2021年中考数学复习讲座1：选择题解题方法(含答案)

2021年中考数学专题讲座一：选择题解题方法

一、中考专题诠释

选择题是各地中考必考题型之一，2020年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8~14

题，这说明选择题有它不可替代的重要性.

选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特

征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.

二、解题策略与解法精讲

选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.

解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数

学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程.因而，在解答时应

该突出一个“选,，字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依

据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策

略.具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出

发探求是否满足题干条件.事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.

三、中考典例剖析

考点一：直接法

从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而

作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础.

2

例1（2020•白银）方程三W1=0的解是（）

A.x=±lB.x=lC.x=-1D.x=0

思路分析：观察可得最简公分母是（X+1）,方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化

为整式方程求解.

解：方程的两边同乘（X+1）,得

x2-1=0,

即（x+1）（x-1）=0,

解得:X|=-1,X2=l.

检验：把x=-1代入（x+1）=0,即x=-1不是原分式方程的解；

把x=l代入（x+1）=2w0,即x=l是原分式方程的解.

则原方程的解为：x=l.

故选B.

点评：此题考查了分式方程的求解方法.此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意

解分式方程一定要验根.

对应训练

1.（2020•南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计

划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（）

A.7队B.6队C.5队D.4队

考点二：特例法

运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊

函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也

不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈

好.

例2（2020•常州）已知a、b、c、d都是正实数，且?〈三，给出下列四个不等式：

ba

accadbbd

①---------<----------;②----------<----------;（§）----------<----------;④----------<----------o

a+bc+dc+da+bc+da+ba+hc+d

其中不等式正确的是（）

A.①③B.①④C.②④D.②③

思路分析：由已知a、b、c^d都是正实数，且取a=l,b=3,c=l,d=2,代入所求

ba

四个式子即可求解。

解：由已知a、b^c、d都是正实数，且—<—,取a=l,b=3,c=l,d=2,则

ba

_A_=_1L1,^_L1,所以

===------<-------故①正确;

1+34c+d1+23a+bc+d

d22b33所以高〈焉'故③正确。

c+d~T+2~3，a+b~T+3~4

故选Ao

点评：本题考查了不等式的性质，用特殊值法来解，更为简单.

对应训练

2.（2020•南充）如图，平面直角坐标系中，。。的半径长为1,点P（a,0）,G）P的半径长

为2,把。P向左平移，当OP与。O相切时，a的值为（）

A.3B.IC.1,3D.±1,±3

考点三：筛选法（也叫排除法、淘汰法）

分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，

根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其

中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。使用筛选法的前提是'‘答案唯

一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.

例3（2020♦东营）方程（k-l）x2-J匚Ex+：=0有两个实数根，则k的取值范围是（）

A.k>lB.k<lC.k>lD.k<l

思路分析：原方程有两个实数根，故为二次方程，二次项系数不能为0,可排除A、B；又因

为被开方数非负，可排除C。故选D.

解：方程（k-l）x2-JT反x+[=0有两个实数根，故为二次方程，二次项系数左一1。（），心1,

4

可排除A、B；又因为1一人厘0,A1,可排除C。

故选D.

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式与解的情况，用排除法较为简单.

对应训练

3.(2020•临沂)如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ〃y轴，分别交函

数

kk

y=—(x>0)和y=」(x>0)的图象于点P和Q,连接OP和OQ.则下列结论正确的是

XX

()

A.NPOQ不可能等于90。

PMk、

B.-------=—

QMk2

C.这两个函数的图象一定关于x轴对称

考点四：逆推代入法

将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择

符合题设条件的选择支的一种方法.在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较

大提高解题速度.

例4(2020•贵港)下列各点中在反比例函数y=9的图象上的是()

X

A.(-2,-3)B.(-3,2)C.(3,-2)D.(6,-1)

A

思路分析：根据反比例函数y=一中xy=6对各选项进行逐一判断即可.

x

解：A、•••(-2)x(-3)=6,...此点在反比例函数的图象上，故本选项正确；

B、；(-3)乂2=-6彳6,.•.此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

C.V3x(-2)=-6和，...此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误：

D、；6x(-1)-6/6,此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误.

