2021年中考数学压轴模拟试卷04 （河北省专用）（解析版）

2021年中考数学统一命题的省自治区压轴模拟试卷

2021年中考数学压轴模拟试卷04（河北省专用）

（满分120分，答题时间120分钟）

一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1~10小题各3分，11~16小题各2分.在每

小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1.把一条弯曲的公路改成直道，可以缩短路程.用几何知识解释其道理正确的是（）

A.两点确定一条直线B.垂线段最短

C.两点之间线段最短D.三角形两边之和大于第三边

【答案】C.

【解析】此题为数学知识的应用，由题意把一条弯曲的公路改成直道，肯定要尽量缩短两地之间的

里程，就用到两点间线段最短定理.要想缩短两地之间的里程，就尽量是两地在一条直线上，因为

两点间线段最短.

2.定义新运算：对于任意实数，a、b,都有。㊉人=a（a—。）+1,等式右边是通常的加法、减法

及乘法运算，比如：2㊉5=2（2-5）+l=2x（-3）+1=-6+1=—5.

若无㊉（一4）=6,则x的值为（）

A.lB.-5C.1或-5D.6

【答案】C

【解析】（1）x㊉（-4）=6

+l=6

X2+4X-5=0

<X]=1,%2=-5；

・・・x的值为1或-5.

3.计算：（a+1）2+a（2-a）的结果为（）

A.4aB.4a-lC.-4a+lD.4a+1

【答案】D

【解析】先根据完全平方公式计算前一项,再计算单项式乘以多项式，最后相加减即可

++Q（2—Q）

=cr+2a+l+2fl—cr

4.如图的两个几何体分别由7个和6个相同的小正方体搭成，比较两个几何体的三视图，正确的

A.仅主视图不同B.仅俯视图不同

C.仅左视图不同D.主视图、左视图和俯视图都相同

【答案】D

【解析】分别画出所给两个几何体的三视图，然后比较即可得答案.

第一个几何体的三视图如图所示:

第二个几何体的三视图如图所示:

观察可知这两个几何体的主视图、左视图和俯视图都相同.

5.为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名

参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：

一分钟跳绳个数141144145146

(个)

学生人数(名)5212

则关于这组数据的结论正确的是()

A.平均数是144B.众数是141C.中位数是144.5D.方差是5.4

【答案】B

【解析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可.

根据题目给出的数据，可得:

141x5+144x2+145x1+146x2

平均数为：X=143,故A选项错误;

5+2+1+2

众数是：141,故3选项正确:

141+144

中位数是：--------=142.5,故。选项错误;

2

方差是:

S2=^[(141-143)2x5+(144-143)2x2+(145-143)2x1+(146-143)2x2]=4.4,故D

选项错误.

6.如图，在中，AB=AC,以点。为圆心，⑦长为半径画弧，交4?于点8和点〃，再分别以点

B,〃为圆心，大于工加长为半径画弧，两弧相交于点必作射线。/交48于点发若1£=2,BE=\,

2

则用的长度是()

【答案】D.

【解析】利用基本作图得到CELAB,再根据等腰三角形的性质得到4C=3,然后利用勾股定理计算

底的长.

由作法得以J_A?,则N4iZ=90°,

AC=AB=BE+AE=2+1=3,

在以△4下中，CE=J32_22=y[s-

7.如果帆+〃=1,那么代数式（卫上2+，〕•（〃/一”2）的值为（）

\rn-mnm）x'

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

.（2nl+〃1A/22\

［解析］—.....+-

\m~-mnm）x'

I（m+〃）（/〃一〃）

2m+m

（722+〃）（相一

-3（m+n）

又＜m+n=l

・•・原式=3x1=3.故选D.

8.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的

位似图形，且相似比为工，点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C

3

点坐标为()

A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)

【答案】A.

【解析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD的长，进而得出△OADS/XOBC,

进而得出A0的长，即可得出答案.

•.•正方形ABCD与正方形BEFG是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为L

3

•AD.l,

"BGT

VBG=6,AD=BC=2,

VAD//BG,△OADsAOBG,

•空」•OA,1

"OBT"2+OA3"

9.若(9‘1"“？二1)=8x10x12,则左=()

k

A.12B.10C.81).6

【答案】B

【解析】利用平方差公式变形即可求解.

原等式(5T)(l1-1)=8x10x12变形得:

k

(92-1)(112-1)

'8x10x12

_(9-1)(9+1)(11-1)(11+1)

8x10x12

8x10x10x12,八

=-----------=10.

