2023年北京重点校初一（下）期中数学汇编：观察、猜想与证明章节综合

第1页/共1页2023北京重点校初一（下）期中数学汇编观察、猜想与证明章节综合一、单选题1．（2023春·北京海淀·七年级清华附中校考期中）如图，直线与直线相交于点，，且平分，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）下列命题是假命题的是（

）A．如果，，那么B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则同位角必相等C．垂直于同一直线的两直线平行D．如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除3．（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）如图，，下列条件可以证明的是（

）．①；②；③；④．A．②③④ B．①② C．②④ D．②4．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）下列命题中，是假命题的是（

）A．点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．平行于同一条直线的两条直线也互相平行D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补5．（2023春·北京大兴·七年级统考期中）如图，相交于点O，，，有如下四个结论：①；②；③；④．上面结论中，所有正确结论的序号是(

)A．①② B．①②④ C．①②③ D．①②③④6．（2023春·北京大兴·七年级统考期中）如图，下列结论正确的是(

)A．与是对顶角 B．与是同位角C．与是同旁内角 D．与是内错角7．（2023春·北京西城·七年级北京十五中校考期中）如图，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（

）A． B． C． D．8．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）如图，下列四个条件中能判定的有（

）①；②；③；④A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④9．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）下列命题中错误的是（

）A．同位角相等B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行C．邻补角互补D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直10．（2023春·北京西城·七年级北京十五中校考期中）下列说法中正确的是（

）A．在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相垂直 B．相等的两个角一定是对顶角C．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．同旁内角相等，两直线平行11．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）如图，已知，若要，那么的度数为（）A． B． C． D．12．（2023春·北京西城·七年级北京市回民学校校考期中）如图，下列条件中，能判断的是（

）A． B．C． D．13．（2023春·北京西城·七年级北京市回民学校校考期中）如图1，当光线从空气斜入射到某种透明的液体时发生了折射，满足入射角与折射角的度数比为．如图2，在同一平面上，两条光线同时从空气斜射入这种液体中，两条入射光线与水平液面夹角分别为，，在液体中两条折射光线的夹角为，则，，三者之间的数量关系为（

）A． B．C． D．14．（2023春·北京海淀·七年级北大附中校考期中）将含30°的直角三角板与直尺如图所示放置，若∠2=40°，则∠1的度数为（

）A． B． C． D．15．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图，点E在BC的延长线上，下列条件中能判定CDAB的是（

）①∠1=∠4

②∠2=∠3

③∠5=∠B

④∠DCB+∠B=180°A．①②③④ B．①②③C．①③④ D．①②16．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）以下命题是真命题的是（

）A．相等的两个角一定是对顶角B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直17．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）如右图，由可以得到（

）

A． B． C． D．18．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）如图，直线，直角三角板的直角顶点在直线上，一锐角顶点在直线上，若，则的度数是（）A． B． C． D．19．（2023春·北京海淀·七年级清华附中校考期中）如图所示，AB∥CD，若∠1＝144°，则∠2的度数是（）A．30° B．32° C．34° D．36°二、填空题20．（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）如图，增加一个条件，使，可以是：，依据．21．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）在同一平面内，直线与直线相交于点O，，射线，则的度数为．22．（2023春·北京海淀·七年级北大附中校考期中）已知锐角，那么的补角与的余角的差是°．23．（2023春·北京大兴·七年级统考期中）如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则．24．（2023春·北京大兴·七年级统考期中）如图，点C在射线上，只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是（写出一个即可）．

