2021一模解答题解析几何

【第一组】宝山

20.已知片、居分别为椭圆「：?+：/=1的左、右焦点，例为「上的一点.

(1)若点〃的坐标为(1,小)(相>0),求△耳咽的面积；

(2)若点M的坐标为(0,1),且直线>=自一,(ZeR)与「交于两不同点A、B,

求证：加月为定值，并求出该定值；

(3)如图，设点A/的坐标为(s,f),过坐标原点。作圆V:(x-s)2+(y-/尸=，(其中r

为定值，0<r<1,且|s|Hr)的两条切线，分别交「于点P、Q,直线QP、OQ的斜率

分别记为勺、k2,如果左他为定值，试问：是否存在锐角。，使得2IOPHOQ如5-sec6?

若存在，试求出。的一个值；若不存在，请说明理由.”

【第二组】崇明

丫2

20.已知椭圆「：二+V=1的左右顶点分别为A、B,P为直线x=4上的动点，直线由

4,

与椭圆「的另一交点为C,直线依与椭圆「的另一交点为D.

(1)若点C的坐标为(0,1),求点尸的坐标；

(2)若点尸的坐标为(4』)，求以8。为直径的圆的方程；

(3)求证：直线CD过定点.

【第三组】虹口

20.已知点4一1,0)、5(1,0),直线/:℃+勿+c=0(其中a,仇ceR),点P在直线/上.

(1)若a、b、c是常数列，求|P3|的最小值；

(2)若。、。、c是成等差数列，且P4JJ,求|PB|的最大值；

(3)若a、b、c是成等比数列，且R4_U,求|PB|的取值范围.

AOBx

【第四组】普陀

is.双曲线r：蓝-'=1的左、右焦点分别为耳、F2,直线/经过F2且与r的两条渐近线

中的一条平行，与另一条相交且交点在第一象限.

(1)设尸为「右支上的任意一点，求|2耳|的最小值；

(2)设。为坐标原点，求。到/的距离，并求/与「的交点坐标.

【第五组】长宁

18.设抛物线r：y2=4x的焦点为F,直线-〃=0经过尸且与「交于A、B两点.

(1)若［45|=8,求〃?的值；

(2)设。为坐标原点，直线AO与「的准线交于点C,求证：直线平行于x轴.

【第六组】徐汇

22

18.设椭圆+二=1（帆＞0）的两个焦点分别为是耳、居，〃是椭圆上任意一点,

nr+1nr'2

△耳Mg的周长为2+2JL

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆在y轴负半轴上的顶点5及椭圆右焦点F2作一直线交椭圆于另一点N,

求/耳松的大小（结果用反三角函数值表示）.

【第七组】闵行

22

20.已知椭圆「：「+二=1(&>〃>())过点(0,2),其长轴长、焦距和短轴长三者的平

ab~

方依次成等差数列，直线/与x轴的正半轴和y轴分别交于点。、P,与椭圆「相交于两点

M、N,各点互不重合，且满足P必=4知。，PN=^2NQ.

(1)求椭圆「的标准方程；

(2)若直线/的方程为y=—x+l,求;+?的值；

(3)若4+4=-3,试证明直线/恒过定点，并求此定点的坐标.

【第八组】青浦

20.已知动点用到直线x+2=0的距离比到点尸(1,0)的距离大1.

(1)求动点用所在的曲线C的方程；

(2)已知点P(l,2),A、8是曲线C上的两个动点，如果直线P4的斜率与直线P8的斜

率互为相反数，证明直线AB的斜率为定值，并求出这个定值；

(3)已知点P(l,2),A、8是曲线C上的两个动点，如果直线Q4的斜率与直线P8的斜

率之和为2,证明：直线4?过定点.

【第九组】嘉定

20.在平面直角坐标系xQy中，已知椭圆「：二+[=1（。〉力＞0）的长轴长为6,且经过

Q-b~

点。§,6），A为左顶点，8为下顶点，椭圆上的点F在第一象限，PA交y轴于点C，PB

交x轴于点D.