故选A.

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy的特点是解答

此题的关键.

对应训练

4.(2020•贵港)从2,-1,-2三个数中任意选取一个作为直线y=kx+l中的k值，则所得

的直线不经过第三象限的概率是()

D.1

考点五：直观选择法

利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题（如解方程、解不等式、求最值，求取

值范围等）与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。这

种解法贯穿数形结合思想，每年中考均有很多选择题（也有填空题、解答题）都可以用数形结合

思想解决，既简捷又迅速.

例5（2020♦贵阳）已知二次函数y=ax2+bx+c（a<0）的图象如图所示，当-5WxW0时，下

列说法正确的是（）

A.有最小值-5、最大值0B.有最小值-3、最大值6

C.有最小值0、最大值6D.有最小值2、最大值6

解：由二次函数的图象可知，

：-5WxW0,

当x=-2时函数有最大值，y昼大=6；

当x=-5时函数值最小，y城小=-3.

故选B.

点评：本题考查的是二次函数的最值问题，能利用数形结合求出函数的最值是解答此题的关

键.

对应训练

5.（2020•南宁）如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线，它们的对称轴相

同，则下列关系不正确的是（）

A.k=nB.h=mC.k<nD.h<0,k<0

考点六：特征分析法

对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特

征、位置特征等，提取、分析和加工有效信息后而迅速作出判断和选择的方法

例6（2020•威海）下列选项中，阴影部分面积最小的是（）

分析：根据反比例函数系数k的几何意义对各选项进行逐一分析即可.

....2..........

解：A、YM、N两点均在反比例函数y二—的图象上，二・S阴影二2；

x

，，，2〜

B、;M、N两点均在反比例函数y二一的图象上，:・S阴影=2；

x

C、如图所示，分别过点MN作MAJ_x轴，NB±x轴，则S阴影=S^OAM+S阴影梯形

1113

ABNM-SAOBN=—X2H—(2+1)x1--x2=一；

21

D、・・・M、N两点均在反比例函数y二一的图象上，・・・<xlx4=2.

x2

・・・C中阴影部分的面积最小.

故选C.

点评：本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐

标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是"」，且保持不变.

对应训练

6.(2020•丹东)如图，点A是双曲线y=X在第二象限分支上的任意一点，点B、点C、点D

X

分别是点A关于X轴、坐标原点、y轴的对称点.若四边形ABCD的面积是8,则k的值为

y

c.2D.-2

考点七：动手操作法

与剪、折操作有关或者有些关于图形变换的试题是各地中考热点题型，只凭想象不好确定,

处理时要根据剪、折顺序动手实践操作一下，动手可以直观得到答案，往往能达到快速求解

的目的.

例7（2020•西宁）折纸是一种传统的手工艺术，也是每一个人从小就经历的事，它是一种

培养手指灵活性、协调能力的游戏，更是培养智力的一种手段.在折纸中，蕴含许多数学知

识，我们还可以通过折纸验证数学猜想，把一张直角三角形纸片按照图①〜④的过程折叠后

展开，请选择所得到的数学结论（）

A.角的平分线上的点到角的两边的距离相等

B.在直角三角形中，如果一个锐角等于30。，那么它所对的直角边等于斜边的一半

C.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

D.如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

思路分析：严格按照图中的方法亲自动手操作一下，即可很直观地呈现出来，也可仔细观察

图形特点，利用对称性与排除法求解.

解：如图②，•••△CDE由4ADE翻折而成，

；.AD=CD,

如图③，:△DCF由4DBF翻折而成，

；.BD=CD,

AD=BD=CD,点D是AB的中点，

.\CD=-AB,即直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2

故选c.

点评：本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键.