25．（2023春·北京西城·七年级北京十五中校考期中）如图，直线l与直线a，b分别相交，且，，则°．26．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）如图，O为直线上一点，平分，于点O，若，则．27．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）小豆同学周末去香山踏青，看到了一座色彩鲜艳的高塔——琉璃万寿塔．为了测量古塔底部的底角的度数，小豆设计了如下测量方案：作，的延长线，，量出的度数，从而得到的度数．这个测量方案的依据是．28．（2023春·北京西城·七年级北京市回民学校校考期中）数学课上，同学提出如下问题：如何证明“两直线平行，同位角相等”？老师说这个证明可以用反证法完成，思路及过程如下：如图1，我们想要证明“如果直线，被直线所截，，那么”小贴士反证法不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．在某些情形下，反证法是很有效的证明方法。如图2，假设，过点作直线，使，依据基本事实（1），可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实（2）矛盾说明的假设是不对的，于是有．29．（2023春·北京海淀·七年级清华附中校考期中）如图，两直线交于点O，若∠1+∠2=76°，则∠1=度．30．（2023春·北京海淀·七年级清华附中校考期中）一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点D在斜边AB上．现将三角板DEF绕着点D顺时针旋转，当DF第一次与BC平行时，∠BDE的度数是．31．（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）图是对顶角量角器，用它测量角度的原理是．三、解答题32．（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）如图，点D，E是线段上的点，点F是线段上的点，，点H是上的点，且．求证：(1)；(2)．33．（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）某河流汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看河水及两岸河堤的情况，如图，从灯A发出的射线自顺时针旋转至便立即回转，从灯B发出射线自顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是/秒，灯B转动的速度是/秒，且a，b满足．假定这一带河流两岸河堤是平行的，即，且．回答下列问题：(1)则______，______．(2)两灯同时转动，若在灯A发出的射线到达之前，两灯射出的光束交于点C（点C不与B重合），过C作交于点D．①请依题意补全图形（图1）；②探索在两灯转动过程中，与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，说明理由．(3)若从灯B发出射线先转动20秒，从灯A发出射线才开始转动，在灯B发出射线到达之前，两灯的光束互相平行时，直接写出灯A转动的时间，34．（2023春·北京西城·七年级北京八中校考期中）完成下面的推理，并在括号内标注理由：如图：，，．求证：．证明：∵，∴______（______），∴（______），______（______），∵，，∴______，∴（______），∴（______）．35．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）已知：如图，在直角中，，点D为线段上一点，过点D作，垂足为E；过点D作，交于点F．(1)依题意补全图形；(2)请你判断与的数量关系，并加以证明．36．（2023春·北京大兴·七年级统考期中）如图，已知线段，分别以点A，B为端点作射线，C，D，E三点分别在上，过点C的直线与线段分别交于点F，H，已知，．(1)判断与的位置关系并加以证明；(2)若，，求的度数．37．（2023春·北京大兴·七年级统考期中）看图填写．已知：如图，，，．求证：平分．证明：∵，，∴，．（）（填推理依据）∴．∴．（）（填推理依据）∴．（）（填推理依据）．（）（填推理依据）又∵，∴．∴平分．（）（填推理依据）38．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图，点分别在直线上，，．射线从开始，绕点以每秒3度的速度顺时针旋转至后立即返回，同时，射线从开始，绕点以每秒2度的速度顺时针旋转至停止．射线停止运动的同时，射线也停止运动．设旋转时间为．(1)当射线经过点时，直接写出此时的值；(2)当时，射线与交于点，过点作交于点，求；（用含的式子表示）(3)当时，求的值．39．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图，点A、C在的一边上，于点B，交射线于点D．按要求画图并猜想证明：(1)过点C画的垂线段，垂足为点E；过点E画，交于点F．(2)求证：．40．（2023春·北京朝阳·七年级北京八十中校考期中）如图所示，直线，相交于点，过点作射线，使得平分．(1)若，求的度数；(2)连接，若，求证：．41．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余．(1)求证：；(2)OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数．42．（2023春·北京海淀·七年级清华附中校考期中）已知：点C是∠AOB的OA边上一点（点C不与点O重合），点D是∠AOB内部一点，射线CD不与OB相交．(1)如图1，∠AOB＝90°，∠OCD＝120°，过点O作射线OE，使得OE//CD．（其中点E在∠AOB内部）．①依据题意，补全图1；②直接写出∠BOE的度数．(2)如图2，点F是射线OB上一点，且点F不与点O重合，当时，过点F作射线FH，使得FH//CD（其中点H在∠AOB的外部），用含的代数式表示∠OCD与∠BFH的数量关系，并证明．43．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图，已知，E为AB，CD之间一点，连接BE，DE．(1)猜想，，的数量关系，并证明；(2)作∠ABE，∠CDE的角平分线BF，DF交于点F．①依题意补全图形；②直接用等式表示∠BFD与∠BED的数量关系．44．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）已知：，P为平面内任意一点，连接．(1)如图1，若点P为平行线之间一点，且满足，则的度数为_____；（直接写出答案）(2)拖动点P至如图2所示的位置时，试判断和之间的数量关系，并证明；(3)在（2）的条件下，设点E为延长线上一点，作和的角平分线交于点Q，请你试写出与之间的数量关系，并简要说明理由．45．（2023春·北京西城·七年级北京十五中校考期中）阅读下面的推理过程，完成下列证明．如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，证明：∠DEC+∠C=180°．证明：∵∠1+∠2=180°（已知），又∵∠1+∠4=180°（平角定义），∴∠2=∠4（）．∴∥（）．∴∠3=∠ADE（）．又∵∠3=∠B（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换）．∴∥（）．∴∠DEC+∠C=180°（）．46．（2023春·北京丰台·七年级北京市第十二中学校考期中）完成下面的证明过程：已知：如图，，，，求证：证明：∵，（已知）∴∴（