（1）求椭圆「的标准方程；

（2）若。月+20^=6,求线段AP的长；

（3）试问：四边形A8DC的面积是否为定值?

若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

【第十组】浦东

2

20.已知椭圆G:1+y2=1,F「居为C1的左、右焦点.

（1）求椭圆G的焦距；

（2）点。（四,学）为椭圆G一点，与OQ平行的直线/与椭圆G交于两点A、B,

若△Q45面积为1,求直线/的方程；

（3）已知椭圆C,与双曲线。2：/一V=1在第一象限的交点为），椭圆孰和双曲

线C2上满足|x|>|X,”|的所有点（x,y）组成曲线C,若点N是曲线C上一动点，求NR-NF2

的取值范围.

【第十一组】杨浦

20.设A、4分别是椭圆r：「+y2=1(a>1)的左、右顶点，点3为椭圆的上顶点.

a~

(1)若A滴•4月=—4,求椭圆「的方程；

(2)设。=应，居是椭圆的右焦点，点Q是椭圆第二象限部分上一点，若线段尸2。的

中点M在y轴上，求的面积；

(3)设a=3,点P是直线x=6上的动点，点。和。是椭圆上异于左右顶点的两点，

且C、。分别在直线班和时上，求证：直线8恒过一定点.

【第十二组】松江

22

20.已知椭圆「二+与=1的右焦点坐标为(2,0),且长轴长为短轴长的正

ab"

倍，直线/交椭圆「于不同的两点M和N.

(1)求椭圆「的方程；

(2)若直线/经过点P(0,4),且△OMN的面积为2血，求直线/的方程；

(3)若直线/的方程为y=fcv+r(人工0)，点M关于x轴的对称点为直线MN、

分别与x轴相交于P、。两点，求证：|OP|“OQ|为定值.

【第十三组】金山

20.已知点尸在抛物线C：V=4x上，过点P作圆M:(x—3)2+y2=/(0<r<V2)的

两条切线，与抛物线C分别交于A、B两点，切线R4、PB与圆〃分别相切与点E、F.

(1)若点P到圆心"的距离与它到抛物线C的准线的距离相等，求点P的坐标；

(2)若点P的坐标为(1,2),且「=&时，求在•尸户的值：

(3)若点P的坐标为(1,2),设线段AB中点的纵坐标为f,求/的取值范围.

【第十四组】静安

16.如图所示，定点尸到定直线/的距离板=3.动点尸到定点尸的距离等于它到定直线

/距离的2倍.设动点P的轨迹是曲线

（1）请以线段M尸所在的直线为x轴，以线段上的某一点为坐标原点0,建立适当的

平面直角坐标系xQy,使得曲线「经过坐标原点0,并求曲线「的方程；

（2）请指出（1）中的曲线「的如下两个性质：①范围；②对称性.并选择其一给予证明.

（3）设（1）中的曲线「除了经过坐标原点0,还与x轴交于另一点C,经过点尸的直线

加交曲线「于A、8两点，求证：C41CB.

【第十五组】黄浦

222r2

20.定义：已知椭圆二+二=1(a>b>0),把圆d+y2=-^r称为该椭圆的协同

a~b~。+。~

22

圆，设椭圆C:二+匕=1的协同圆为圆O(O为坐标系原点)，试解决下列问题：

42

(1)写出协同圆圆。的方程；

(2)设直线/是圆。的任意一条切线，且交椭圆C于A、B两点,求。4•。分的值；

(3)设M、N是椭圆C上的两个动点，且过点。作O〃_LA/N,交直线

MN于-H点、,求证：点H总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.

【第一组】

20.(1)m=—fS=-；(2)定值为0；(3)不存在.

22

【第二组】

20.(1)P(4,3)；(2)(x-l)2+(y+1)2=|；(3)(1,0).

【第三组】

20.(1)V2；(2)P的轨迹％2+(>+1)2=2,最大值2vL(3)(l,+oo).