对应训练

7.（2020♦宁德）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚

线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）

四、中考真题演练

1.（2020•衡阳）一个圆锥的三视图如图所示,则此圆锥的底面积为（)

A.30ncm2B.25ncm2C.50ncm2D.lOOncm2

2.（2020•福州）。0］和。。2的半径分别是3cm和4cm,如果OiO2=7cm,则这两圆的位置

关系是（）

A.内含B.相交C.外切D.外离

3.（2020•安徽）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草

砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影

部分的面积为（）

4.（2020•安徽）如图，A点在半径为2的。。上，过线段OA上的一点P作直线2,与。O

过A点的切线交于点B,且/APB=60。，设OP=x，则4PAB的面积y关于x的函数图象大致

y

5.（2020•黄石）有一根长40mm的金属棒，欲将其截成x根7mm长的小段和y根9mm长的

小段，剩余部分作废料处理，若使废料最少，则正整数x,y应分别为（）

A.x=l,y=3B.x=3,y=2C.x=4,y=lD.x=2,y=3

6.（2020•长春）有一道题目：已知一次函数y=2x+b,其中b<0,…，与这段描述相符的函数

图象可能是（）

o

7.（2020•荆门）如图，点A是反比例函数y=2（x>0）的图象上任意一点，人8〃乂轴交反比

x

例函数y=-‘的图象于点B,以AB为边作nABCD,其中C、D在x轴上，则）

X

8.（2020•河池）若a>b>0,则下列不等式不一定成立的是（）

A.ac>bcB.a+c>b+cC.—<C—D.ab>b2

ab

9.(2020•南通)已知x2+16x+k是完全平方式，则常数k等于()

A.64B.48C.32D.16

10.(2020•六盘水)下列计算正确的是()

A.V2+V3=V5B.(a+b)2=a2+b2C.(-2a)3=-6a3D.-(x-2)=2-x

11.(2020♦郴州)抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是()

A.(-1,2)B.(-1,-2)C.(1,-2)D.(1,2)

12.（2020•莆田）在一次芭蕾舞比赛中，甲、乙、丙、丁四队女演员的人数相同，身高的平

均数均为166cm,且方差分别为S甲2=1.5,S乙2=2.5,S丙？=2.9,S丁2=3.3,则这四队女演

员的身高最整齐的是（）

A.甲队B.乙队C.丙队D.丁队

13.（2020・怀化）为了比较甲乙两种水稻秧苗是否出苗更整齐，每种秧苗各取10株分别量出

每株长度，发现两组秧苗的平均长度一样，甲、乙方差分别是3.9、15.8,则下列说法正确的

是（）

A.甲秧苗出苗更整齐B.乙秧苗出苗更整齐

C.甲、乙出苗一样整齐D.无法确定

14.（2020•长春）如图是2020年伦敦奥运会吉祥物，某校在五个班级中对认识它的人数进行

了调查，结果为（单位：人）：30,31,27,26,31.这组数据的中位数是（）

A.27B.29C.30D.31

15.（2020•钦州）如图所示，把一张矩形纸片对折，折痕为AB,在把以AB的中点O为顶点

的平角NAOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O为顶点的等腰

三角形，那么剪出的等腰三角形全部展开平铺后得到的平面图形一定是（）

A.正三角形B.正方形C.正五边形D.正六边形

16.（2020•江西）如图，有a、b、c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三

户所用电线（）

A.a户最长B.b户最长C.c户最长D.三户一样长

17.（2020•大庆）平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（、门，1）,将OA绕原

点按逆时针方向旋转30。得OB,则点B的坐标为（）

A.（1,遮）B.（-1,如）C.（O,2）D.（2,0）

18.（2020•长春）在下列正方体的表面展开图中，剪掉1个正方形（阴影部分），剩余5个正

方形组成中心对称图形的是（）

20.（2020•南充）下列几何体中，俯视图相同的是（）

21.（2020•朝阳）两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该儿

何体的俯视图是（）

水平面

A.两个外离的圆B.两个相交的圆C.两个外切的圆D.两个内切的圆

22.（2020♦河池）如图，把一块含有45。角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边

上.如果N1=25°,那么N2的度数是（)

