2021年中考数学一轮复习-第十讲图形变换

第十讲:图形变换

知识梳理

知识点1、平移变换

重点：掌握平移的概念及性质

难点:平移性质的运用

1.平移的概念:平面内将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这种图形变换称为平移.

注:平移变换的两个要素:移动的方向、距离.

2.平移变换的性质

(1)平移前后的图形全等.即:平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小：

(2)对应线段平行(或共线)且相等；

(3)对应点所连的线段平行(或共线)且相等.

如图所示，AA7/BB且AA'=BB',BB'与CC'共线,且BB'=CC'

3.用坐标表示平移：

⑴在平面直角坐标系中，将点(乂丫)：

①向右或向左平移a个单位—点(x+a,y)或(x-a,y)

②向上或向下平移b个单位一＞点(x，丫+b)或(x,y-b)

(2)对一个图形进行平移，相当于将图形上的各个点的横纵坐标都按(1)中的方式作出

改变

例1.下列各组图形，可经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是()

44"4V

A.B.

C.D.

解题思路:根据平移的概念可知，平移不改变图形的形状、大小、方向，只改变位置.选

项B的两个图形不是全等形；选项C、D中两个图形的方向发生了改变.

解答:选A

例2.如图1,修筑同样宽的两条“之”字路，余下的部分作为耕地，若要使耕地的面

积为540米2,则道路的宽应是米？

32

解题思路:尝试把道路平移一下，化不规则图形为有序规则图形，问题就迎刃而解了.

解答:将横向道路位置平移至最下方，将纵向道路位置平移至最左方，

设道路宽为x米，则有32x+(20-x)-x=32x20-540,

整理，得x2-52x+100=0,A(x-50)(x-2)=0,

二/=50(不合题意，舍去)，x2=2.

...道路宽应为2米.

练习：如图是阳光广告公司为某种商品设计的商标图案，

若每个小长方形的面积都是1,则图中阴影部分的面积

是[答案为5]

知识点2、轴对称变换

重点:掌握轴对称的概念及性质

难点:轴对称的性质的运用

1.轴对称的概念:把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那

么这两个图形关于这条直线对称或轴对称.这条直线就是对称轴.两个图形中的对应点(即

两图形重合时互相重合的点)叫做对称点.

如图所示，AABC与AA'B'C'关于直线/对称，/为对称轴.

2.轴对称图形:把一个图形沿一条直线对折，对折的两部分能够完全重合，那么就称这

个图形为轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴.

一个图形的对称轴可以有1条，也可以有多条.

3.轴对称与轴对称图形的区别与联系:

区别联系

轴对称轴对称是指两个图形的对称关系把轴对称的两个图形看成一个

“整体”(一个图形)，则称为

轴对称轴对称图形；把轴对称图形的

轴对称图形是指具有某种对称特性的

图形互相对称的两个部分看成“两

一个图形

个图形”，则它们成轴对称

4.轴对称的性质:

(1)关于某条直线对称的两个图形全等；

(2)对称点的连线段被对称轴垂直平分；

(3)对应线段所在的直线如果相交，则交点在对称轴上;

(4)轴对称图形的重心在对称轴上.

如图AABCwAA，Bt，,AA、BB\CC被直线/垂直平分.

5.轴对称变换的作图:

举例说明：

已知四边形ABCD和直线1,求作四边形ABCD关于直线1的对称图形.

作法：

(D过点A作于E,延长AE到A',使EA'=AE,则得到点A的对称点A'；(2)

同理作B、C、D的对称点卬、C'、D1；

(3)顺次连结A'、C\D1.则四边形A，为四边形ABCD关于直线/的对称图

形.

6.用坐标表示轴对称：

点8y)关于X轴对称的点为(x,-y).

点(工y)关于y轴对称的点为(-X,y)；

点（ab）关于直线x=m的对称点为（2m-a,b）.

点值口关于直线y=n的对称点为32n-b）.