）又∵（已知）”．___（内错角相等，两直线平行）∴（

）∴（

）47．（2023春·北京西城·七年级北京十五中校考期中）问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“两条平行线AB，CD和一块含60°角的直角三角尺EFG（∠EFG＝90°，∠EGF＝60°）”为主题开展数学活动．操作发现(1)如图（1），小明把三角尺的60°角的顶点G放在CD上，若∠2＝2∠1，求∠1的度数；(2)如图（2），小颖把三角尺的两个锐角的顶点E、G分别放在AB和CD上，请你探索并说明∠AEF与∠FGC之间的数量关系；结论应用(3)如图（3），小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上，30°角的顶点E落在AB上．若，则∠CFG等于______（用含的式子表示）．48．（2023春·北京西城·七年级北京市第一六一中学校考期中）如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，．求证：．请将下面的证明过程补充完整：证明：∵AD//BC，（理由：）．平分，．．，，（理由：）．（理由：）．49．（2023春·北京西城·七年级北京市回民学校校考期中）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1＝55°，求∠2的度数．50．（2023春·北京海淀·七年级北大附中校考期中）如图，∠AOB，点C在边OB上．（1）过点C画直线CD⊥OA，垂足为D；（2）过点C画直线CMOA，过点D画直线DNOB，直线CM，DN交于点E．（3）如果∠AOB=50°，那么∠CDE=_________°．51．（2023春·北京西城·七年级北师大实验中学校考期中）完成下面的证明．已知：如图，AC⊥BD，EF⊥BD，∠A＝∠1．求证：EF平分∠BED．证明：∵AC⊥BD，EF⊥BD，∴∠ACB＝90°，∠EFB＝90°．（______）∴∠ACB＝∠EFB．∴_____________．（______）∴∠A＝∠2．（两直线平行，同位角相等）∠3＝∠1．（_______）又∵∠A＝∠1，∴∠2＝∠3．∴EF平分∠BED．

