓，求A尸的长.

参考答案

1.证明：(1)•；NAMD=/B+ND,NBGM=/DMG+ND,

又NB=NA=NDME=a,

：.NAMF=NBGM,

：.AAMFSABGM；

(2)解：为AB的中点，

:.AM=BM=2近,

'：/\AMFs丛BGM,

•幽=空

.“一&X2&_8

•*LJ\-J~~~~~~~-----------；

AF33

(3)如图2,过点M作MH_LA£于H,

VZA=ZB=45°,

AZACB=90°,AC=BC,且AB=2AM=4加,

：.AC=BC=4且A尸=3,BG=—,

93

4

:.CF=ICG=—

939

VZA=45°,MH_LAC,AM=2近,

:.AH=HM=2,

:,CH=2,

VZACB=ZAHM=90°,

:.HM〃CB,

:.XECGSXEHM,

.CECG

••瓦赤，

4

,CE

..CE+2y

；・CE=4,

：・EF=CE+CF=5,

：.S.EFG^—EFXCG=—X5X

2233

2.(1)证明：若运动时间r="|■秒，则

949

BE=2X—=—(cm),DF=—(cm)，

333

・・•四边形A8CO是矩形

.\AD=BC=8(cm),AB=DC=6(cm),ZD=ZBCD=90°

•:/D=NFQC=NQCD=9。。,

・••四边形。FQ也是矩形，

:・CQ=DF,CD=QF=6(cm),

42

：.EQ=BC-BE-CQ=S----=6(cm),

33

.,.EQ=QF=6Cem),

.•.△EQ尸是等腰直角三角形；

(2)解：由(1)知，C£=8-2r,CQ=t,

AR7

在RtZ\A8C中，tan/ACB=3=±,

BC4

在RtZ\CPQ中，tanZACB=—,

CQt4

•••PQ等

4

「△EPC的面积为3C/«2,

.,.SAEPC=^CEXP2=]X(8-2f)X*=3,

；.f=2秒，

即：f的值为2秒；

(3)解：分两种情况：

I.如图1中，点E在。的左侧.

①NPEQ=NC4Q时，△EQPs/VLDC,

・・•四边形A8CO是矩形，

J.AD//BC,

：.ZCAD=ZACB,

VAECP^AADC,

：.ZCAD=ZQEPf

：.ZACB=ZQEP,

：.EQ=CQf

：.CE=2CQf

由（1）知，CQ=t,CE=8-2t,

A8-2t=2t,

.・./=2秒；

②NPE0=NAC£>时，XEPQsMCA。,

.PQ=EQ

“ADCD，

VFQ±BC,

J.FQ//AB,

•••△CPQsZ\CA8,

・PQ—CQ[inPQ_t

••而一而'

解得：PQ=^-t,

4

・vt_8-2t-t

•-4_=-7---，

-F6

解得：f=誉；

57

II.如图2中，点E在Q的右侧.

V0<f<4,

."­点E不能与点C重合,

,只存在△EPQsaCA。

3_

PQ_EQ3t-8

可得,即这「=

"T"

ADCDr

解得，=要

综上所述，，的值为2秒或警秒或猿■秒时，△EPQ与△ACC相似.

5739

B6C

3.解：(1)四边形4MPN是菱形；

理由：•.•四边形ABC。是矩形，；.AO〃BC,

J.AM//PN,

".'AN//PM,

：.四边形ANPM是平行四边形，

•.,将△PC。沿PO翻折，得到D,

：.ZDPC=ZDPC,

".,AD//BC,

：./ADP=/DPC,

:・/ADP=/DPM,:.DM=PM,

VZAPD=90°,

：.AM=DM=PM,

，四边形AMPN是菱形；

PC1

(2)VtanZPDC=—=—,

CD2

可设PC=1,CD=2,

过P作尸G_LA£＞于G,

则四边形PCOG与四边形4BPG是矩形,

：.CP=DG=\,PG=CD=2,

VPG1AD,ZAPD=90°,

：.PG2=AG*GD,

A4=l*GD,

：.AG=PB=4,

AD=AG^GD=5f

•:BP"KD,

：./\PBF^/\ADFt

.BFPBA

*eDF-=AD-=p

,DF_5

•.----------,

BD9

•:DM〃PB,

1R

DM=—AD=—f

22

4

.BEPB含8

DEDMy5

.DE_^_

••丽―IT

5520

：.EF=DF-DE=—BD--BD=-^-BD,

913117

.EFIFBD4

图2

4.解：(1)①〈BE=1,

：.CE=BC-BE=4-1=3,

・・•四边形ABC。是矩形，

：.ZB=ZC=90°,

：.ZBAE+ZBEA=90°,

VEF1AE,

AZAEF=90°,

：.ZBEA+ZFEC=90°,

:・/BAE=/FEC,

：.△ABESXECF,

.AB=BE

,*CE-CN：

BP：2^=_L_

7-CN'