C.20°D.15°

23.（2020•长春）如图，在平面直角坐标系中，在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,

使OA=OB；再分别以点A、B为圆心，以大于!AB长为半径作弧，两弧交于点C.若点C

24.（2020•巴中）如图，已知AD是△ABC的BC边上的高，下列能使△ABDg△ACD的条

件是（）

A.AB=ACB.ZBAC=90°C.BD=ACD.ZB=45°

25.（2020•河池）用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四

边形ABCD是菱形的依据是（）

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

26.（2020•随州）如图，AB是。O的直径，若NBAC=35。，则NADC=（）

27.（2020♦攀枝花）下列四个命题：

①等边三角形是中心对称图形；

②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等：

③三角形有且只有一个外接圆；

④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧.

其中真命题的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

28.（2020・莱芜）以下说法正确的有（）

①正八边形的每个内角都是135。

②仍与J号是同类二次根式

③长度等于半径的弦所对的圆周角为30°

④反比例函数y=-2,当x<0时，y随x的增大而增大.

x

A.1个B.2个C.3个D.4个

29.（2020•东营）如图，一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点，与反比例函数

尸，的图象相交于C,D两点，分别过C,D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E,F,连接

x

CF,DE.有下列四个结论：

©△CEF与4DEF的面积相等;

©△AOB^AFOE；

©△DCE^ACDF；

®AC=BD.

其中正确的结论是（）

C.①②③④D.②③④

专题一选择题解题方法参考答案

三、中考典例剖析

对应训练

1.C

解：设邀请x个球队参加比赛，

依题意得1+2+3+…+x・1=10,

即口n工=（-1-一--1）-=10,

2

/.x2-x-20=0,

，x=5或x=-4（不合题意，舍去）.

故选C.

2.D

解：当两个圆外切时,圆心距d=l+2=3,即P到O的距离是3,则a=±3.

当两圆相内切时,圆心距d=2・l=l,即P到O的距离是1,则2=±1.

故a=±l或±3,

故选D.

3.D

解：A.：P点坐标不知道，当PM=MO=MQ时，ZPOQ=90°,故此选项错误;

PMk.

B.根据图形可得：ki>0,k2<0,而PM,QM为线段一定为正值，故二故此选项

QMk2

错误；

C.根据kl,k2的值不确定，得出这两个函数的图象不一定关于X轴对称，故此选项错误;

故选：D.

4.C

5.A

6.D

解：：点B、点C、点D分别是点A关于x轴、坐标原点、y轴的对称点,

...四边形ABCD是矩形，

•••四边形ABCD的面积是8,

.\4x|-k|=8,

解得|k|=2,

又•.•双曲线位于第二、四象限，

；.k=-2.

故选D.

7.B.

四、中考真题演练

1.B

2.C

3.A

解：•••某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，设正八边形与其内部小

正方形的边长都为a,

，AB=a,且NCAB=NCBA=45。,

.,.sin45o=——=^,

ABa2

；.AC=BC=恒，

2_

.』ABC=£X冬x*a=£,

乙乙乙51

2

.••正八边形周围是四个全等三角形,面积和为：—x4=a2.

4

正八边形中间是边长为a的正方形,

••・阴影部分的面积为：a2+a2=2a2,

故选：A.

解：当P与0重合，

VA点在半径为2的。O上，过线段0A上的一点P作直线1,与。0过A点的切线交于点B,

且/APB=60。，

.♦.A0=2,OP=x,则AP=2-x,

解得：AB=V3（2-x）=-«x+2«,

XPAXAB=2

SAABP=4'^（2-X）•加•（-A/3X+2^/3）=-|X-6x+6,

故此函数为二次函数，

3

Va=->0,

2

~62

...当x=-2=--§=2时，S取到最小值为：4ac-b=0,

2a2X-4a

根据图象得出只有D符合要求.