【第四组】

4127

18.(1)9；(2)

1040

【第五组】

18.设A(X1,y),B(x2,y2),

(1)F(l,0),得：n=l,……2分

直线/的方程X=")，+1代入>2=4x得：y2-4tnyx-4=0,

，X+>2=4〃2，%%二-4，...4分

22

IAB|=^Xt-x2)+(yt-y2)=&府+D((y+一盯%)=4(加？+1)=8,

m=±l....7分

(2)抛物线V=4x的准线方程为工二一1,……8分

设C(—l,%)，由04的方程为〉=工工得：%=—-巴，……11分

王斗X

4

由(1)知：y}y2=-4,即必=----，...13分

3c平行于工轴・....14分

【第六组】

gA

18.(1);——Fy2=1；(2)arccos—.

2.5

【第七组】

x2y2Q

20.(1)一+2-=1；(2)--；(3)(2,0).

124

【第八组】

20.(1)已知动点〃到直线x+2=0的距离比到点尸(1,0)的距离大1,等价于动点用到直

线x=T的距离和到点F(l,0)的距离相等，

由抛物线的定义可得曲线C的方程为丁=4x.

(2)设直线Q4的斜率为左，

•.•直线Q4的斜率与直线依的斜率互为相反数，，直线依的斜率为-％,

则/PA:y—2=k(x—1),IpB:y—2=—/r(x—1),

[y—2=k(x—l)

《二n6?一一4%+8=o或M7x??-(2k2?-4k+4)x+(2—幻9？二。，

[y=4x

(2-k}24-2*

即+(24-4)](y-2)=0,A可得AQ------)，

k~k

y—2=-k(x-1)

,n砂？+4y—4左一8=()或％2为2—(2女2+4k+4)x+(左+2)2=0,

{y=4x

即[炒+Qk+4)](y-2)=0,二可得B(^(~?+JkV-,---A---?-k)，

k-k

-4-2k4-2k

/.kAB=—J----J=—l,即直线AB的斜率为定值—1.

2

AB(2+k)(2-左了

nee~

(3)设直线24的斜率为Z,...直线依的斜率为2-Z,

则/小：y—2=k(x—1),IPR:y—2=—k{x—1),

y-2=左(x—l)

n妙?一4y-4%+8=0,

y2=4x

。一“)2A_Dk

即出+Qk-4)](y-2)=0,/.可得A(，J,——),

kk

j-2=(2-^)(x-l))

同理得：《，=(2—左»2一4旷+4左=0,

y=4x

k22k

即[(2-k)y-2kKy-2)=0,可得,

9(2-k)2-k

2k4-22

2-k^k_k(k-2)

k2(2-A:>一二―2Z+2

(2-k)2le~

.,2kk(k-2).k2.k(k-2)

••l-y------=—；--------(x-------7)y=(x+1),

A"R-2-kk2-2k+2Q—左)k2-2k+2

直线AS恒过(-1,0).

【第九组】

20.（1）三+二=1；（2）AP=配叵；（3）四边形ABCD的面为定值6.

945

【第十组】

20.(1)273；(2)y=-x±l；(3)[--,+oo).

'25

【第十一组】

20.(1)4(一兄0)，&(。，0)，8(0,1)，……1分

UUUUUL1UUllUUU

AB=(a,l),AB==—/+l=—4,解得：a2=5,……3分

2

即椭圆r的方程为三+V=1..........4分

5

2

(2)椭圆的方程为]+丁=1,由题意工(1,0)...........6分

设。（々，为），由线段入。的中点在y轴上，xQ=-\t

代入椭圆方程得：“=¥，即。（一1，］），……8分

SvF/0=Svg”+Svp0M=（（1一日）,2=1一手.....1

771

（3）证明：由题意4（—3,0）,4（3,0）,设点尸的坐标为（6,加），直线班：y=—（X+3），

9

与椭圆方程联立消去y得：（9+m2）/+6病犬+9〉-81=0,……12分

-3，/+273m2-3-2m

由韦达定理％=c（串偌）‘同理a），…14分

9+m2l+/n21+m2

当左=/，即二3"+27=3〃厂三3,即加2=3时，直线CO方程为x=』,15分

9+m21+m22

-2m4m3m2-3

当％w时,直线CO:y-3(3-小2)(入-1+病

1+m2

4"？33

化简得：丁=房%(》—$，恒过点(=,())，16分

3(3-m)22

综上：直线CO恒过点g,0).