参考答案1．B【分析】根据题意得出，设，根据角平分线的定义，对顶角相等，得出，根据平角的定义列出方程，解方程即可求解．【详解】解：∵，∴,∵，∴，设，∵平分，则∵∴，解得：，故B正确．故选：B．【点睛】本题主要考查了垂直的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．2．C【分析】利用等式的性质，平行线的判定和性质等知识分别判断后即可得出结论．【详解】A、如果，，那么，是真命题，故此选项不符合题意；B、两条直线被第三条直线所截，内错角相等，则两直线平行，所以同位角必相等，是真命题，故此选项不符合题意；C、垂直于同一直线的两直线若不在同一平面内，则不一定平行，是假命题，故此选项符合题意；D、如果一个数能被4整除，那么它也能被2整除，是真命题，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是理解真命题和假命题，掌握平行线的判定和性质，属于基础题．3．C【分析】根据两直线平行的判定定理，对条件依次进行判断即可．【详解】解：①③不能判定；②，可以根据同位角相等，两直线平行可以判定；④，可以根据同旁内角互补，两直线平行可以判定；选项C符合题意．故选C．【点睛】本题考查了两条直线平行的判定定理，熟练掌握判定两条直线平行的方法是解题关键．4．D【分析】根据平行线的判定及性质、平行公理、点到直线的距离的定义逐项判定即可．【详解】解：A、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，为真命题，不符合题意；B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，为真命题，不符合题意；C、平行于同一条直线的两条直线也互相平行，为真命题，不符合题意；D、两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题为假命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行线的判定及性质、平行公理、点到直线的距离的定义是解答此题的关键．5．D【分析】根据对顶角相等即可判断①；根据平行线的性质即可判定②③④．【详解】解：∵相交于点O，∴，故①正确；∵，∴，故②正确；∵，，∴，∴，故③正确；∵，∴，∴，故④正确；故选D．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，对顶角相等，熟知两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．6．B【分析】根据对顶角、同位角、同旁内角、内错角的定义分别进行分析即可．【详解】解：A、与不是对顶角，故此选项错误；B、与是同位角，故此选项正确；C、与不是同旁内角，故此选项错误；D、与不是内错角，故此选项错误；故选：B．【点睛】本题考查同位角、内错角、同旁内角、对顶角，熟练掌握各角的特征是解题的关键．7．B【分析】根据平行线的判定对各选项进行判断即可．【详解】解：A中可判定，故此选项不合题意；B中可判定，故此选项符合题意；C中，不能判定直线平行，故此选项不合题意；D中可判定，故此选项不合题意．故选：B．【点睛】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于掌握平行线的判定定理．8．A【分析】运用平行线的判定定理逐项分析即可解答．【详解】解：①是被直线所截的内错角，故可说明，即①满足题意；②是被直线所截的内错角，故可说明，即②不满足题意；③是被直线所截的同位角，故可说明，即③不满足题意；④是被直线所截的同旁内角，故可说明，即①满足题意．故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，灵活运用平行线的判定定理以及三线八角是解答本题的关键．9．A【分析】根据同位角、平行线、邻补角、垂直等基础知识点进行逐一判断即可．【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，故A选项符合题意；B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，故B选项不符合题意；C．邻补角互补，正确，故C选项不符合题意；D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，故D选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查简单几何的基本性质，熟练掌握基本性质是解题关键.10．C【分析】根据平行线的性质与判定，对顶角相等，逐项分析判断即可求解．【详解】解：A.在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线互相平行，故该选项不正确，不符合题意；B.相等的两个角不一定是对顶角，故该选项不正确，不符合题意；C.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项正确，符合题意；D.同旁内角互补，两直线平行，故该选项不正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，掌握平行线的性质是解题的关键．11．C【分析】由“对顶角相等”可得的对顶角等于，再根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得解．【详解】解：如图，∵，∴，∵，∴，∴，故选C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是要熟练掌握平行线的性质．12．A【分析】结合图形分析两角的位置关系，根据平行线的判定方法逐项进行判断即可得到结论．【详解】解：∵，∴，故①选项符合题意；∵，∴，故②选项不符合题意；∵，∴，故③选项不符合题意；∵，不能判定，故④选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，能根据图形准确找出同位角、内错角和同旁内角是解决问题的关键．13．B【分析】过点B、D、F分别作水平线的垂线，则，根据平行线的性质与光的折射原理即可得到答案【详解】如图：过点B、D、F分别作水平线的垂线，则由题知即：即故选B【点睛】本题考查了平行线的性质，光学原理，读懂题并熟练掌握平行线的性质是关键．14．C【分析】标出字母，根据平行线的性质即可求解．【详解】标出字母，如图∵AB∥CD，∴∠2=∠CEM，∵∠1+90°+∠CEM=180°，∴∠1+90°+∠2=180°，∴∠1+∠2=90°，∵∠2=40°，∴∠1=90°-40°=50°，故选：C．【点睛】本题考查了平行线的基本性质，本题的解题关键是找出角度的关系即可得出答案．15．C【分析】根据平行线的判定方法对①②③④每一选项的正确性进行判断即可得到解答．【详解】解：因为∠1和∠4是内错角，所以由∠1=∠4

