2021年中考数学解答题压轴题每日一题14

2021年中考数学解答题压轴题每日一题

1.如图1,在平面直角坐标系中，抛物线工-4交x轴于A、B两点，交y轴于

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点C.

(1)点P为线段BC下方抛物线上的任意一点，一动点G从点P出发沿适当路径以每秒1

个单位长度运动到y轴上一点M,再沿适当路径以每秒1个单位长度运动到x轴上的点N,

再沿x轴以每秒孤个单位长度运动到点8.当四边形ACPB面积最大时，求运动时间，的最

小值；

(2)过点C作AC的垂线交x轴于点。，将△AOC绕点O旋转，旋转后点A、C的对应点

分别为4、。，在旋转过程中直线AiCi与x轴交于点Q.与线段C£＞交于点/.当

(2)将△AOC绕点O旋转，相当于存在一个半径为OR圆O,在整个旋转过程中，AC始

终为垂直于OR的切线，确定圆的半径OR后，分OR靠近x轴、y轴两种大情况，分别在

四个象限逐次求解即可.

【解答】解：(I)yu%2-L-4,令x=0,贝!]y=-4,令y=0,贝!]x=3或-4,

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故点A、B、C的坐标分别为(-3,0)、(4,0)、(0,-4),

则直线BC的表达式为：y=x-4,

S四地形ACPB=S&4BC+SAPBC，

：S"BC为常数，二只要以PBC取得最大值，四边形ACP8面积即为最大，

设点P(x,与-工-4),则点S(x,X-4),

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SNBC=LXPSXOB=2X4X(x-4-工2+工+4)=-2，+胤，

223333

V_J-<0,则&PBC有最大值，即四边形ACPB面积有最大值,

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作点尸关于y轴的对称点尸'(-2,一学,

过点B作BKJ_BC交y轴于点K,作P'HLBK交BK于点H、交y轴于点M、交x轴于点

N,

则此时运动的时间最小，

t=P'M+MN+®BN=PM+MN+HN,

2

直线BKLBC,则直线BK的表达式为：>>=-x+h,

将点B的坐标代入上式并解得：

直线BK的表达式为：y=-x+4…①，

同理可得直线P'H的表达式为：…②，

联立①②并解得：x=&,

3

故点H（@,A）,

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故运动时间t的最小值为曳2；

3

(2)"."AC1.AD,

则直线CO的表达式为：>=旦「4,

-4

故点。(⑱，0)；

3

如图2,过点。作ORLAC于点R,

由面积公式得：^ORXAC=—OAXOC,

22

即：OR=12S1=里

55

设NAC£>=a,则tana=±,sina=—,

45

则tan2a==2,tanLa=工（证明见备注），

722

情况一：当OR靠近y轴时，

12

则0。=」25_=-1-=4,

sinCl3

5

故0£）=西+4=殁；

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在图4中，IQ=ID,

同理-4=占

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②当。R在二、四象限时，如图5,6：

在图5中，DI=DQ,

则4DQ1=/O/Q=L/OOC=2a,

22

OQ=-^-=^L,

.15

sirr^-an

则DQ=¥星-

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在图6中，（点/不在线段CO上，舍去）

同理可得：。。=堇匹+西（舍去）；

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情况二：当OR靠近X轴时，

如下图：当点R在二、四象限时，如图7,

见右侧图，同理可得：。。=西-5=工

326

综上，取的长度/吗或苧弯或守彖噂

备注：已知tana=3,求tan2a和tarda•

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如图△A3。是以BO为底的等腰三角形，AC±BD9过点。作OHJ_48,

B

则设：/D4C=/BAC=a,tana=3,设BC=CD=3a,则AC=4a,

4

由三角形的面积公式得：^AHXAB=^XDBXAC,

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