2021年中考数学压轴题讲次06 直角三角形的存在性问题（教师版）

专题06直角三角形的存在性问题

在考虑&48c是否为直角三角形时，很显然需要讨论三种情况：①乙4=90。；②

ZB=90°；③NC=90。.在大多数问题中，其中某两种情况会较为简单，剩下一种则是考

察重点，需要用到勾股定理、相似/全等等知识才能求得.

模块一：以函数为背景的直角三角形问题

1、知识内容：

在以函数为背景的此类压轴题中，坐标轴作为一个“天然”的直角存在，在解题时经常

会用到，作出垂直于坐标轴的直线来构造直角。另外，较困难的情况则需要用到全等/相似

或者勾股定理的计算来确定直角三角形.

2、解题思路：

(1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

(2)计算出相应的边长等信息；

(3)根据边长与已知点的坐标，计算出相应的点的坐标.

、典例剖析,

例1.(2020普陀区一模)在平面直角坐标系xOy中(如图12),已知抛物

(8、

线y=ax2+。+-x+c(a工0)经过点A(-3,-2),与y轴交于点

\3)

3(0,—2),,抛物线的顶点为点C,对称轴与1轴交于点。.

图12

(1)求抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)点E是x轴正半轴上的一点，如果乙4矶＞=48。，求点E的坐标；

(3)在(2)的条件下，点尸是位于y轴左侧抛物线上的一点，如果△P4E是以AE为直

角边的直角三角形，求点P的坐标.

【满分解答】

4cr3

2、

y=—x+4x-2,C——,-5

⑴3I2J

3

-

2

-

(2)tanZBCD3—,则tanNAED=—

22

过A作A"_LOE,tanZAED=-=——=-,

EHEH2

则E"=4,E(1,O)

【总结】利用相等角的正切值相等解决问题

(3)①当NEAP=90°时，XkHEsLp,

,MPAH1.4,

则——=——=一，i&PM=t,则nAM=2f

AMHE2

4

将尸(r一3,-2—2/)代入丁=§£+4尤一2

3

一

一2-

・•・*（，-5

、PNEG1

②当ZAEP=90°时，AAEGSAPEN,则=二一

ENAG2

设PN=f,则EN=2f

4

将尸（1一人2，）代入y=-x2+4x-2

13+^29,13-7129

角力—―4―，2~—(舍),

.D（9+^/i2913+^/i29

"22

9+7129

综上所述：片(一|，一5)，P2~13+

4

aa

例2.如图，抛物线y=-z、+3与x轴交于4、6两点(点4在点6的左侧)，与y轴

交于点C.

(1)求点力、8的坐标；

(2)若直线/过点6(4,0),"为直线/上的动点，当以人反M为顶点所作的直角三角

形有且只有三个时，求直线/的解析式.

【答案】(1)尔6的坐标分别为(-4,0),(2,0)；

(2)直线•/解析式为y=-°x+3或y='-3.

44

【解析】⑴解方程-士V-±x+3=O,

84

可得：48的坐标分别为(-4,0),(2,0)；

(2)设中点为〃，〃点为(—1,0),

以〃为圆心，49为半径作圆，

若/与y轴平行，则找不到3个M点，使A4W为直角三角形.

1不与y轴平行.

.,.必定存在2个M点，使NA=90°或NB=90°.

要满足“以4、氏材为顶点所作的直角三角形有且只有三个”，

即直线1与圆〃相切，设切点为M,过赫作，赫肛x轴于H,

DE=5,DMlt=AD=3,

912

:.DH=—,

5°5

412

的坐标为

5,T

，直线/解析式为y=-3工+3或y=。工-3.

44

【总结】本题主要考查二次函数背景下的直角三角形的存在性问题，注意认真分析题目中的

条件，从而求出正确的结果.

例3.在平面直角坐标平面内，。为原点，二次函数y=-x2+bx+c的图像经过点4(-1,0)

和点6(0,3),顶点为2

(1)求二次函数解析式及点尸的坐标；

(2)如果点0是x轴上一点，以点4只0为顶点的三角形是直角三角形，求点0的坐标.

【答案】(1)解析式：y=-x2+2x+3,顶点(1,4)；

(2)点。的坐标是(1,0)或(9,0).

f—1—Z?+c=O

【解析】(1)由题意得，解得：b=2,c=3；

[c=3

二次函数解析式为、=一/+2》+3=-(*-1)2+4,

二点尸的坐标是(1,4):

(2)P(1,4),A(-1，0),AP2=20

设点0的坐标是(x,0),则PQ2=(X-1)2+16.