【第十二组】

20.(1)由题意得：a=y/2b,a2—b1=4,...2分

22

解得：a=20,人=2,J椭圆「的方程为土+匕=1..........4分

84

(2)设点/、N的坐标为时区,%)、N(%,%)，直线/的方程为丁=丘+4,......5分

y=履+4

由方程组42?得：(1+2&2)尤2+16kx+24=0,

X-1

84

.16k24

•.-E'7分

SVOMN=；•4•IN-々I=2依+々)2-4中2=8，:2及，解得:

2

・•・直线/的方程为'=±*士x+4..........10分

(3)由题意知：M'点的坐标为y),……11分

22

将》=履+，代入二+匕=1得：(2k2+l)x2+4ktx+2r-8=0,

84

.4kt2厂一8t

..x.+x=-------7,x,x=------,y+必=4(用+/)+2£=--——，..

91+2及21-71+2二721272公+]

对于直线丁=履+/，令y=()得：x——,|OP|=|—...14分

kk

对于直线〃TV：y—力=①土工"一》2),

'X2f

令y=()得：*=一)，2("内)+0=]%+/%=X|(5+f)+X2(3+f)

%+乂%+乂

_2kx{x24-r(x)+^2)_3k

8*t8/

--\OQ\=\——I，|OP|-|C)eH--|l——1=8.16分

tkt

【第十三组】

20.解：(1)设点P的坐标为(x,y),

y2=4xx=2x=2

则《，解得/-或.3分

[y=2夜」=-2忖

J(x-3)2+y2=U+H

即点P的坐标为(2,2&)或(2,-2近)；..................4分

(2)当点尸的坐标为(1,2),且r=J5时，收|=J(l—3)2+22=2&,…6分

在直角三角形尸ME中，|PE|=病友=#，且NMPE=30°,.....7分

同理，|PP|=遍，且ZMPE=30°,................8分

从而而•所引噌而|cos/EPF=&xJ^xcos6()°=3；.....9分

(3)由题意知切线24、/>8的斜率均存在且不为零,

设切线方程为y—2=-x—1),……10分

由甲+2I.=r,得(4一产)父+8Z+4一尸=0,

,,8

k\+k2=~~~

记切线24、PB的斜率分别为占、k2,贝心r—4，12分

=1

由于切线抬、PB的方程分别为y—2=仁。一1)、y-2=k2(x-l),

v2=4尤,

联立，消去x,得4/一4^+8-4占=(),

y-2=kt(x-l)

44

设A(%，x)、B(x2,y,),则2+y=丁，故--2,

&&

4

同理，y2-----2)...........................14分

k2

于是,=臂十/2=,一2=号一2/10,—6),

即/的取值范围是［-10,-6).16分

【第十四组】

16.解：（1）在线段ME上取点0,使得0/=2加0,以点。为原点，以线段所在

的直线为x轴建立平面直角坐标系xOy.（2分）

设动点P的坐标为（x,y）,则有M（—1,0）,

尸（2,0）,由题意，有1A

----r

7（X-2）2+/=2|X+1|,\

整理得：3x2+Ux-y2=0.①（4分）'\、

~M~F->X

（2）①范围：xNO或x<-4,曲线r

位于直线x=0与x=T两侧.（1分）

②对称性：

曲线「关于y=0成轴对称；（1分）

曲线「关于％=-2成轴对称；（1分）

曲线「关于（一2,0）成中心对称.（1分）

范围证明：

3（x+2）2-V=设，3（x+2）2=/+12>12.