解得：CN=多

②过点E作EF1.AD于F,如图1所示:

则四边形A8E尸是矩形,

：.AB^EF^2,AF=BE,

由折叠的性质得：CE=CE,CN=C'N,NECN=NC=90°,

：.ZNCD+ZECF=90°,

'：ZCND+ZNC'D=90°,

:.NEC'F=NC'ND,

,：2D=4EFC,

.•.△EC'FS^NCD,

.cyD_DN_CyN

，，-EF--FC7

.D_DN_CN

，，-EF--FC7--CE)

.也=些

"CE-CN'

,CN=BE

•而一冠

.C'D_DN_BE

'，-EF--FC7--AB(

：.CD=BE,

设BE=x,则C'力=4F=x,C'尸=4-2x,CE=4-x,

...DNx,CNx,

4-2x2'4-x2'

:.DN=x(2-x),CN=X3F),

2

:.CN+DN=x(2-x)+式4-1)=8=2,

2

解得:％=2或X=当

o

：.BE=2^BE=—；

3

(2)・・,四边形ABC。为矩形,

：.BC=AD,AD//BC,

:AADFSAEBF,

.DFAD4

BFBEm

.SAADF

216

^ABEF

•・S^ADF=&BEF，

m

,△ADF_7SABEF

S^ABF=-4=—aABEF,

4_m

m

m

16、

=4,164

S四边形C£)F石尸+S2YABE-S^BEF12'S^BEF^-^^BEF-S^BEF—(-o"+---1)S^BEF，

mm1nm

1p.2

16#3=1+■为

图1

5.解：(1)结论：/C+NO=90°.

VZBAC=180°-ZC-ZB=150°-ZC,ZBAC=ZAFD+ZD=60°+ZD,

.*.150°-ZC=60°+ZD,

：.ZC+ZD=90°.

(2)过点A作AG,5c垂足为G,交DE点Q,过点E作即_L3。垂足为〃，^iZDHE

=NBHE=90°.

D

图1

VZAGC=90°,

・・・ZDHE—ZAGC.

•:/D=/CAG,

:.ADEHsAACG.

・.D・—H=D—E_=2-A-C-=/□.

AGACAC

：.DH=2AG.

VZB=30°,ZAGB=90°,

：.AB=2AG.

：.AB=DH.

：.AB-AH=DH-AH.

即AB=DH.

在RtABHE中,—=cos30°=退.

BE2

•AD_BH_V3

''BE~BE―"T'

(3)如图2中，在BA上取一点G,使得G8=GC,作G-LBC于J,AH_LCG于H,

EKLBA交BA的延长线于K.

图2

,/ZBAC=180°-ZB-/ACB=180°-ZADE-ZAFD,

二150°-ZACB=120°-ZADF,

：.ZACB-30°=AADE,

♦：GB=GC,GJ±BCf

：.ZGCB=N8=30。BJ=JC=®&,

2

ZACH=ZACB-30°=ZEDK,BG=CG=—=5,

cos30

VZACH=ZEDK,ZAHC=ZK=90°,

：./\DEK^ACAH,

•EK=DK=DE=2

,,AH-CH-AC-'

在RtZ\BKE中，•.•/K=90°,ZB=30°,BE=9百，

；.EK=^&,BK=—,

22

4

：.GH=J^AH=—,

34

：.CH=CG-GH=—,

4

：.DK=2CH=--,

2

9711

J.BD^BK-DK=--

22

：.SABDE=^'BD-EK=^XSX^^=\SY/2-

故答案为1873.

