关于smarnnech可乘函数的均值性质

关于smarnnech可乘函数的均值性质

简单数的使用对于任何正整数n和smaradach，f（n）可乘数函数，即f（ab）=max（f（a）、f（b）、（a，b）=1。对任意素数p及任意正整数α,我们取定f(pα)=αp。显然,如果n的标准分解式为n=p1α1p2α2p3α3…pkαk,我们就得到f(n)=max{f(piαi)}=max{αipi}在文献中,对任意的n∈N+,如果n的真因子的乘积不超过n,就称n为简单数。记A为简单数集合,即A={2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,13,14,15,17,19,21,…}.JozsefSandor关于Smarandache可乘函数的性质作出了一定的研究,但对Smarandache可乘函数的均值性质,特别是在一些特殊集合中的均值性质我们还知之甚少。本文的主要目的是利用初等方法研究Smarandache可乘函数在简单数集中的均值性质,并给出一个有趣的渐近公式。具体说也就是证明下面的:定理对任意实数x≥2,A表示所有由简单数构成的集合。我们有渐近公式:∑n≤xn∈Af(n)=D1x2lnx+D2x2ln2x+2xlnx+9x232lnx+Ο(x2ln3x)‚其中D1,D2为可计算的常数。1有“n”还是“p”为了完成定理的证明,我们需要引入下面两个简单引理,首先有引理1设n∈A,则我们有n=p,或n=p2,或n=p3,或n=pq四种情形。这里p,q是不同的素数。证明首先我们定义:pd(n)=∏d|nd以及qd(n)=∏d|n,d＜nd。利用pd(n)的定义,我们有pd(n)=∏d|nd,以及pd(n)=∏d|nnd,结合这两个式子,可得(pd(n))2=∏d|nn=nd(n)其中d(n)是除数函数,即:d(n)=∑d|n1,从而可得pd(n)=nd(n)2以及qd(n)=pd(n)n=nd(n)2-1(1)由于n是简单数,则有qd(n)≤n,结合式(1)我们有nd(n)2-1≤n从而d(n)≤4利用d(n)的定义我们容易得到n=p,或n=p2,或n=p3,或n=pq四种情形。于是完成了引理1的证明。引理2设x≥3,p,q是两个不同的素数。我们得到∑p≤xp=12x22lnx+14x24ln2x+Ο(x2ln3x);∑pq≤xp=C1x2lnx+C2x2ln2x+Ο(x2ln3x),其中C1,C2为两个可计算的常数。证明注意到π(x)=xlnx+xln2x+Ο(xln3x),根据Abel恒等式,我们得到∑p≤xp=π(x)x-∫1xπ(t)dt=x2lnx+x2ln2x+Ο(x2ln3x)-∫2xtlntdt-∫2xtln2tdt+Ο(∫2xtln3tdt)=x2lnx+x2ln2x+Ο(x2ln3x)-12x2lnx-34x24ln2x+Ο(∫2xtln3tdt)=12x2lnx+14x24ln2x+Ο(x2ln3x)另一方面,我们知道当x<1,就可以得到11-x=1+x+x2+x3+⋯+xm+⋯,因此∑p≤xp∑q≤x/p1=∑p≤xp((xp)(lnx-lnp)+(xp)(lnx-lnp)2+Ο((xp)(lnx-lnp)3))=xlnx∑p≤x(1+lnplnx+ln2pln2x+⋯+lnmplnmx+⋯)+xln2x∑p≤x(1+2lnplnx+⋯+mlnm-1plnm-1x+⋯)+Ο(∑p≤xxln3xp)=B1x32ln2x+B2x32ln3x+Ο(x32ln4x)(2)上式记为(2)式,其中B1,B2为两个可计算的常数。利用同样的方法,我们可以得到∑q≤x1∑p≤x/qp=∑q≤x((xq)22(lnx-lnq)+(xq)24(lnx-lnq)2+Ο((xq)2(lnx-lnq)3))=x22lnx∑q≤x1q2(1+lnqlnx+ln2qln2x+⋯+lnmqlnmx+⋯)+x24ln2x∑q≤x1q2(1+2lnqlnx+⋯+mlnm-1qlnm-1x+⋯)+Ο(∑q≤xx2q2ln3xq)=x22lnx∑q1q2+x2ln2x(12∑qlnqq2+14∑q1q2)+Ο(x2ln3x)(3)上式记为(3)式,则根据式(2)及式(3),我们有∑pq≤xp=∑p≤xp∑q≤x/p1+∑q≤x1∑p≤x/qp-(∑p≤xp)(∑q≤x1)=C1x2lnx+C2x2ln2x+Ο(x2ln3x)其中C1,C2为两个可计算的常数。于是完成了引理2的证明。2xnnafn、pxp2mxp、混合式4.2xp现在我们给出定理的证明。事实上,根据引理1及引理2我们立即可以得到,∑n≤xn∈Af(n)=