可以得到CD∥AB，①正确；因为∠2和∠3是DA与CB的内错角，不是CD与AB的内错角，所以由∠2=∠3不能得到CD∥AB，②错误；因为∠5和∠B是同位角，所以由∠5=∠B可以得到CD∥AB，③正确；因为∠DCB和∠B是同旁内角，所以由∠DCB+∠B=180°可以得到CD∥AB，④正确；故选：C．【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题关键．16．B【分析】利用对顶角的定义、平行线的性质等知识对选项逐一判断即可．【详解】A、对顶角的定义为：有公共定点，两条边互为反向延长线的两个角互为对顶角，对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角．故命题错误，是假命题，不符合题意．B、根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故命题是真命题，符合题意．C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．故命题错误，是假命题，不符合题意．D、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行．故命题错误，是假命题，不符合题意．故选B【点睛】本题考查命题与定理的相关知识，解决本题的关键是正确理解对顶角的定义，熟练应用平行线的性质及推论．17．D【分析】利用平行线的性质，直接得结论．【详解】解：由AB∥DC，可得到∠2=∠4．理由是：两直线平行，内错角相等．故选：D．【点睛】本题考查了平行线的性质．掌握平行线的性质是解决本题的关键．18．B【分析】如图，先求出∠3的度数，然后再根据平行线的性质即可求得答案.【详解】如图，∵，，∴，又∵直线，∴，故选B【点睛】本题考查了互为余角的概念，平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键.19．D【分析】先根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB＝144°，然后根据邻补角的定义求出∠2的度数.【详解】∵AB∥CD，∴∠1＝∠CAB＝144°，∵∠2+∠CAB＝180°，∴∠2＝180°﹣∠CAB＝36°，故选D．【点睛】本题考查了平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.在运用平行线的性质定理时，一定要找准同位角，内错角和同旁内角.20．（答案不唯一）同位角相等，两直线平行（答案不唯一）【分析】根据平行的判断方法进行解答即可．【详解】解：添加条件，根据同位角相等，两直线平行，可以判断；添加条件，根据内错角相等，两直线平行，可以判断；添加条件，根据同旁内角互补，两直线平行，可以判断；故答案为：；同位角相等，两直线平行．（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判断：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．21．或【分析】根据题意画出图形，分两种情况讨论，根据垂直的定义，角的加减运算即可．【详解】解：情况一，如图1，，，，，；情况二，如图2，，，，，；综上所述，的度数为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了垂直的定义和对顶角的性质，分两种情况讨论是解答此题的关键．22．90【分析】用的补角减去的余角即可．【详解】由题意得，．故答案为：90．【点睛】本题考查了余角和补角的意义，如果两个角的和等于，那么这两个角互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角；如果两个角的和等于，那么这两个角互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角．23．【分析】根据垂线的定义得到，进而求出，再由对顶角相等即可得到．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，故答案为；．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，对顶角相等，灵活运用所学知识是解题的关键．24．（答案不唯一）【分析】根据平行线的判定条件进行求解即可．【详解】解：添加条件，可由同位角相等，两直线平行证明，或添加条件，可由内错角相等，两直线平行证明，或添加条件，可由同旁内角互补，两直线平行证明，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．25．【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论．【详解】解：如图∵，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等，是解题的关键．26．50【分析】根据垂线的性质可知互余，再由角平分线的定义及已知条件计算的度数即可．【详解】解：∵于点O，∴，∴，∵平分，，∴，∴．故答案为50．【点睛】本题主要垂线的性质、互余、角平分线的定义等知识点，灵活运用是解题关键．27．对顶角相等【分析】根据对顶角性质进行解答即可．【详解】解：∵与是对顶角，且对顶角相等，∴这个测量方案的依据是对顶角相等．故答案为：对顶角相等．【点睛】本题主要考查了对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等．28．同位角相等，两直线平行过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【分析】根据平行线的判定定理和平行公理解答即可．【详解】解：假设，过点作直线，使，依据基本事实同位角相等，两直线平行，可得．这样过点就有两条直线，都平行于直线，这与基本事实过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，说明的假设是不对的，于是有．故答案为：同位角相等，两直线平行；过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行【点睛】本题考查的是反证法，熟记平行线的判定定理和平行公理是解题的关键．