6.(1)解：•••四边形ABC。是平行四边形，

J.AD^BC,

,:BC=BD,

：.AD=BD=15,

•嘿=疝，

设BE=x,则AB=y[\Q)cfDE=BD-BE=\5-x,

AE^VAB2-BE2=7(V10x)2-x2=3x-AE^DE^Ab2,

即：(3x)2+(157)2=152,

解得：x=3,

：.AB=3y/~1Q,

：."BO的周长=AO+BO+AB=15+15+37^=30+35/75；

(2)证明：延长4E与BC交于点M,过点0作OG〃AE,分别交3C、CT于点G、H,

连接EH,BF,并延长与AD交于点、N,连接OF,DG,如图所示：

•；AE_LBD,

：.OG1BD,

・・•四边形ABC。是平行四边形，

：・OB=OD,OA=OCtAB=CD,

:,BG=DG,

VZDBC=45°,

：.ZBDG=45°,

AZBGD=90°,

VOG//AM,OA=OCf

・・・OH是△ACF的中位线，

AOH=—AF=OEfHF=HC,

2

・・・NOEH=NOHE=45°=NOBC,

J.EH//BC,

:.EF=ME,

VBE1MF,

:.BF=BM,

：.ZMBE=ZEBF=45°,

:./DNB=/NBG=90°,

・・・四边形BGDN是正方形,

:.DG=DN=BN=BG,

:.MG=FN,

•:AM"OG,OA=OC,

：・MG=CG,

:・CG=FN,

rDN=DG

在△ONF和△OGC中，＜NDNF=NDGC=90°，

FN=CG

:•△DNF妾/XDGC(SAS),

：.DF=DC,4NDF=/GDC,

：.ZFDC=ZNDG=90°,

••♦CF=&C。，

7.证明：（1）:四边形ABC。是平行四边形，ZABC=90°,

四边形A8CQ是矩形，

：.ZBAD=ZABC=90°,S.ZADE=ZBAF,

：./BAD-ZBAF=ZABC-NBAF

：.ZAED^ZAFB,且NBAF=NBAF,

:.2AEMsXAFB

图2

■:ENLAF,BFLAF,

J.EN//BF,

.AE_AN_EN_1

"AB"AF"BF1

：.AF=2AN,BF=2EN,

'AD-3'

：.AD^3BF,

：.AD=6EN,

•：四边形ABCD是平行四边形,

J.AD//EN

:•丛MNESXMAD

・EN=MN1

*'AD'AM"6ZADE=/MEN,

；・AM=6MN,

:.AN=1MN,

•：NADE=NMEN,ZBAF=ZADEf

:・/BAF=/MEN,且NANE=NANE,

:.XENMSXANE,

.ENJN

**AN=EN

1I

・・・EN1=MN・AN=—ANo2,

7

•・•设AE=8E=a,EN=b,

:・BF=2b,AD=6bf

.\b2=—-从）

7

:.AB=2AE=2a=4y[^,AD=6b,

.AB2加

••----=:-------

AD3

②如图3,过点A作4,平分/BAD,交BC的延长线于，，过点8作8G〃A”交A尸的

延长线于点G,

：.AB=nAD,AE=BE=—AD

2

：/A8C=60°,AD//BC,

AZBAD=120°，

•.♦AH平分NBA。，

；.NBA"60°=NABC

.♦.△ABH是等边三角形，

.".AB=AH^BH=nAD,

\'BG//AH

.•./”=NG8F=60°,

...NA8G=120°=ZEAD,且/BAF=/AZ)E,

△ABGS/WAE,

.BGAB

**AE'AD

:.BG=IL^D

2

'.'BG//AH

:.△BFGs^HFA

.BGBF

"AH'FH

.BFn

FH2

2

：.FH=—BF

n

•:BH=BF+FH

9

：.nAD=(—+1)BF

n

2

.BF=n

“ADn+2

8.(1)证明：如图1中,

图1

\'AB=AC,FB=FA,

:.NB=NC=NBAF,

;NB=NB,ZBAF=ZC,

:.△BAFS^BCA,

.AB=BF

：.AB1=BF-BC.

(2)①解：如图2中，作ADJ_8c于O,延长交CA的延长线于G.设DF="?.

图2

;AB=AC,AD±BC,

:.BD=DC,

"：FC=2BF,DF=m,

:.BF=2m,FC=4m,BD=3m,

..BD

・cosDB=n=---,

AB

.M8=AC=包,

n

•JEF//AC,

•EC=BF=1

'*AC_BC-T

：.EF=—,

n

•:NFME=NFMB,

MEFM

:・AFMES/\BMF,

:./MFE=4B,

♦:EF〃CG,

：.ZG=NMFE=ZB=ZC,

：・FC=FG=4m,

■:AEFRs^FCG,

.BF=EF

••福一而‘

m

.2m

n>

*eCG

4m

「・CG=8mn,

•：EF//AGf

c3m

8inn-----

.AM_AG

---------=8n2-3.

EMEFm

n

②解：如图3中，当点M与A重合时,

AM

由题意/B＜60°,故，7＞工

2

观察图象可知M在54的延长线上时，〃＜返.

24

9.(1)问题发现：

解：■:DE//BC,

.BD=CE

“ABAC，

•：AB=^AC9

:・BD=k・CE,

VZA=90°,

:.BDLCE；

故答案为：BD=k・CE；BD.LCE；

（2）类比探究：

解：（1）中的结论还成立，理由如下：

延长CE交8。于尸，如图②所示：

由旋转的性质可知，NBAD=NCAE,

■:DE//BC,

•坦=也

*'AB-AC'

•坦—也

,,AE-AC'

...毁=胆=火，/ABD=NACE,

CEAC

；.BD=k・EC；

•：NCBF+NBCF=ZABD+AABC+ZBCF^NACE+NBCF+NABC=ZACB+ZABC^

90°,

.\ZBFC=90°,

:.BD_LCE；

（3）拓展延伸:

解：由旋转的性质可知：ZBAD=ZCAE

..坦=胆

'AE-AC'

：./\ABD^/\ACE,

：.ZACE=\50-