①当ZAQP=90。时，AQ1+PQ2=AP2,

(x+l)2+(x-l)2+16=20,

解得：X,=l,七=一1(不合题意，舍去)，

.•.点。的坐标是(1,0)；

②当NAPQ=90。时，A尸+尸。2=4。2,

2O+(X-1)2+16=(X+1)2,

解得：x=9,

.•.点。的坐标是(9,0).

③当NPAQ=90。时,不合题意.

综上所述，所求点0的坐标是(1,0)或(9,0).

【总结】本题一方面考查二次函数的解析式及顶点坐标的确定，另一方面考查二次函数背景

下的直角三角形的存在性，注意利用勾股定理确定点的坐标.

模块二：以几何为背景的直角三角形问题

1、解题思路：

(1)按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；

(2)运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长.

例4.(2020嘉定二模)如图8,在△4笈中，ZC=9O°,Jj9=5cm,cosB=：.动点。从点力

出发沿着射线的方向以每秒1cm的速度移动，动点£从点8出发沿着射线力的方向以每

秒2cm的速度移动.已知点〃和点£同时出发，设它们运动的时间为t秒.联结被

(1)当时，求tan乙钻。的值；

(2)以4为圆心，4?为半径画。4：以点6为圆心、跖为半径画。区讨论。力与的位置

关系，并写出相对应的力的值.

(3)当△及应为直角三角形时，直接写出tanNC8。的值.

c备用图

【考查内容】两圆位置关系、锐角三角形比的应用、等腰三角形的性质、直角三角形存在性

问题

【解析】（1）等腰三角形三线合一的性质、等积法求高、锐角三角比的意义；（2）由内切

和外切分别求出对应的t的值，再根据两圆位置关系确定t的取值范围：（3）按照直角进

行分类讨论，由一线三等角求解非常方便。

【答案】（1）在AABC中，ZC=90°,AB=5cm,cosB=1

所以BC=4,AC=3

因为AD=AB=5

所以CD=5-3=2

在Rt^BCD中,BD2=BC2+CD2

所以BD=2V5

过点A作AHLBD,交BD于点H

因为AD=BD

所以BH=1BD=V5

由等积法，可得AH=2指

所以tanZABD=2.

（2）设圆A半径为r=t,圆B半径为R=2t,

•.•圆心距d=AB=5,

...由圆与圆位置关系，得

当0<t〈g时，外离；

当t=g时，外切；

当（<t<5时相交；

当t=5时,内切;

当t>5时，内含。

(3)当/BDE=90°时，

①当E在线段AB上时，解得1=交所以tanNCBD-Z

11.11

②当E在BA的延长线上时，解得t=5,所以tan/CBD=，

2

当/BED=90°时，t=—,所以tanNCBD=1

1326

当NEBD=90°时,t=y,所以tanNCBD=：

综上，tan/CBD的值为2-1工,\

11,2263

具体评分标准

4

解：(1)方法1.在△胸中,NC=90°,心5cm,cosB=-,

5

ABC=ABcosZABC=4,AC=^AB2-BC2=^52-42=3...................1分

当AD=AB时，ZABD=ZD.：.CD=AD-AC=5-3=2.....................1+1分

A

在Rt△片切中，tanNZ)=d=±=2...........................................1分

CD2

tanZ.ABD=tanZD=2...................................................1,分

(2)①当两圆外离时，由题意得5>3t,解得0<r<»；.......................1分

3

②当两圆外切时，由题意得3片5,解得r=2；................................1分

3

③当两圆相交时;由题意得t<5<3t,解得-<^<5；..........................1分

3

④当两圆内切时，由题意得2LQ5,解得£=5；................................1分

⑤当两圆内含时，由题意得0W5",解得，>5.................................1分

757

(3)①当〃在线段然上，且/朋>90°时，r=—,tanZCBD=—；...........1分

1326

757

②当。在线段然上，且/例片90°,6=5（舍），t2=—,tanZCfiD=—；••••1分

1111

③当。在线段4C的延长线上，且/加田90°时，/=5,tanZCfiD=-；...........1分

2

④当〃在线段/2的延长线上，且N应停90°时，r=—,tanZCBD=-..........1分

33

例5.如图，在平面直角坐标系中，矩形如6c的两边以、OC分别在x轴、y轴的正半轴上,

而=4,%=2.点尸从点。出发，沿*轴以每秒1个单位长的速度向点4匀速运动，当点

P到达点/时停止运动，设点尸运动的时间是t秒.将线段b的中点绕点〃按顺时针方向

旋转90°得点4点〃随点产的运动而运动，连接DP、DA.