29．38【分析】直接利用对顶角的性质结合已知得出答案．【详解】解：∵两直线交于点O，∴∠1=∠2，∵∠1+∠2=76°，∴∠1=38°．故答案为：38．【点睛】此题主要考查了对顶角，正确把握对顶角的定义是解题关键．30．15°【分析】利用平行线的性质即可解决问题．【详解】解：∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠ABC＝45°，∴∠EDB＝∠DFB﹣∠EDF＝45°﹣30°＝15°，故答案为15°．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补.31．对顶角相等【分析】由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．【详解】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．故答案为对顶角相等．【点睛】本题考查了对顶角的性质，正确掌握对顶角的性质是解题的关键．32．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据补角的性质得出，从而得出，最后根据平行线的判定得出；（2）根据平行线的性质直接得出即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）证明：∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．33．(1)3，1(2)①图见详解；②与的数量关系不会发生变化，其数量关系是(3)10秒或85秒【分析】（1）利用非负数的性质解决问题即可；（2）设灯A转动的时间为秒，分别表示出与，即可判断出答案；（3）分三种情况，利用平行线的性质构建方程即可解决问题．【详解】（1）∵，，，∴，，故答案是3，1；（2）①如图所示，②与的数量关系不会发生变化，其数量关系是，如图，过点C作，设灯A转动的时间为秒，∵，∴，∵，，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，即；（3）设灯A转动秒时，两灯的光束互相平行，当时，，解得：；当时，，解得：；当时，，解得：，不合题意，舍去；综上所述，当秒或秒，两灯的光束互相平行．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，非负数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．34．；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等【分析】根据平行线的判定与性质求解即可．【详解】证明：，（同旁内角互补，两直线平行），（两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等），，，，（同位角相等，两直线平行），（两直线平行，内错角相等），故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．35．(1)见解析(2)，证明见解析【分析】（1）按要求作图即可；（2）根据得到，再根据平行线的性质得到，等量代换即可证明．【详解】（1）解：如图所示：（2）∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了垂线的定义，平行线的性质，能综合应用这些定理是解题的关键．36．(1)，证明见解析(2)【分析】（1）先根据对顶角相等得到，进而证明，即可证明；（2）先由两直线平行，同位角相等得到，再由两直线平行，内错角相等即可得到．【详解】（1）解：，证明如下：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟知平行线的性质与判断条件是解题的关键．37．垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义【分析】先证明，进而得到，，由此即可证明，则平分．【详解】证明：∵，，∴，．（垂线的定义）∴．∴．（同位角相等，两直线平行）∴．（两直线平行，同位角相等）．（两直线平行，内错角相等）又∵，∴．∴平分．（角平分线的定义）故答案为：垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．38．(1)此时的值为30(2)(3)当时，的值为72【分析】（1）由的速度为每秒，，即可求出当射线经过点时，所用的时间；（2）过点作直线，从而可得，由平行线的性质可得，从而求得，再由，可求得；（3）与的速度不相等，当时，与不平行；当时，与可能平行，当时，设与交于点，从而有，而，再由平行线的性质得，结合，从而可求得的值．【详解】（1）解：的速度为每秒，，当射线经过点时，所用的时间为：；（2）解：如图所示，过点作直线，，，，，，，，；（3）解：与的速度不相等，当时，与不平行；当时，与可能平行，当时，设与交于点，如图所示：，，，由题意可得：，，，，，，解得：，当时，的值为72．【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，明确角与角之间的关系．39．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）按照题目要求正确的画图即可；（2）根据平行线的性质与判定即可得到答案．【详解】（1）解：、如图所示：；（2）证明：∵，（已知），∴（垂直定义）．∴（同位角相等，两条直线平行）．∴（两直线平行，同位角相等）．∵，∴（两直线平行，内错角相等）．∴（等量代换）．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判断，解题的关键在于能够熟练运用相关知识．40．(1)(2)见解析【分析】（1）根据平角的定义得出，根据角平分线的定义得出；（2）根据对顶角相等得出，根据已知条件得出，然后得出，即可得证【详解】（1）解：∵，∴，∵平分，∴；（2）证明：∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角平分线的定义，对顶角相等，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．41．