浅谈微分方程在经济学中的应用

浅谈微分方程在经济学中的应用

为了研究经济变量之间的关系及其内在规律，有必要建立满足特定经济函数及其导数的关系公式，并确定研究的函数形式，并根据一些已知条件确定函数表。从数学上讲,这就是建立微分方程并求解微分方程。一阶微分方程的应用模型很多,尤其是微分方程在经济学中的应用,下面通过4个方面举例说明一阶微分方程在经济学中的应用。1平衡乘子法例1某商品的需求函数与供给函数分别为Qd=a-bP,Qs=-c+dP,(其中a,b,c,d均为正常数)。假设商品价格P为时间t的函数,已知初始价格P(0)=P0,且在任一时刻t,价格P(t)的变化率总与这一时刻的超额需求Qd-Qs成正比(比例常数为k>0)。(1)求供需相等时的价格Pe(均衡价格);(2)求价格P(t)的表达式;(3)分析价格P(t)随时间t的变化情况。解(1)由Qd=Qs得Ρe=a+cb+dPe=a+cb+d。(2)由题意可知dΡdt=k(Qd-Qs)(k>0)dPdt=k(Qd−Qs)(k>0)将Qd=a-bP,Qs=-c+dP代入上式,得dΡdt+k(b+d)Ρ=k(a+c)(1)dPdt+k(b+d)P=k(a+c)(1)解一阶非齐次线性微分方程,得通解为Ρ(t)=Ce-k(b+d)t+a+cb+dP(t)=Ce−k(b+d)t+a+cb+d由P(0)=P0,得C=Ρ0-a+cb+d=Ρ0-ΡeC=P0−a+cb+d=P0−Pe,则特解为P(t)=(P0-Pe)e-k(b+d)t+Pe。(3)讨论价格P(t)随时间t的变化情况。由于P0-Pe为常数,k(b+d)>0,故当t→+∞时,(P0-Pe)e-k(b+d)t→0,从而P(t)→Pe(均衡价格)(从数学上讲,显然均衡价格Pe即为微分方程(1)的平衡解,且由于limt→+∞Ρ(t)=Ρelimt→+∞P(t)=Pe,故微分方程的平衡解是稳定的)。由P0与Pe的大小还可以分为3种情况进一步讨论:(a)若P0=Pe,则P(t)=Pe,即价格为常数,市场无需调节达到均衡;(b)若P0>Pe,因为(P0-Pe)e-k(b+d)t总是大于0且趋于0,故P(t)总大于Pe而趋于Pe;(c)若P0<Pe,则P(t)总是小于Pe而趋于Pe。由以上讨论可知,在价格P(t)的表达式中的2项:Pe为均衡价格,而(P0-Pe)e-k(b+d)t就可理解为均衡偏差。2u3000d2:kt例2假设某产品的销售量x(t)是时间t的可导函数,如果商品的销售量对时间的增长率dxdtdxdt与销售量x(t)及销售量接近于饱和水平的程度N-x(t)之积成正比(N为饱和水平,比例常数为k>0),且当t=0时,x=14Νx=14N。(1)求销售量x(t);(2)求x(t)的增长最快的时刻T。解(1)由题意可知dxdt=kx(Ν-x)(k>0)(2)dxdt=kx(N−x)(k>0)(2)分离变量,得dxx(Ν-x)=kdtdxx(N−x)=kdt,两边积分,得xΝ-x=CeΝktxN−x=CeNkt,解出x(t),得x(t)=ΝCeΝktCeΝkt+1=Ν1+Be-Νkt(3)x(t)=NCeNktCeNkt+1=N1+Be−Nkt(3)其中B=1CB=1C,由x(0)=14Νx(0)=14N得B=3,故x(t)=Ν1+3e-Νktx(t)=N1+3e−Nkt(2)由于dxdt=3Ν2ke-Νkt(1+3e-Νkt)2‚d2xdt2=-3Ν3k2e-Νkt(1-3e-Νkt)(1+3e-Νkt)3dxdt=3N2ke−Nkt(1+3e−Nkt)2‚d2xdt2=−3N3k2e−Nkt(1−3e−Nkt)(1+3e−Nkt)3令d2xdt2=0d2xdt2=0,得Τ=ln3Νk。当t<T时,d2xdt2>0;t>T时,d2xdt2<0。故Τ=ln3Νk时,x(t)增长最快。3dytd1:t例3在宏观经济研究中,发现某地区的国民收入y,国民储蓄S和投资I均是时间t的函数。且在任一时刻t,储蓄额S(t)为国民收入y(t)的110倍,投资额I(t)是国民收入增长率dydt的13倍。t=0时,国民收入为5(亿元)。设在时刻t的储蓄额全部用于投资,试求国民收入函数。解由题意可知S=110y‚Ι=13dydt由假设,时刻t的储蓄全部用于投资,那么S=I,于是有110y=13dydt,解此微分方程得y=Ce310t,由y|t=0=5,得C=5。故国民收入函数y=5e310t,而储蓄函数和投资函数为S=Ι=12e310t。4计算存储费用与时间t的函数关系例4某商场的销售成本y和存储费用S均是时间t的函数,随时间t的增长,销售成本的变化率等于存储费用的倒数与常数5的和,而存储费用的变化率为存储费用的-13倍。若当t=0时,销售成本y=0,存储费用S=10。试求销售成本与时间t的函数关系及存储费用与时间t的函数关系。解由已知dydt=1S+5(4)dSdt=-13S(5)解微分方程(5)得S=Ce-t3,由s|t=0=10得C=10,故存储费用与时间t的函数关系为S=10e-t3,将上式代入微分方程(4),得dydt=110et3+5,从而y=310