点（&b）关于直线y=X的对称点为（b,a）

点3b）关于直线y=-x的对称点为（-b,-a）

例1.下列图形中，是轴对称图形的为（）

A1r.B.

C.D.

解题思路:根据定义，如果一个图形是轴对称图形，那么沿对称轴折叠后两部分应该能

完全重合；或者根据轴对称的性质，对称点的连线段应该被对称轴垂直平分.所以解决此题

的关键是看能否找到满足上述条件的对称轴.

解答:选D.

例2.如图所示，AABC与AAiBiR关于直线/对称，将岫3向右平移得到

^A2B2C2.由此得出下列判断:①四“AZBZ；②NA=NAz；③ABnAzB?.其中正确

的是（）

A.①②B.②③C.①③D.

①②③

AA

解题思路：由于凶282c2是从凶316平移得来的，故A1BJ/A2B2,但AABC与

凶世£]关于1成轴对称，不一定有AB//A1B],故①不一定正确；平移和轴对称变换都

是全等变换，故②和③正确.

解答:选B.

练习1.如图所示，半圆A和半圆B均与y轴相切于点0,其直径Cl）、EF均和x轴垂直，以

0为顶点的两条抛物线分别经过点C、E和点D、F,则图中阴影部分的面积是.

2.已知/A0B=30°,点P在/AOB内部，Pl与P关于0B对称，「2与P关于0A对称,

则/OPFz等于()

A.45°B.50°C.60°D,70°

兀

答案：1.22.60°

知识点3、旋转变换

重点：掌握旋转的概念及性质

难点:旋转的性质的运用

1.旋转变换的概念:在平面内，将一个图形绕一个定点。沿某个方向(逆时针或顺时针)转动

一定的角度，这样的图形变换叫做旋转.这个定点0叫旋转中心，转动的角称为旋转角.

注:旋转变换的三要素:旋转中心，旋转方向，旋转角

2.旋转变换的性质：

(1)旋转前、后的图形全等

(2)对应点到旋转中心的距离相等(意味着:旋转中心在对应点连线段的垂直平分线上)

(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角

3.旋转变换的作图：

(1)确定旋转中心、旋转方向和旋转角度；

(2)找出能确定图形的关键点；

(3)连结,图形的关键点与旋转中心，并按旋转的方向分别将它们旋转一个旋转角，得到此关

键点的对应点；

(4)按原图形的顺序连结这些对应点，所得图形就是旋转后的图形.

5.旋转对称性:如果某图形绕着某一定点转动一定角度(小于360°)后能与自身重合，那么

这种图形就叫做旋转对称图形.

6.中心对称:把一个图形绕着某个定点旋转180。，如果它能和另一个图形重合，那么这两

个图形关于这个定点对称或中心对称.这个定点叫做对称中心，两个图形中对应点叫做关于

对称中心的对称点.

7.中心对称的性质：

中心对称是一种特殊的旋转，因此，它具有旋就的一切性质，另外，还有自己特殊的性质.

(1)关于中心对称的两个图形全等；

(2)关于中心对称的两个图形，对称点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分(即:

对称中心是两个对称点连线的中点)；

(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或共线)；

(4)中心对称图形的重心在其对称中心；且过对称中心的直线平分该图形的面积.

如图所示，若AABC与AAEC关于点o中心对称，则对称中心0是线段

AA'、BB'、CC'共同的中点，AB//A'B'且AB=A'B',BC//B'C且

反过来，若线段AA,、BB\CC,都经过点0且0是它

们的中点，那么AABC与AABC关于点o中心对称.

8.中心对称的作图：

以上图为例，作AABC关于点。的对称图形.：

(1)找出能确定原图形的关键点，如顶点A、B、C；

(2)分别作出原图形的关键点的对称点.如：连结AO,并在AO的延长.线上截取

OA'=OA,则点K为点A关于点0的对称点；

(3)按原图形的连结方式顺次连结各关犍点的对应点，即点A'、C.所得的图形

AA'Bt，即为求作的对称图形.