5.B

解：根据题意得：7x+9y“0,

40-9y

贝niiljx<----------，

7

V40-9y>0且y是非负整数,

，y的值可以是：1或2或3或4.

当x的值最大时，废料最少，

当y=l时，x<—,则x=4,此时，所剩的废料是：40-1x9-4x7=3mm；

7

当y=2时，x<—,贝I」x=3,此时,所剩的废料是：40-2x9-3x7=1mm；

当y=3时，xV-苧，则x=l,此时,所剩的废料是：40-3x9-7=6mm；

当y=4时，x<^,则x=0（舍去）.

则最小的是：x=3,y=2.

故选B.

6.A

7.D

解：设A的纵坐标是b,则B的纵坐标也是b.

把y=b代入y=2得，b=2则x=g,,即A的横坐标是&；

xxbb

同理可得：B的横坐标是：

b

则AB=2-（-3=2

bbb

则SOABCD=yxb=5.

b

故选D.

8.A

9.A

10.D

11.D

12.A

13.A

14.C

15.D

16.D

17.A

解：如图，作ACJLx轴于C点，BD^y轴于D点，

•・•点A的坐标为（遂，1）,

AC=1,OC=^/3,

•"OA=J（a）2+1=2,

/.ZAOC=30°,

vOA绕原点按逆时针方向旋转30。得OB,

/.ZAOB=30°,OA=OB,

ZBOD=30°,

RtAOAC合RtAOBD,

DB=AC=1,OD=OC=y/~2,

・•.B点坐标为（1,如）.

故选A.

19.D

20.C

21.B

22.C

解：:△GEF是含45。角的直角三角板,

ZGFE=45°,

•・・Z1=25°,

ZAFE=ZGEF-Z1=45°-25°=20°,

,/ABIICD,

/.Z2=ZAFE=20°.

故选C.

23.B

解：••1OA=OB；分别以点A、B为圆心，以大于*AB长为半径作弧，两弧交于点C,

•C点在NBOA的角平分线上，

；.C点到横纵坐标轴距离相等，进而得出，m-l=2n,

即m-2n=l.

故选：B.

24.A

25.B

26.B

27.B

解：•••等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，①是假命题；

如图，/（：和/口都对弦人8,但NC和ND不相等，即②是假命题；

三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题;

垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题.

故选B.

28.C

解：①正八边形的每个内角都是：1*°XT35。,故①正确;

②；扬=3近

•••扬与点是同类二次根式；故②正确；

③如图：•.,OA=OB=AB,

ZAOB=60°,

ZC=-ZAOB=30。，

2

ZD=180°-ZC=150°,

..长度等于半径的弦所对的圆周角为：30。或150。；故③错误：

④反比例函数y=-2,当x<0时，y随x的增大而增大.故④正确.

X

故正确的有①②④，共3个.

故选C.

解：①设D(x,-),则F(X,0),

X

由图象可知x>0,

14

.'.△DEF的面积是:片臼巾|=2,

2x

4

设C(a,-),则E（0>一）,

aa

由图象可知I：-<0,a>0,

a

1d

△CEF的面积是:-ix|a|xA=2,

2a

/.△CEF的面积=4DEF的面积,

故①正确；

②4CEF和4DEF以EF为底，则两三角形EF边上的高相等,

故EF〃CD,

.♦.FE〃AB,

.,.△AOB^AFOE,

故②正确：

③：C、D是一次函数y=x+3的图象与反比例函数y=W的图象的交点,

X

解得：x=-4或1,

经检验：x=-4或1都是原分式方程的解，

AD(1,4),C(-4,-1),

ADF=4,CE=4,

•.•一次函数y=x+3的图象与x轴，y轴交于A,B两点，

AA(-3,0),B(0,3),

AZABO=ZBAO=45°,

VDF//BO,AO〃CE,

AZBCE=ZBAO=45°,ZFDA=ZOBA=45°,

・・・ZDCE=ZFDA=45°,

rDF=CE

^ADCE^JACDF中Q/FDC二NECD，

DC=CD

AADCE^ACDF(SAS),

故③正确；

④・・，BD〃EF,DF〃BE,

・・・四边形BDFE是平行四边形，

ABD=EF,

同理EF二AC,

AAC=BD,

故④正确；

正确的有4个.

