自相关过程由时间序列模型ar1描述时残差控制图对检测能力的分析

自相关过程由时间序列模型ar1描述时残差控制图对检测能力的分析

如果传统的质量控制图用于自相关过程，则控制图的监控功能将受到很大影响。若过程自相关性可以用模型完全解释,过程的残差是相互独立的,可对残差应用传统控制图进行管理。由于过程自相关的特点,残差控制图检测过程均值变化的能力与传统控制图呈现很大不同。笔者应用信噪比和平均平行链长方法,分析AR(1)过程残差控制图对均值变化的检测能力,并比较了残差Shewhart和残差EWMA控制图的检测能力。1残差序列控制假设质量过程服从AR(1)模型:依时间序列理论,随机变量y的方差为则预测值yˆy^t按误差平方最小估计为式中,μ、ϕ是AR(1)过程参数,过程处于稳态时,有样本可以进行估计。残差定义为很显然,残差的均值为0,标准差为σε,满足独立同(正态)分布。对残差序列可用Shewhart控制图,也可以用EWMA控制图方法进行管理。Shewhart型残差控制图的控制限为残差EWMA统计量wt=ue84aSymbollApet+(1-ue84aSymbollAp)wt-1,0<ue84aSymbollAp<1。EWMA型残差控制图的控制限为如果在T时刻过程由于特殊原因使yt的均值E(yt)发生偏移δσy,残差序列{et}模型为由此可见,过程均值在T时刻偏移δσy时,自相关过程很快适应变化,在t>T时,残差均值变为E(et)=(1-ϕ)δσy。如果ϕ>0时,过程均值的偏移只有部分反映在残差序列中,残差控制图的检测能力会下降;如果ϕ<0时,过程均值的偏移被放大,残差控制图的检测能力会增加。2arma控制图设计方案信噪比(signal/noise,SN),原是电声学领域中的一个概念,指声音源产生最大不失真声音信号强度与同时发出噪音强度之间的比,简称信噪比。近年来,信噪比被广泛应用于各个领域,在质量控制领域,信噪比有广泛的应用。Jiang等在ARMA控制图的设计中引入暂态信噪比RT和稳态信噪比RS,并提出根据信噪比来选取控制统计量ARMA中的参数,使ARMA控制图有很强的灵活性;在稳健设计中,信噪比被用以度量产品质量特性稳健程度的指标,可用R=μ/σ表示。对残差控制图,其信噪比可定义如下:如果过程在T时刻发生偏移,则残差控制图在时刻t(t≥T)的信噪比为AR(1)模型时,由式(7)～式(9)可得残差Shewhart控制图的信噪比为信噪比与过程参数ϕ及偏移量δ有关,称Rr(T)为暂态信噪比;Rr(∞)为稳态信噪比。过程在T时刻发生偏移时,残差EWMA控制图的统计量wt的均值变为AR(1)模型时,由式(12)～(14)可得残差EWMA控制图的信噪比为信噪比不仅与过程参数ϕ、偏移量δ有关,还与控制图系数ue84aSymbollAp有关,称Rw(T)为暂态信噪比;Rw(∞)为稳态信噪比。由公式(16),信噪比Rw(t)极限值为3控制图检测能力评价平均运行长度(AverageRunLength,ARL)作为评价控制图检测能力的指标在学术界和实际工作中广泛采用,是从总体平均的角度评价控制图的检测能力。信噪比R(t)反映控制图在各观测点检出的概率,通过研究信噪比的变化趋势,可了解控制图检测均值变化能力。3.1过程相关参数与残差控制图随的变化根据公式(10)及式(11),绘制不同过程参数下的信噪比如图1所示。图1表明,|ϕ||ϕ|相同时,暂态信噪比Rr(T)相同。ϕ>0时,Rr(T)>Rr(∞);ϕ<0时,Rr(T)<Rr(∞),这主要由自相关过程特性造成。当ϕ>0时,Rr(T)与过程参数ϕ成正比,而Rr(∞)与过程参数ϕ成反比,即过程参数ϕ越大,信噪比Rr(t)衰减得越快。过程均值小偏移时,若控制图不能通过Rr(T)检测出过程的偏移,则在以后时刻检测出偏移的可能性越小,导致残差控制图随ϕ的增加,ARL值逐渐增大。过程均值大偏移时,Rr(T)在检测大偏移时起关键作用。对Shewhart控制图若采用3σ控制方式,当信噪比R=4、5时,控制图有84.1%、97.7%的概率立即报警。当ϕ≥0.8时,在δ=3的偏移下,均有Rr(T)≥5。故随ϕ的增大,控制图检测大偏移的能力变强,控制图的ARL值变小。当ϕ<0时,Rr(T)、Rr(∞)与过程参数|ϕ||ϕ|成正比,因此,|ϕ||ϕ|越大,Shewhart残差控制图检测能力越强,ARL会减少。由上述信噪比的特性,推知ARL性能,可从ARL的模拟结果中得到认证。本文对残差控制图ARL计算,采用随机模拟法,模拟次数为10000。表1的数据显示:在ϕ>0时,残差控制图ARL随着模型参数ϕ越大而增加;当0.8≤ϕ<1,过程大偏移情况下,这时ARL随着模型参数ϕ增加而减小;在ϕ<0时,失控状态下残差控制图的ARL会随着模型数|ϕ||ϕ|的增加而逐渐趋于理想状态。