（1）请用含广的代数式表示出点〃的坐标；

（2）在点户从。向/运动的过程中，AQR4能否成为直角三角形？若能，求£的值.若

不能，请说明理由.

【答案】（1）〃点坐标为，+1,（2）t=2或3.

【解析】解：（1）取6P中点M,作..KV±OP于N,作DHV为于〃

可得，\MNP^\PHD.

,；MN=T,NP=L,，点坐标为&0),

二〃点坐标为(f+1,；);

(2)当NPD4=90。时，"HD^^DHA，

t

即J_=且，解得："2或"一6(舍).

HDAHt_3-t

2

CPco??

当NPAO=90。时，\COP^\PAD,,即*=』，：.PA=1,f=3

PDPA1PA

故当A«R4是直角三角形时，，=2或3.

【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意

利用旋转的性质进行求解.

例6.如图，在&4BC中，CA=CB,AB=8,cosNA=±.点。是力6边上的一个动点，点£

5

与点力关于直线切对称，联结磔'、DE.

(1)求底边力6上的高；

(2)设◎■与48交于点尸，当AACF为直角三角形时，求力〃的长；

(3)联结当A4DE是直角三角形时，求相的长.

【答案】(1)3；(2)的长为25或295；(3)AD的长为1.

27

【解析】解：(1)过。作加力8于

U

：AC=BC,AB=8,:.AH二BH=4.

又・・・COS/4=3，:.AC=BC=3,677=3；

5

(2)分情况讨论：

①当NAFC=90。时，尸与〃重合，：.EH=2.

33

VZE=ZA,ADH=-EH=-.

42

*'*AD=—：

2

②当ZACF=90°时，作〃归_〃、于M,设CM=x,

•.*ZACD=ZECD=45°,:.CM=DM=x.

4441S

：.AM=-DM=-x,：.x+-x=5,解得：x=—.

3337

525

/.AD=—DM=—：

37

综上：当A4C尸为直角三角形时，4〃的长为2或丝；

27

(3)•.♦?!〃=A4DE为直角三角形时，AD、鹿只可能是直角边.

NAOE=90。.

，ZADC=ZEDC=135°.

NCDB=45°.

DH=CH=3.

：.AD^\.

【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认

真分析，注意进行分类讨论.

例7.如图，已知&4BC为等边三角形，16=6,点尸是46上的一个动点(与4、8不重合)，

过点。作的垂线与优1交于点D,以点〃为正方形的一个顶点，在A48C内作正方形DEFG,

其中4E在BC上,尸在〃■上.

(1)设9的长为x,正方形如&的边长为外写出y与x的函数关系式及定义域;

(2)当BP=2时，求。；'的长;

(3)AGOP是否可能成为直角三角形？若能，求出祀的长；若不能，请说明理由.

【答案】(1)了=(6-3卜+9-36(6-3赤4x<3)；(2)273-2；

(3)BP的长为3°-6"或者为6-3有.

【解析】(1)；AA8C为等边三角形,

ZB=ZC=60°,AB=8C=AC=6；

VDP±AB,BP=x,：.BD=2xt

又：四边形废汽G是正方形，

Z.EFIBC,EF=DE=y,

..EC=—y；..2x+y+—y=6,

y=(有-3卜+9-3亦(6-3限x<3)；

2y

(2)当缈=2时,=(G-3)X2+9-3/=3-/，CF==273-2；

y耳

(3)AG。产能成为直角三角形.

①NPG£>=90°时,如图;

A

6-x="v+y,6-x=“+l升（/-3卜+9-3码,

解得：x=30；”

②NGPO=90。时，如图；

解得：x=6—3>/3.

...当AGO尸为直角三角形，

外的长为3°；："或者为6-3/.

【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性，注意对相

关性质的准确运用.

例8.如图，在A48c中，ZC=90°,然=4cm,6c=5cm,点〃在比1上，并且切=3cm.现

有两个动点。、0分别从点4、6同时出发，其中点P以lcm/s的速度，沿4c向终点。移动；

点。以1.25cm/s的速度沿外向终点C移动.过点尸作PE//BC交助于点E,联结EQ.设

动点运动时间为x(s).

（1）用含X的代数式表示4?、龙的长度；

（2）当x为何值时，AE。。为直角三角形.

【答案】⑴AE=-x,DE=5--x;

44

(2)当x为2.5s或3.1s时，A££>Q为直角三角形.

【解析】(1)在KrAAOC中，AC=4,CD=3,则/〃=5.