故选C.

1.列一元一次方程解应用题的一般步骤

(1)审题：弄清题意.

(2)找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系.

(3)设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的

式子，•然后利用已找出的等量关系列出方程.

(4)解方程：解所列的方程，求出未知数的值.

(5)检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，•是

否符合实际，检验后写出答案.

2.和差倍分问题：增长量=原有量X增长率现在量=

原有量+增长量

3.等积变形问题：常见几何图形的面积、体积、周长计算公式，

依据形虽变，但体积不变.

①圆柱体的体积公式V=底面积义高=S•h=/h

②长方体的体积V=长X宽义高=abc

4.数字问题

一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数可

表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.

然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.

5.市场经济问题

（1）商品利润=商品售价一商品成本价（2）商品利润率=给黑

商品成本价

X100%

（3）商品销售额=商品销售价义商品销售量

（4）商品的销售利润=（销售价一成本价）X销售量

（5）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打8

折出售，即按原标价的80%出售.

6.行程问题：路程=速度义时间时间=路程+速度速度=路程

・时间

（1）相遇问题：快行距+慢行距=原距

（2）追及问题：快行距一慢行距=原距

（3）航行问题：顺水（风）速度=静水（风）速度+水流（风）速

度

逆水（风）速度=静水（风）速度一水流（风）速

度

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑

相等关系.

7.工程问题：工作量=工作效率X工作时间

完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1

8.储蓄问题

利润=每个期的利息X100%利息=本金X利率X期数

本金

实际问题与二元一次方程组题型归纳（练习题答案）

类型一：列二元一次方程组解决一一行程问题

【变式1】甲、乙两人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小时，那

么他们在乙出发2.5小时后相遇；如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发3

小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？

解：设甲，乙速度分别为x,y千米/时，依题意得：

（2.5+2）x+2.5y=36

3x+（3+2）y=36

解得：x=6,y=3.6

答：甲的速度是6千米/每小时，乙的速度是3.6千米/每小时。

【变式2】两地相距280千米，一艘船在其间航行，顺流用14小时，逆流用

20小时，求船在静水中的速度和水流速度。

解：设这艘轮船在静水中的速度x千米/小时，则水流速度y千米/小时，有：

20(x-y)=280

14(x+y)=280

解得：x=17,y=3

答：这艘轮船在静水中的速度17千米/小时、水流速度3F米/小时，

类型二：列二元一次方程组解决一一工程问题

【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作6周完成需工钱5.2万

元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周完成，需工钱4.8万元.若只选

一个公司单独完成，从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？请你说明理由.