9.中心对称图形:一个图形绕着一个定点旋转180°后能与自身重合，这种图形称为中

心对称图形.这个定点叫做该图形的对称中心.

中心对称图形是一种特殊的旋转对称图形(旋转角等于180°)

10.中心对称与中心对称图形的区别与联系

区别联系

中心对称是指两个图形的对称把中心对称的两个图形看成一个“整

中心对称

关系体”(一个图形)，则称为中心对称图

形；把中心对称图形的互相对称的两

中心对称图中心对称图形是指具有某种对

个部分看成“两个图形”，则它们成

形称特性的一个图形

中心对称

11.关于原点对称的点的坐标.

点区y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）.

例1.在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都为1,与她也15构成的

图形是中心对称图形.

（1）画出此中心对称图形的对称中心。：

（2）画出将她31力沿直线DE方向向上平移5格得到的.282c3；

（3）要使2c2与ACCiC?重合，则M2c2绕点C?顺时针方向旋转；至少要旋转

多少度？（不要求证明）

解题思路：（1）在中心对称的问题中，可根据“对称中心为对称点连线段的中点”来确

定对称中心；（3）可根据“对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角”来确定旋转角的

大小.画出图形后，可以看出，点与点力是旋转变换的一组对应点，则NB2c2cl等于

旋转角

解答

（1）如图，画出对称中心点0.

⑵画出M2c2.

（3）至少需要旋转90°.

例2.如图所示，AA'BC'是AABC绕某点逆时针旋转后得到的图形，请确定旋转中心,

并测量出旋转角的大小

解题思路:可根据旋转变换中对应点与旋转中心的特殊位置关系来确定旋转中心.

解答:如图，连结AA,、CC',分别作AA'和CC'的垂直平分线，交于点0.则点。即

为旋转中心.连结OA、OA',测量得NAOA'=120°,.故旋转角等于120°.

练习1..如图所示，AACE,AABF均为等腰直角三角形，NBAF=/EAC=90°,那么AAFC

以点A为旋转中心逆时针旋转90°之后与_________重合，其中点F与点对应,

点C与点对应.

2.如图两个全等的正六边形ABCDEF,PQRSTU,其中点P位于正六边形ABCDEF的中心，如

果它们的面积均为3,那么阴影部分的面积是()

答案:1.AABE,B,E2.1

知识点4、位似变换

重点：掌握位似的概念及性质

难点:位似的性质的运用

(1)如果两个多边形相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这两个多边形叫做位

似图形，这个点叫做位似中心.

⑵如果两图形F与『是位似图形，它们的位似中心是点0,相似比为k,那么:

QA_k

①设A与A是一双对应点，则直线AA，过位似中心0点，并且不屈=.

_A_B_—k।

②设A与A',B与B'是任意两双对应点，则屈诃-；若直线AB、A'B'不通过位似中

心0,则AB//AB.

(3)利用位似，可以将一个图形放大或缩小.

(4)在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似

图形对应点的坐标的比等于k或-k.