8x10x12

10.如图，正三角形4%的边长为3,将△/16C绕它的外心。逆时针旋转60°得到△力夕。，则它们

重叠部分的面积是（）

D.V3

【答案】C

【分析】根据重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边

三角形，据此即可求解.

解：作A也L8C于他如图：

重合部分是正六边形，连接。和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形.

是等边三角形，AMLBC,

:.A归BC=3,BM=CM=—BC=—,/胡仁30°,:"心|归囚3,

22v2

△48C的面积=—BCX4a—X3X色巨=曳③，

2224_

.•.重叠部分的面积=2△37的面积=§X理③=刍返

9942

A.5B.6C.5或6D.7

【答案】A

【解析】估计2夜的大小范围，进而确定，”的值.

2斤低，

•­,V25<V28<V36.

：.5<247<6,

又•:m<2枚<m+l,

・・/〃=5o

12.规定：sin(-x)=-sirtGcos(-x)=cosx,cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny,给出以下四个

结论：

(1)sin(-30°)=一5；(2)COS2X=COS2X-sin2x；

⑷c°sl5。=与

(3)cos(x-y)=cosxcosy+siarsiny；

其中正确的结论的个数为（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】根据题目中所规定公式，化简三角函数，即可判断结论.

(I)sin(-30")=-sin303=故此结论正确；

(2)cos2x=cos(x+x)=COSJCCOSX-sinjcsinx=cos2x-sin2x,故此结论正确；

(3)cos(x-y)=cos[x+(-y)]=cosxcos(-y)-sinxsin(-y)=cosxcosy+sinxsiny,故此结论

正确；

(4)cos150=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°

=尊*4+¥*3=9+号=耳旦，故此结论错误.

2222444

所以正确的结论有3个.

13.月球与地球之间的平均距离约为38.4万公里，38.4万用科学记数法表示为“X10”的形式，其中

lW|a|<10,〃为整数.则n的值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其中〃为整数.确定〃的值时，要

看把原数变成。时，小数点移动了多少位，"的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值》

10时，〃是正数；当原数的绝对值<1时，〃是负数.

38.4万=384000=3.84义105

所以a=3.84,n=5

14.有一题目：“已知；点。为AABC的外心，ZBOC=130°,求NA.”嘉嘉的解答为：画AABC

以及它的外接圆。，连接03,0C,如图.由ZBOC=2NA=130。，得NA=65°.而淇淇说:

“嘉嘉考虑的不周全，NA还应有另一个不同的值."，下列判断正确的是（）

A.淇淇说的对，且NA的另一个值是115°

B.淇淇说的不对，NA就得65°

C.嘉嘉求的结果不对，NA应得50°

D.两人都不对，NA应有3个不同值

【答案】A

【解析】直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案.

如图所示：

,.,ZBOC=130°,

/.ZA=65°,

/A还应有另一个不同的值/A，与/A互补.

故NA'=180°—65°=H5°.

【答案】B

【分析】先由二二次函数y=o?+bx+c的图象得到字母系数的正负，再与一次函数）=acx+b的图象

相比较看是否一致.

【解析】A.由抛物线可知，a>0,b<0,c>0,则ac>0,由直线可知，ac>0,b>0,故本选项错

误；

8.由抛物线可知，a>0,b>0,c>0,则ac>0,由直线可知，ac>0,b>0,故本选项正确；

C.由抛物线可知，a<0,b>0,c>0,则“cYO,由直线可知，ac<0,b<0,故本选项错误；

D由抛物线可知，a<0,b<0,c>0,则“c<0,由直线可知，ac>0,b>0,故本选项错误.

16.如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片,

面积分别是1，2,3,4,5,选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，使所围成的三角

形是面积罩木的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）

A.1,4,5B.2,3,5C.3,4,5D.2,2,4

【答案】B

【解析】根据勾股定理，/+〃=/,则小的两个正方形的面积等于大三角形的面积，再分别进行

判断，即可得到面积最大的三角形.

解：根据题意，设三个正方形的边长分别为a、b、c,

由勾股定理，得

A,V1+4=5,则两直角边分别为：1和2,则面积为：-xlx2=l；

2

B、•；2+3=5,则两直角边分别为：及和百，则面积为：Lx亚x石=迈；

22

C、：3+4#5,则不符合题意；

D>'/2+2=4,则两直角边分别为：和，则面积为：—xy/2xy[2—1；

•••亚>1。

2

二、填空题（本大题有3个小题，共12分.17~18小题各3分；19小题有3个空，每空

2分）

17.计算旧+6的结果是.

【答案】3V6.

【解析】原式=2、另+乃=3vg.

【点拨】根据二次根式的性质化简二次根式后，再合并同类二次根式即可.