解：

设甲、乙两公司每周完成工程的X和y,则

'1X=—

/+/=6得,10故周)11—工=15周

“c,11015

4x+9y=ly=—

即甲、乙完成这项工程分别需10周，15周

又设需付甲、乙每周的工钱分别为3元，b万元则

_3

6a+6&=5.2a~5,（10a=6（万元）

得/B,此n时|\_

4a+96=488_41158=4②兀）

~15

比较知，从节约开支角度考虑，选乙公司划算

类型三：列二元一次方程组解决一一商品销售利润问题

【变式1](2011湖南衡阳)李大叔去年承包了10亩地种植甲、乙两种蔬菜，共

获利18000元，其中甲种蔬菜每亩获利2000元，乙种蔬菜每亩获利1500元，李

大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？

解：设甲、乙两种蔬菜各种植了x、y亩，依题意得：

①x+y=10

②2000x+1500y=18000

解得：x=6,y=4

答：李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了6亩、4亩

【变式2】某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如

下表：

AB

进价（元/件）12001000

售价（元/件）13801200

（注：获利=售价一进价）求该商场购进A、B两种商品各多少件；

解：设购进A的数量为x件、购进B的数量为y件，依据题意列方程组

1200x+1000y=360000

（1380-1200）x+（1200-1000）y=60000

解得x=200,y=120

答：略

类型四：列二元一次方程组解决一一银行储蓄问题

【变式2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存

了4000元钱.第一种，一年期整存整取，共反复存了3次，每次存款数都相同，

这种存款银行利率为年息2.25%；第二种，三年期整存整取，这种存款银行年利率

为2.70%.三年后同时取出共得利息303.75元（不计利息税），问小敏的爸爸两种存

款各存入了多少元？

解：设x为第一种存款的方式，Y第二种方式存款，则

X+Y=4000

X*2.25%*3+Y*2.7%*3=303.75

解得：X=1500,Y=2500»

答：略。

类型五：列二元一次方程组解决一一生产中的配套问题

【变式1】现有190张铁皮做盒子，每张铁皮做8个盒身或22个盒底，一个盒身与两

个盒底配成一个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批

完整的盒子？

解：设x张做盒身，y张做盒底，则有盒身8x个，盒底22y个

x+y=190

8x=22y/2

解得x=110,y=80

即110张做盒身，80张做盒底

【变式2】某工厂有工人60人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，

每人每天生产螺栓14个或螺母20个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母,

才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。

解：设生产螺栓的工人为x人，生产螺理的工人为y人

x+y=60

28x=20y

解得x=25,y=35

答：略

【变式3]一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果1立方米木料可以做桌

面50个，或做桌腿300条。现有5立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面,

用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿，恰好配成方桌？能配多少张方桌？

解：设用X立方米做桌面，用丫立方米做桌腿

X+Y=5..........................(1)

50X：300Y=1：4.......................⑵

解得：Y=2,X=5-2=3

答：用3立方米做桌面，2立方米的木料做桌腿。

类型六：列二元一次方程组解决一一增长率问题

【变式2】某城市现有人口42万，估计一年后城镇人口增加0.8临农村人口

增加1.1%,这样全市人口增加1%,求这个城市的城镇人口与农村人口。

解：设该城市现在的城镇人口有x万人，农村人口有y万人。

x+y=42

0.8%XX+1.1%XY=42X1%

解这个方程组，得：x=14,y=28

答：该市现在的城镇人口有14万人，农村人口有28万人。

类型七：列二元一次方程组解决一一和差倍分问题

【变式1】略

【变式2】游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。

如果每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比

红色的多1倍，你知道男孩与女孩各有多少人吗？

解：设：男有X人，女有Y人，则

X-1=Y

2(Y-1)=X

解得：x=4,y=3

答：略

类型八：列二元一次方程组解决一一数字问题

【变式1】一个两位数，减去它的各位数字之和的3倍，结果是23；这个两位数除以它

的各位数字之和，商是5,余数是1,这个两位数是多少？

解：设这个两位数十位数是x,个位数是y,则这个数是(10x+y)

10x+y-3(x+y)=23(1)

10x+y=5(x+y)+1(2)