例已知等边AABC,画一个与之相似且它们的相似比为2的△A‘B'C'。

解题思路：已知一个等边AABC,要求画一个三.角形，使这两个三角形相似，并且相似

比为2。根据题意可知，已知三角形与要画的三角形之间的边的比值是不确定的，即题中没

有说明是原三角形与新三角形相似，还是新三角形与原三角形相似，这样形成的对应边的关

系有两种，因此是不确定的，再者由于有相似比的值2,那么要画的三角形边与原三角形的

边是对应边，要满足比值为N的情况也有两种，而实现这两种情况只能借助位似形的知识。

根据位似形的知识可知，位似中心存在的情况有两种，即在已知图形内或已知图形外，

它们都可以实现放大或缩小的作用。

图1

⑴在AO、B0、C0上.分别取中点A'、B'、C',连结A'B'、B'C'、A'C',则

AABC-AA'B'C,且有A'B'：AB=1：2；

(2)取AABC的内心0,连接0A、0B、0C且延长，使AA'=AO,B'B=BO,

CC=8,连结43、BC、CA，则有AABC~AAF'C',且AB：A'B'=1：2。

如图2,设位似中心在AABC的外部时

图2

(1)在AABC外任取一点0,过0点作射线OA、OB、0C,并截取AA'=OA,

c，C=OC,B'B=BO,连结A'B'、B'C\C'A',则可证ZkABC~AA，B，C'，且

AB：A'B'=1：2。

⑵在AABC外任取一点，过0作直线0A,0B,0C,在0A、0B、0C的另一侧取A',B',C,

使A'O=，AO,B'O=-OB,C'O=-OCo连结A'B'、B'C、C'A',则可证

222

AABC-AA'B'C',且AE：AB=1：2。

练习.下列说法正确的是()

A.分别在aABC的边AB、AC的反向延长线上取点D、E,使DE〃BC,则4ADE是AABC

放大后的图形；

B.两个位似图形的面积比等于位似比；

C.位似多边形中对应对角线之比等于位似比；

D.位似图形的周长之比等于位似比的平方

答案:C

最新考题

，中考要求及命题趋势

1理解轴对称及轴对称图形的联系和区别；

2掌握轴对称的性质；根据要求正确地作出轴对称图形。

3理解图形的平移性质；

4会按要求画出平移图形：

5会利用平移进行图案设计。

6理解图形旋转的有关性质;

7掌握基本中心对称图形；

8会运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计

2021年将继续考查图形的轴对称，图形的平移，要求画出平移后图形，设计图案是考查的

重点。图形的旋转的性质及应用是考试的重点。

应试对策

1要掌握轴对称问题的特征及其规律，熟练掌握基本图形的轴对称性，能结合实际图形予以

辨认轴对称图形，并能按要求作图。

2要理解图形平移的性质，掌握平移图形图案设计，对实际中平移图形要后会灵活运用。

3要理解图形旋转的性质，掌握基本图形旋转形成过程，能运用轴对称、平移和旋转的有关

知识进行图案设计。

考查目标一、平移变换问题

例1（09.盐城）在5x5方格纸中，将图1中的图形N平移后的位置如图2中所示,

那么正确的平移方法是（）.

A.先向下移动1格，再向左移动1格

B.先向下移动.1格，再向左移动2格

C.先向下移动2格，再向左移动1格

D.先向下移动2格，再向左移动2格

解题思路：利用方格很容易判断图形的平移过程，先向下平移2格，再向左平

移1格或先向左平移1格，再向下平移2格均可.选C.

例2（2009扬州）如图在AAOB中，AO=AB.在直角坐标系中，点A的坐标是（2,2）,

点0的坐标是（0,0）,将AAOB平移得到AA'O'B',使得点A'在y轴上.点0'、

B'在x轴上.则点B'的坐标是

解题思路:AAOB是等腰三角形，容易得到B点坐标为(4,0),将AAOB平移得到

△A'O'B',使得点A'在y轴上是将图形向左平移2个单位长度.根据平移特点，平移后

对应线段相等，因此点B也向左平移2个单位长度，所以点B'的坐标为(2,0).

考查目标二、旋转变换问题

例1(08徐州)如图所示，在图甲中，RtaOAB绕其直角顶点O每.次旋转90。，旋转三次

得到右边的图形.在图乙中，四边形OAB绕O点每次旋转120。，旋转二次得到右边的图形.

下列图形中，不能通过上述方式得到的是().

(0)

解题思路：(A)、图(B)、图(C)都可以用一个基本图形绕中心旋转一定角度、一定次数得到,

而图(D)不能由旋转得至故选(D).