18.已知正多边形的一个外角等于40°,则这个正多边形的内角和的度数为.

【答案】1260°.

【解析】利用任意多边形的外角和均为360°,正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根

据多边形的内角和公式计算即可.

正〃边形的每个外角相等，且其和为360°,

据此可得——=40°,

n

解得"=9.

(9-2)X18O0=1260",

即这个正多边形的内角和为1260°.

k

19•点P,Q,R在反比例函数y=—(常数Z>0,x>0)图象上的位置如图所示，分别过这三个点

x

作X轴、y轴的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为Si,S2,S3.若OE=ED=DC,

SI+S3=27,则，的值为一，S2的值为，K的值为_

…27,162

【答案，】54/51k=———,

【解析】利用反比例函数系数2的几何意义，及OE=ED=DC求解S，S2，S3,然后利用5,+53=27

列方程求解即可得到答案.

解：由题意知：矩形OEPC的面积=左，

,;OE=DE=DC,

/.S]=—k,

13

同理：矩形OGQ。，矩形的面积都为3

OE=DE=DC,

11

S发

2233466,

,1,1,1,

=k—k—k=­k.

362

•.・S]+怎=27,

-k+-k^21,

23

162

162127

---x—=——

S2

565

故答案为：—.

5

【点睛】本题考查的是矩形的性质，反比例函数的系数的几何意义，掌握以上性质是解题的关键.

三、解答题(本大题有7个小题，共66分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤)

20.(6分)化简：(口d+6x+8)-(6X+5/+2),发现系数“W”印刷不清楚.

(1)他把“W”猜成3,请你化简：(3f+6x+8)-(6x+5x2+2)；

(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数通过计算说明原题中“W”是几？

【答案】(D-2/+6；(2)5.

【解析】(1)(3x?+6x+8)-(6x+5x2+2)

=3x2+6x+8-6x-5x2-2

=-2x2+6；

(2)设“”是a,

则原式=(ax2+6x+8)-(6x+5x2+2)

=ax2+6x+8-6x-5x2-2

=(a-5)x2+6,

•・,标准答案的结果是常数，

Aa-5=0,

解得：a=5.

21.（6分）请你用代数式表示如图所示的长方体形无盖的纸盒的容积（纸盒厚度忽略不计）和表

面积，这些代数式是整式吗？如果是，请你分别指出它们是单项式还是多项式.

【答案】纸盒的容积为a6c；表面积为助+2历+2ac（或成+ac+6c+ac+6c）.它们都是整式；

a6c是单项式，a6+2/?c+2ac（或a6+ac+6c+ac+6c）是多项式.

【解析】容积是长X宽X高，表面积（无盖）是五个面的面积，在分辨它们是不是整式，是单项式

还是多项式时，牵牵把握住概念，根据概念判断.

纸盒的容积为a6c；表面积为a6+26c+2ac（或a6+ac+6c+ac+A）.它们都是整式；abc

是单项式，a6+26c+2ac（或aZ?+ac+bc+ac+Z）c）是多项式.

22.（10分）如图，NA=NB=50。，P为AB中点，点M为射线AC上（不与点A重合）的任意点，

连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设NBPN=a.

（1）求证：AAPM四△BPN；

（2）当MN=2BN时，求a的度数；

（3）若ABPN的外心在该三角形的内部，直接写出a的取值范围.

【答案】（1）证明见解析；（2）a=50°；（3）40°<a<90°.

【解析】（1）是AB的中点，

；.PA=PB,

在4APM和ABPN中，

ZA=NB

<乙4PM=NBPN,

PA=PB

/.△APM^ABPN；

(2)由(1)得：△APMg/XBPN,

.'.PM=PN,

AMN=2PN,

VMN=2BN,

・・・BN=PN,

.'.a=ZB=50°；

(3)..•△BPN的外心在该三角形的内部，

.•.△BPN是锐角三角形，

VZB=50°,

.,.40°<ZBPN<90°,即40°Va<90°.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外接圆圆心的位

置等，综合性较强，难度适中，解题的关键是熟练掌握三角形外心的位置.

23.(10分)如图，和△力。E中，AB=AD=6,BC=DE,"="=30°,边4D与

边交于点尸(不与点。重合)，点夕，E在异侧，/为的内心.

(1)求证：ZBAD=ZCAE;

(2)设请用含x的式子表示VD,并求。D的最大值；

(3)当力。时，N//C的取值范围为<^AIC<n,分别直接写出m,A的值.

【答案】见解析。

【解答】解：(1)在△/笈。和中，(如图1)

'AB=AD

<ZB=ZD

BC=DE

:.△ABN△ADE(S4S)

：.LBAC=/.DAE

即ZBAD+乙DAC=乙DAC+ZCAE

/.ZBAD=ZCAE.