由(1),(2)得

7x-2y=23

5x-4y=1

解得：x=5

y=6

答:这个两位数是56

【变式2］一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大5,如果把十位上的数字与个位

上的数字交换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少9,求这个两位数？

解：设个位X,十位Y,有

X-Y=5

(10X+Y)+(10+X)=143

即

X-Y=5

X+Y=13

解得：X=9>Y=4

这个数就是49

【变式3】某三位数，中间数字为0,其余两个数位上数字之和是9,如果百位数

字减1,个位数字加1,则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求

原三位数。

解：设原数百位是x,个位是y那么

x+y=9

x-y=1

两式相加得到2x=10=>x=5=>y=5-1=4

所以原数是504

类型九：列二元一次方程组解决一一浓度问题

【变式1］要配浓度是45%的盐水12千克，现有10%的盐水与85%的盐水，这两种盐水各

需多少？

解：设10%的X克，85%的Y克

X+Y=12

X*10%+Y*85%=12*45%

即：X+Y=12

X+8.5Y=54

解得：Y=5.6

答：略

【变式2】一种35%的新农药，如稀释到1.75%时，治虫最有效。用多少千克浓度为35%

的农药加水多少千克，才能配成1.75%的农药800千克？

解：800千克1.75%的农药中含纯农药的质量为800x1.75%=14千克

含14千克纯农药的35%的农药质量为14-35%=40千克

由40千克农药稀释为800千克农药应加水的质量为800-40=760千克

答：用40千克浓度为35%的农药添加760千克的水，才能配成浓度为1.75%的农药800

千克。

类型十：列二元一次方程组解决一几何问题

【变式1】用长48厘米的铁丝弯成一个矩形，若将此矩形的长边

剪掉3厘米，补到较短边上去，则得到一个正方形，求正方形的面

积比矩形面积大多少？

解：设长方形的长宽分别为x和y厘米，则

2(x+y)=48

x-3=y+3

解得：x=15,y=9

正方形的面积比矩形面积大

(x-3)(y+3)-xy=(15-3)(9+3)-15*9=144-135=9(cm2)

答：略

【变式2】一块矩形草坪的长比宽的2倍多10m,它的周长是132m,则长和宽分别为多少？

解：设草坪的长为X1E，宽为了山，则

_142

_132

x-y------xF

.2解得＜

-56

2y+10=xr

斫以宽和长分别为

类型十一：列二元一次方程组解决一一年龄问题

【变式1】今年，小李的年龄是他爷爷的五分之一.小李发现，12年之后，他

的年龄变成爷爷的三分之一.试求出今年小李的年龄.

解：设小李X岁，爷爷丫岁，则

5X=Y

3（X+12）=Y+12

两式联立解得：X=12Y=60

所以小李今年12岁，爷爷今年60岁。

类型十二：列二元一次方程组解决一一优化方案问题:

【变式】某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视机，已知厂家生产三种不同型

号的电视机，出厂价分别为：甲种每台1500元，乙种每台2100元，丙种每台2500元。

（1）若商场同时购进其中两种不同型号的电视机50台，用去9万元，请你研究一下商场

的进货方案；

（2）若商场销售一台甲、乙、丙电视机分别可获利150元、200元、250元，在以上的方

案中，为使获利最多，你选择哪种进货方案？

解：⑴分情况计算：设购进甲种电视机x台，乙种电视机y台，丙种电视机z台.

x+y=50,x=25»

{15OOx*2100y=90000一解得&=25-

x+z=5O,r=35,

（口）购进甲、丙两种电视机I”00**25OOjr=90000.解得&=6

Jy+z=50,Jx=87.5,

（HI）购进乙、丙两种电视机匕】00,+25OOZ=师000-解得1y=-375（不合实际，舍去）故商

场进货方案为购进甲种25台和乙种25台；或购进甲种35台和丙种15台.

（2）按方案（I），获利150x25+200x25=8750（元）;

按方案（U），获利150x35+250xl5=9000（元）.

二选择购进甲种35台和丙种15台.

三、列方程解应用题

1.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需6小时，乙独做需4小时，甲先

做30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？

2.兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？

3.将一个装满水的内部长、宽、高分别为300毫米，300毫米和80•毫米的长方体铁盒中的

水，倒入一个内径为200毫米的圆柱形水桶中，正好倒满，求圆柱形水桶的高(精确到0.1

毫米，方弋3.14).

4.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥，过第二铁桥比过第一铁桥需

多5秒，又知第二铁桥的长度比第一铁桥长度的2倍短50米，试求各铁桥的长.

5.有某种三色冰淇淋50克，咖啡色、红色和白色配料的比是2：3：5,•这种三色冰淇淋中

咖啡色、红色和白色配料分别是多少克？

6.某车间有16名工人，每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这