例2(09.宿迁)如图5所示,把一个直角三角形尺ABC绕着30°角的顶点B顺时针旋转,

使得点A与CB的延长线上的点E重合.

(1)三角尺旋转了多少度？

(2)连结CD,试判断aCBD的形状;

⑶求/BDC的度数.

解题思路：(1)顶点A顺时针旋转后与点E重合，/ABE和/CBD都等于旋转角.ZABC=30°,

所以NABE=180°-30°=150°,所以三角尺旋转了150°.

(2)BC和BD是对应边，BC=BD,所以aCBD是等腰三角形.

ZBDC=——

(3)4CBD是等腰三角形，NCBD=150°,所以2

考查目标三、折叠问题

例1如图6,梯形纸片ABCD,NB=60°,AD〃BC,AB=AD=2,BC=6.

将纸片折叠，使点B与点D重合，折痕为AE,则CE=—.

解题思路:折叠后点B与点D重合，

ZBAE=ZDAE.VZB=60°,，NBAE=60°.4ABE是等边三角形.BE=AB=2,

.\CE=CB-BE=6-2=4.

例2.(09苏州)在矩形ABC。中，如图，A8=3,8c=4,将矩形折叠，使点C与点A

重合，求折痕EF的长.

解题思路:连结CE,则CE=AE

设AE=x,则。E=4-x

在Rr△期中，CE?=DE2+DC)

所以炉=(4—xy+32

解得%=—即CE=.

88

在RfMBC中，AC=siAB2+AC2=732+42=5

由题意知：AO=CO==-

所以，在中，EO=sjCE2-CO2=—

8

又因为AAOEz\EOC

所以，OE=OF

所以，EF=2OE=—

4

y=———x+1

综合练习.：如图所示，直线3分别与x轴、y轴交于B、A两点.

(1)求B、A两点的坐标;

(2)把AAOB以直线AB为轴翻折，点。落在平面上的点C处,以BC为一边作等边

ABCD.求D点的坐标.

y=-—x+=1

答案：（1）令x=0,由'3

4y=0,由y=-—x+=有

：.B点的坐标为(有，0),A点的坐标为(0,1).

(2)由(1)知OB=S',0A=1

,54OA73

二.tonNOBA==—

OB3

-ZOBA=30°

0AABE1AABO关于AB成轴对称

BC=BO=73,ZCBA=ZOBA=30°

ZCBO=60°,

过点c作CM1x轴于M,则在RtABCM中,

CM=BCxsinZCBO=^/3xsin60°=-

2

BM=BCxcosZCBO=色xcos600=当

OM=OB-BM=73--=—

22

c点坐标为

连结oc,

0OB=CB,ZCBO=6O°

ABOC为等边三角形.

过点C作CE〃x轴，并截取CE=BC,则NBCE=60°.

连结BE,则皿CE为等边三角形.

EF=CM=2BF=BM=^

作EFJ.X轴于F,则22.

OF=OB+BF=V3+—=—

22

..点E坐标为邛,令

二点D的坐标为(0,0)或2*2

过关测试

一、选择题

1.下列图形中，是中心对称图形的是)

A.菱形B.等腰梯形C.等边三角形D.等腰直角三角形

3.下列图案中，不是轴对称图形的是

A

ABC

4.下列图形中，旋转60°后可以和原图形重合的是（）

A.正六边形B.正五边形C.正方形D.正三角形

5.在下面四个图案中，如果不考虑图中的文字和字母，那么不是轴对称图形的是（）

B.C.D.

6.下列轴对称图形中，对称轴条数最少的是（）

A.等边三角形B.正方形C.正六边形D.圆

7.下列轴对称图形中，对称轴的条数最少的图形是（）

A.圆B.正六边形C.正方形D.等边三角形

8.下面四个图案中，是旋转对称图形的是（）

A.B.C.D.

9.下列图案属于轴对称图形的是)

®»

A.B.C.D.