3.2残差ewma控制图参数的确定根据公式(15)～式(17),可绘制控制图参数ue84aSymbollAp相同时,信噪比变化(如图2所示)及过程参数ϕ相同时,信噪比变化(如图3所示)。图2和图3表明:控制图参数ue84aSymbollAp相同时,|ϕ||ϕ|越大,暂态信噪比Rw(T)亦越大,而稳态信噪比Rw(∞)随ϕ的增大而减小。过程参数ϕ相同时,控制图参数ue84aSymbollAp越大,暂态信噪比Rw(T)亦越大,而稳态信噪比Rw(∞)随ue84aSymbollAp增大而减小。过程均值发生偏移后,信噪比Rw(t)的变化分成3种趋势:1)ϕ<1-ue84aSymbollAp时,Rw(t)单调增加,收敛于稳态信噪比Rw(∞);2)ϕ=1-ue84aSymbollAp时,Rw(t)不变,Rw(∞)=Rw(T)=δ;3)ϕ>1-ue84aSymbollAp时,Rw(t)单调减少,收敛于稳态信噪比Rw(∞)。当ϕ<0时,残差EWMA控制图参数ue84aSymbollAp均满足ue84aSymbollAp<1-ϕ,Rw(t)单调增加,信噪比的变化趋势有利于控制图检测均值偏移。因此,失控状态下残差控制图的ARL会随着模型参数ϕ与ue84aSymbollAp的减小而逐渐趋于理想状态。当ϕ>0时,残差EWMA控制图参数应选择在ue84aSymbollAp<1-ϕ范围内,使Rw(t)单调增加。根据Rw(t)的性质,若减小系数ue84aSymbollAp,Rw(∞)增大,对T时刻以后检测均值小偏移有利;但因Rr(T)减小,对T时刻检测偏移不利(尤其是大偏移)。因此,要综合考虑Rw(∞)及Rr(T),来选择控制图参数ue84aSymbollAp。当0<ϕ<0.8,如图4所示,即使ue84aSymbollAp=0.2,暂态信噪比Rw(T)<3,T时刻检出偏移的可能性也不大。因此,Rw(∞)在检测偏移时起主要作用,ue84aSymbollAp越小,Rw(∞)越大,对T时刻后检测偏移越有利。但若ue84aSymbollAp选择太小(ue84aSymbollAp=0.05),即使大偏移δ=5时,暂态值Rw(T)<2.6(如图5所示),对T时刻检测大偏移不利。因此,推荐ue84aSymbollAp=0.1,在T时刻以及后续时刻都有适宜的检出能力。当0.8≤ϕ<1时,控制图系数ue84aSymbollAp不同时,Rw(T)差异很大(如图4所示)。增加ue84aSymbollAp,则在T时刻检测过程大偏移时很敏感,ARL较小。但同时Rw(∞)变小,对检测过程均值的小偏移不利,ARL较大。表2为ϕ=0.9时,不同系数ue84aSymbollAp下的ARL,综合考虑控制图检测偏移的能力,适宜的控制图参数ue84aSymbollAp=0.1。表3的数据更详细阐明残差EWMA控制图的ARL特性:在ϕ>0时,ARL随着模型参数ϕ增大而增加;当0.8≤ϕ<1,过程大偏移情况下,ARL随着模型参数ϕ增加而减小;在ϕ<0时,ARL会随着模型数|ϕ||ϕ|的增加而逐渐趋于理想状态。这与从信噪比变化趋势得出的ARL特性相一致。3.3残差控制图筛选ϕ<0时,残差Shewhart与残差EWMA控制图的信噪比变化趋势,对检测过程均值偏移很有利,2种控制图的ARL性能良好。对过程均值大偏移,容易在T时刻检出,所以暂态信噪比起关键作用;对过程均值小偏移,在T时刻检出的概率低,所以稳态信噪比起关键作用。因,故残差EWMA控制图检测大偏移的能力小于残差Shewhart控制图,偏移δ≥2时,残差EWMA控制图的ARL略大。T时刻以后,因,故残差EWMA控制图检测小偏移的能力大于残差Shewhart控制图,残差EWMA控制图的ARL偏小。综上所述,可以根据偏移量的大小来选择残差控制图,但推荐Shewhart型残差控制图,既可以获得较好的ARL性能,又减少了EWMA作图的烦琐。ϕ>0时,残差Shewhart控制图的信噪比变化趋势不利于检出,而平滑系数选择在0.1≤ue84aSymbollAp≤1-ϕ的残差EWMA控制图能显著改善信噪比的变化趋势,有利于检出。故使用残差EWMA控制图代替残差Shewhart控制图,只是在0.8≤ϕ<1时,大偏移δ≥3时检测能力有些逊色于Shewhart型残差控制图。4ewma型残差控制图检测由于自相关过程的特性,过程均值发生偏移时,残差Shewhar控制图与残差EWMA控制图表现出不同的信噪比特性。通过信噪比变化趋势的分析,可粗略指示残差控制图的检测能力,并得到残差EWMA控制图适宜的参数为0.1≤ue84aSymbollAp≤1-ϕ。通过2种残差控制图信噪比的对比分析,结果表明:当ϕ<0时,残差Shewhart和残差EWMA控制图的检测过程均值偏移的ARL性能都很好,EWMA型残差控制图对小偏移的ARL小于Shewhart型残差控制图,对大偏移δ≥2的ARL大于Shewhart型残差控制图。但还是推荐选择Shewhrt型残差控制图,既可以