'：EP//DC,

：.MEPsAADC,

.AEAPAEx

,•----=,un|nJ=一,

ADAC54

AAE=-x,DE=5--x；

44

(2)分两种情况讨论：

①当NEQ£)=90。时，如图；

易得EQ=PC=4-x,又,：EQ"A3

\EDQsAADC,

.EQ_DQ|]|j4-x_1.25x-2

t，AC~DC，4~~

解得：%=2.5；

②当NQEO=90。时，如图；

・.・NCDA=NEDQ,Z.QED=ZC=90°,

:.AEDQs\CDA,

.EQDQ„n5（4-x）_1.25x-2

CADA125

解得：x=3.1：

综上所述：当x为2.5s或3.1s时，AE3Q为直角三角形.

【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而

求出相应的线段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论.

压轴精练

1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点/（一1,0）、6（4,0）、＜7（0,2）.点

。是点C关于原点的对称点，联结劭，点后是x轴上的一个动点，设点〃的坐标为（如，0）,

过点〃作x轴的垂线/交抛物线于点P.

（1）求这个二次函数的解析式;

（2）当点《在线段加上运动时，直线/交能于点。，当四边形尔是平行四边形时，求

m的值；

(3)是否存在点只使反立¥是不以切为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点尸

的坐标；如果不存在，请说明理由.

1R

【答案】(1)y^--x2+-x+2；(2)必=2；

22

(3)(3)片(8,-18),6(-1,0),6(3,2).

【解析】解：(1)I.二次函数过点/、B,

设二次函数为y=a(x+l)(x-4).

将点。(0,2)代入，解得〃

2

1a

，二次函数解析式为：y=--x2+-x+2；

22

(2)〃点坐标为(0,-2).

・•・直线劭的解析式为：y=-x-2.

2

・二〃点坐标为(根,一；加2+1-W.+2^,0点坐标为「几3〃2-2

■:CD=PQ,

.I3.1-

・・——m2+—tn+2——机+2=4.

222

解得：加=2或/〃=0(舍),

故勿的值为2；

(3)耳(8,-18),月(一1,0),月(3,2).

(注：可设过6或〃的与劭垂直的直线，然后与二次函数联立后解出)

【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了二次函数解析式的确定，还有就是

平行四边形的存在性以及直角三角形的存在性的确定，注意利用相关性质去确定点的坐标.

2.如图，在aAABC中，NACB=90°,AB=13,如/力8,点£为射线切上一动点(不

与点。重合)，联结"交边/于尸，/物£的平分线交6c于点G.

(1)当您=3时，求力由：必纳的值；

(2)设龙=x,AE=y,当CG=2"时，求y与x之间的函数关系式；

(3)当4C=5时，联结旗，若AAEG为直角三角形，求用的长.

【解析】解：(1)CD//AB,3,AB=13,

.EFCE3

•SACEF_EF_3

S»CAF人尸13

(2)延长4G交CD于M.

.CMCGc

>•--------------2•

ABGB

：.CM=26.

CD//AB.

・•・ZEMA=ZA4AB=ZEAM，

：.AE=EM,

y=26—x.

(3),.・3EAGv90。，・••分两种情况讨论.

①当乙AGE=90。时，可得力G=GM.

'：CD//AB,

：.BG=-BC=6-.

2

②当NAEG=90°时，可得A/ACF^AGEF,

XECFsXGAF,NECF=ZFAG.

又：N/^G=NGA8,NECF=4B,

ZB=NGAB,

GA=GB.

BGI

24

综上所述，若AAEG为直角三角形，身的长为6或坨.

24

【总结】本题综合性较强，考查的内容也比较多，包含了面积的比值，函数解析式的确定以

及直角三角形的存在性的确定，注意在求解析式时，利用角平分线的性质去确定解析式.

3.如图，已知在平面直角坐标系中，点/的坐标为(-2,0),点6是点/关于原点的对称

点，尸是函数(x>0)图像上的一点，且A4BP是直角三角形，求点尸的坐标.

x

【答案】（（2,1）或（0,a）.

【解析】解：分情况讨论，因为点〃在第一象限，所以NA不可能为90。.

①当NB=90。时，

工"点横坐标为2,

；・〃点为（2,1）；

②当NP=90。时，连接。尸，：.OP=OA=2,

设P点为。”，2],.•.苏+（2]=22.

（m）\/77J

解得：m=>/2或m=—J2,

•.•点一在第一象限，"2=0,

综上，一点的坐标可能为（2,1）或（及，及）.

【总结】本题主要考查直角三角形的存在性问题，由于本题中。点在第一象限，因此注意直

角三角形只有两种情况.

4

4.如图，在“8C中，AB=AC-10,cosB=D、£为线段6c上的两个动点，且庞=3

5

（£在〃右边），运动初始时〃和6重合，当£和。