10.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）

A.正三角形B.菱形C.直角梯形D.正六边形

12.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A.正六边形B.正五边形C.平行四边形D.等腰三角形

二、填空题

1.如图1,小亮从A点出发，沿直线前进10米后向左转30°,再沿直线前进10米，又向

左转30°,……照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米。

图2

2.如图2用等腰直角三角板画NAO8=45°,并将三角板沿08方向平移到如图所示的虚

线处后绕点M逆时针方向旋转22。，则三角板的斜边与射线OA的夹角a为______

3.如图3,已知RtaABC中，ZC=90°,AC=4cm,BC=3cm,现将aABC进行折叠，使顶点A、

B重合，则折痕DE=cm。

4.如图4,直角梯形ABC。中，AD//BC,AB±BC,AD^2,BC=3,NBCD=45。,

将腰CO以点。为中心逆时针旋转90°至,连结AE,CE,则△AOE的面积

是

5.如图5,在2x2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC,请你找出格纸中所

有与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有个.

图3(图4)

6.如图6,RtZ\ABC中，/B=90°,AB

=3cm,AC=5cm,将aABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE,则

△ABE的周长等于cm.

三、解答题

1.如图,己知0是坐标原点，B、C两点的坐标分别为(3,-1)、(2,1).

(1)以0点为位似中心在y轴的左侧将AOBC放大到两倍(即新

图与原图的相似比为2),画出图形；

(2)分别写出B、C两点的对应点B'、C'的坐标;

(3)如果△(»(:内部一点M的坐标为(x,y),写出M的对应点卡的坐标.

2.如图是规格为8X8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作:

⑴请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为(-2,4),B点坐标为(一4,2)；

⑵在第二象限内的格点上画一点C,使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且

腰长是无理数，则C点坐标是,AABC的周长是(结果保留根号)：

⑶画出aABC以点C为旋转中心、旋转180°后的AA'B'C,连结AB'和A'B,试说出四

边形ABA'B'是何特殊四边形，并说明理由.

3.在平面直角坐标系中，直线/过点M(3,0),且平行于y轴.

(1)如果448(：三个顶点的坐标分别是八(-2,0),B(-l,0),C(-l,2),aABC关于y轴的

对称图形是△AKi关于直线/的对称

图形是△A2B2C1,写出AAzB2cl的三个顶点的坐标;

(2)如果点P的坐标是(一a,0),其中点P关于

y轴的对称点是《，点4关于直线/的对称点是巴，

求尸鸟的长.

4.如图，△ABC中A(—2,3),B(-3,l),C(—L2).

(1)将△ABC向右平移4个单位长度，

画出平移后的△A4G；

⑵画出△A5C关于％轴对称的；

(3)将AABC绕原点。旋转180°,画出旋转后的△4与03；

⑷在△A4G，△&与。2，AA383G中，

△与4_____成轴对称，对称轴是一_；

△与^成中心对称，对称中心的坐标是—

5.如图，在平面直角坐标系中，点4B,C,P的坐标分别为

(0,2),(3,2),(2,3),(1,1).

⑴请在图中画出△AB'C,使得△AB'C与△ABC关于点P成中心对称；

(2)若一个二次函数的图象经过(1)中△A'5'C'的三个顶点，求此二次函数的关系式.

6.在平面内，先将一个多边形以点。为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对

应线段的比为女，并且原多边形上的任一点P,它的对应点P'在线段OP或其延长线上；

接着将所得多边形以点。为旋转中心，逆时针旋转一个角度0,这种经过和旋转的图形变

换叫做旋转相似变换，记为。(匕6),其中点。叫做旋转相似中心，女叫做相似比，。叫

做旋转角.

(1)填空：

①如图1,将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60。,

得到△AOE,这个旋转相似变换记为A(,)；

②如图2,ZXABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A(G，90°),得

到△AOE,则线段BD的长为cm；

(2)如