(1)见解析(2)补全图形见解析，∠1=25°【分析】（1）根据与互余，，得，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明；（2）根据平分交于点，得，又根据，求出的角度，再根据与互余，即可求出．【详解】（1）证明：∵与互余∴又∵∴∵又∵∴．（2）∵平分交于点∴∵∴在中，∴∴又∵与互余∴∴∴．【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定，角平分线的定义．42．(1)①见解析；②30°(2)∠OCD＋∠BFH＝360°－，证明见解析【分析】（1）①根据题意补图即可；②根据平行线的性质求出即可；（2）过点O作OM∥CD∥FH，根据平行线的性质得出两角的数量关系即可．【详解】（1）解：①依据题意，补全图1如下：②∵CD∥OE，∴∠OCD+∠COE＝180°，∵∠OCD＝120°，∴∠COE＝60°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOE＝90°﹣∠COE＝90°﹣60°＝30°；（2）解：∠OCD+∠BFH＝360°﹣α，证明：过点O作OM∥CD∥FH，∴∠OCD+∠COM＝180°，∠MOF＝∠OFH，又∵∠BFH+∠OFH＝180°，∴180°﹣∠OCD+180°﹣∠BFH＝α，∴∠OCD+∠BFH＝360°﹣α．【点睛】本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．43．(1)∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由见解析(2)①见解析；②【分析】（1）过点E作EF//AB，由AB//CD可得EF//CD，根据平行线的性质两直线平行、内错角相等，最后由∠BED=∠BEF+∠DEF即可解答；（2）①分别作∠ABE、∠CDE的角平分线BF、DF交于点F即可；②由角平分线的性质、平分线的性质可得∠ABF+∠CDF=（∠ABE+∠CDE），进而得到∠ABE+∠CDE=2∠BFD，最后根据四边形的内角和即可解答．【详解】（1）解：∠B＋∠BED＋∠D＝360°，理由如下：过点E作．∴∠B＋∠BEG＝180°．∵AB//CD，∴EG//CD．∴∠DEG＋∠D＝180°．∴∠B＋∠BEG＋∠DEG＋∠D＝180°＋180°．即∠B＋∠BED＋∠D＝360°．（2）解：①②，理由如下：∵BF、DF分别平分∠ABE、∠CDE，∴∠ABE=2∠EBF，∠CDE=2∠EDF，由（1）知，∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°，∴2∠EBF＋∠BED＋2∠EDF＝360°，∴∠BBF+∠EDF=180°-∠BED．∵∠BED+∠BFD+∠EBF+∠EDF=360°，∴∠BED+∠BFD+180°-∠BED=360°，∴．【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质、四边形的内角和等知识点，灵活相关性质成为解答本题的关键．44．(1)75(2)∠BAP=∠APC+∠C，见详解(3)∠AQC+∠APC=90°，见详解【分析】（1）过点P作PF∥AB，根据平行线的性质即可得解；（2）延长BA交PC于点G，根据平行线的性质、三角形外角性质求解即可；（3）设CQ交AB于点M，根据平行线的性质、角平分线的定义、三角形外角性质求解即可．【详解】（1）解：过点P作PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PF，∴∠APF=∠A=30°，∠CPF=∠C=45°，∴∠APC=∠APF+CPF=75°，故答案为：75°；（2）解：∠BAP=∠APC+∠C，理由如下：延长BA交PC于点G，∵AB∥CD，∴∠PGA=∠C，∵∠BAP=∠APC+∠PGA，∴∠BAP=∠APC+∠C；（3）∠AQC+∠APC=90°，理由如下：设CQ交AB于点M，∵AB∥CD，∴∠QCD=∠AMQ，∵CQ平分∠PCD，∴∠QCD=∠PCD，∴∠AMQ=∠PCD，∵AQ平分∠BAE，∴∠MAQ=∠BAE=（180°-∠PAB）=90°-∠PAB，由（2）知，∠PAB=∠APC+∠PCD，∴∠MAQ=90°-（∠APC+∠PCD），即∠MAQ=90°-∠APC-∠AMQ，∵∠AMQ=∠AQC-∠MAQ，∴∠MAQ=90°-∠APC-（∠AQC-∠MAQ），∴∠AQC+∠APC=90°．【点睛】此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理并作出合理的辅助线是解题的关键．45．同角的补角相等；AB；EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BC；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补【分析】根据平行线的判定与性质即可完成证明．【详解】证明：∵∠1+∠2=180°（已知），又∵∠1+∠4=180°（平角定义），∴∠2=∠4（同角的补角相等）．∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行）．∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等）．又∵∠3=∠B（已知），∴∠ADE=∠B（等量代换）．∴BC∥DE（同位角相等，两直线平行）．∴∠DEC+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：同角的补角相等；AB；EF；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；BC；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．46．同旁内角互补，两直线平行；AD；平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等【分析】求出∠D+∠EFD=180°，根据平行线的判定得出AD∥EF和AD∥BC，即可得出EF∥BC，根据平行线的性质得出即可．【详解】∵∠D=120°，∠EFD=60°（已知），∴∠D+∠EFD=180°，∴AD∥EF（同旁内角互补，