(2)-：AD=6,AP=x,

:.PD=6-x

当月。1BC时，AP=L4B=3最小，即。0=6-3=3为。D的最大值.

2

(3)如图2,设NA4P=a,则NZPC=a+30°,

•：ABLAC

:.^BAC=90°,"C4=60°,/R4C=90°-a,

为的内心

.--AI.C7分别平分NE4C,乙PCA,

：./_IAC=^/_PAC,/_ICA=^/_PCA

22

.­.ZAfC=180°-(ZZ4C+Z/G4)

=180°-1(4PAC+/PCA)

2

=180°-1(90°-a+60°)

2

=La+105°

2

-.10<a<90°,

.-.105°<la+105°<150°,即105°<Z/l/C<150o,

2

：.m—105,n=150.

24.（10分）表格中两组对应值满足一次函数y=H+6,现画出了它的图象为直线/，如图.而

某同学为观察左，匕对图象的影响，将上面函数中的k与。交换位置后得另一个一次函数，设其图

象为直线

X-10

y-21

8

7

6

5

4

3

O123x

(1)求直线/的解析式；

(2)请在图上画中直线r(不要求列表计算)，并求直线r被直线/和y轴所截线段的长；

(3)设直线)'=。与直线/,/'及y轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，建军写出。

的值.

【答案】(1)/：y=3x+l；(2)作图见解析，所截线段长为五；(3)。的值为1•或点或7

【解析】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知待定系数法、一次函数的图像与性

质及坐标的对称性.

(1)依题意把(-1,-2)和(0,1)代入丫=区+方，

\-2=-k+h

.♦.直线/的解析式为丁=3x+1,

(2)依题意可得直线/'的解析式为y=x+3,

作函数图像如下：

令x=0,得y=3,故B(0,3),

y=3x+l

」=x+3

解得《

y=4

.".A(1,4),

直线r被直线i和y轴所截线段的长AB=J(i二。)2+(4-3)2=正；

(3)①当对称点在直线/上时,

令a=3x+l,解得x=\^,

令〃=x+3,解得x=〃-3,

u—\

：.2X----=a-3,

3

解得a=7；

②当对称点在直线/'上时，

_.、CL-1

则2X(a-3)=----，

3

17

解得距不；

③当对称点在y轴上时，

a—\

则----+(a-3)=0,

3

解得a=H

2

综上：。的值为土5或17,或7.

25

25.(12分)从甲、乙两名同学中选拔一人参加“中华好诗词”大赛，在相同的测试条件下，对两人

进行了五次模拟，并对成绩(单位：分)进行了整理，计算出高=83分，豆=82分，绘制成如下

尚不完整的统计图表.

甲、乙两人模拟成绩统计表

①②③④⑤

甲成绩/分798682a83

乙成绩/分8879908172

（1）a=______

（2）请完成图中表示甲成绩变化情况的折线.

（3）经计算S甲2=6,S/=42,综合分析，你认为选拔谁参加比赛更合适，说明理由.

（4）如果分别从甲、乙两人5次的成绩中各随机抽取一次成绩进行分析，求抽到的两个人的成绩都

大于82分的概率.

【答案】（1）85；（2）补全图形见解析；（3）选拔甲参加比赛更合适，理由见解析；（4）抽到

的两个人的成绩都大于82分的概率为$.

【解析】（1）根据题意得79+86+82+a+83=5x83,解得a=85；故答案为85；

（2）如图，

（3）选拔甲参加比赛更合适，理由如下：

；乂甲>*乙，且S甲2<S/.2,

•••甲的平均成绩比乙的平均成绩高，且甲的成就比较稳定,

•••选拔甲参加比赛更合适；

（4）列表为：

乙甲7986828583

8888,7988,8688,8288,8588,83

7979,7979,8679,8279,8579,83

9090,7990,8690,8290,8590,83

8181,7981,8681,8281,8581,83

7272,7972,8672,8272,8572,83

共有25可等可能的结果数，其中抽到的两个人的成绩都大于82分的结果数为6,

所以抽到的两个人的成绩都大于82分的概率=5.

26.（12分）如图1和2,5BCD中,AS=3,BC=15,tan/O4B=_l.点尸为延长线上

3

一点，过点A作。。切CP于点P,设BP=x.

（1）如图1,x为何值时，圆心。落在/尸上？若此时。。交/。于点反，直接指出四与4C的

位置关系；

（2）当x=4时，如图2,与月。交于点。，求NC4尸的度数，并通过计算比较弦4P与劣弧

同长度的大