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文档简介
贵州省铜仁市德江县第二中学2022-2023学年高三第五次月考数学试题文试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数(,,),将函数的图象向左平移个单位长度,得到函数的部分图象如图所示,则是的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.3.设,则复数的模等于()A. B. C. D.4.双曲线C:(,)的离心率是3,焦点到渐近线的距离为,则双曲线C的焦距为()A.3 B. C.6 D.5.下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形,此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边、直角边,已知以直角边为直径的半圆的面积之比为,记,则()A. B. C.1 D.6.已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,,则球的表面积为()A. B. C. D.7.据国家统计局发布的数据,2019年11月全国CPI(居民消费价格指数),同比上涨4.5%,CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨,猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨3.27个百分点.下图是2019年11月CPI一篮子商品权重,根据该图,下列结论错误的是()A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%8.如图所示程序框图,若判断框内为“”,则输出()A.2 B.10 C.34 D.989.从集合中随机选取一个数记为,从集合中随机选取一个数记为,则在方程表示双曲线的条件下,方程表示焦点在轴上的双曲线的概率为()A. B. C. D.10.已知抛物线,过抛物线上两点分别作抛物线的两条切线为两切线的交点为坐标原点若,则直线与的斜率之积为()A. B. C. D.11.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.36012.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为A. B. C.2 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在矩形中,,为的中点,将和分别沿,翻折,使点与重合于点.若,则三棱锥的外接球的表面积为_____.14.已知集合,若,则__________.15.若变量,满足约束条件则的最大值为________.16.设满足约束条件且的最小值为7,则=_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)某校为了解校园安全教育系列活动的成效,对全校学生进行一次安全意识测试,根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”记分,“不合格”记分.现随机抽取部分学生的成绩,统计结果及对应的频率分布直方图如下所示:等级不合格合格得分频数624(Ⅰ)若测试的同学中,分数段内女生的人数分别为,完成列联表,并判断:是否有以上的把握认为性别与安全意识有关?是否合格性别不合格合格总计男生女生总计(Ⅱ)用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中,共选取人进行座谈,现再从这人中任选人,记所选人的量化总分为,求的分布列及数学期望;(Ⅲ)某评估机构以指标(,其中表示的方差)来评估该校安全教育活动的成效,若,则认定教育活动是有效的;否则认定教育活动无效,应调整安全教育方案.在(Ⅱ)的条件下,判断该校是否应调整安全教育方案?附表及公式:,其中.18.(12分)已知数列满足:,,且对任意的都有,(Ⅰ)证明:对任意,都有;(Ⅱ)证明:对任意,都有;(Ⅲ)证明:.19.(12分)已知椭圆:()的左、右顶点分别为、,焦距为2,点为椭圆上异于、的点,且直线和的斜率之积为.(1)求的方程;(2)设直线与轴的交点为,过坐标原点作交椭圆于点,试探究是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.20.(12分)某市为了鼓励市民节约用电,实行“阶梯式”电价,将该市每户居民的月用电量划分为三档,月用电量不超过度的部分按元/度收费,超过度但不超过度的部分按元/度收费,超过度的部分按元/度收费.(I)求某户居民用电费用(单位:元)关于月用电量(单位:度)的函数解析式;(Ⅱ)为了了解居民的用电情况,通过抽样,获得了今年1月份户居民每户的用电量,统计分析后得到如图所示的频率分布直方图,若这户居民中,今年1月份用电费用不超过元的占,求,的值;(Ⅲ)在满足(Ⅱ)的条件下,若以这户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率,且同组中的数据用该组区间的中点代替,记为该居民用户1月份的用电费用,求的分布列和数学期望.21.(12分)如图,四棱锥的底面为直角梯形,,,,底面,且,为的中点.(1)证明:;(2)设点是线段上的动点,当直线与直线所成的角最小时,求三棱锥的体积.22.(10分)如图所示,直角梯形ABCD中,,,,四边形EDCF为矩形,,平面平面ABCD.(1)求证:平面ABE;(2)求平面ABE与平面EFB所成锐二面角的余弦值.(3)在线段DF上是否存在点P,使得直线BP与平面ABE所成角的正弦值为,若存在,求出线段BP的长,若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
先根据图象求出函数的解析式,再由平移知识得到的解析式,然后分别找出和的等价条件,即可根据充分条件,必要条件的定义求出.【详解】设,根据图象可知,,再由,取,∴.将函数的图象向右平移个单位长度,得到函数的图象,∴.,,令,则,显然,∴是的必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题主要考查利用图象求正(余)弦型函数的解析式,三角函数的图形变换,二倍角公式的应用,充分条件,必要条件的定义的应用,意在考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力,属于中档题.2、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.3、C【解析】
利用复数的除法运算法则进行化简,再由复数模的定义求解即可.【详解】因为,所以,由复数模的定义知,.故选:C【点睛】本题考查复数的除法运算法则和复数的模;考查运算求解能力;属于基础题.4、A【解析】
根据焦点到渐近线的距离,可得,然后根据,可得结果.【详解】由题可知:双曲线的渐近线方程为取右焦点,一条渐近线则点到的距离为,由所以,则又所以所以焦距为:故选:A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程,以及之间的关系,识记常用的结论:焦点到渐近线的距离为,属基础题.5、D【解析】
根据以直角边为直径的半圆的面积之比求得,即的值,由此求得和的值,进而求得所求表达式的值.【详解】由于直角边为直径的半圆的面积之比为,所以,即,所以,所以.故选:D【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查二倍角公式,属于基础题.6、D【解析】
由题意,得出六棱锥为正六棱锥,求得,再结合球的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】由题意,六棱锥底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,可得此六棱锥为正六棱锥,又由,所以,在直角中,因为,所以,设外接球的半径为,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.7、D【解析】
A.从第一个图观察居住占23%,与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,再判断.C.食品占19.9%,再看第二个图,分清2.5%是在CPI一篮子商品中,还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%,所占权重最大的,故正确.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+19.9%=50.9%,权重超过50%,故正确.C.食品占中19.9%,分解后后可知猪肉是占在CPI一篮子商品中所占权重约为2.5%,故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为2.1%+2.5%=4.6%,故错误.故选:D【点睛】本题主要考查统计图的识别与应用,还考查了理解辨析的能力,属于基础题.8、C【解析】
由题意,逐步分析循环中各变量的值的变化情况,即可得解.【详解】由题意运行程序可得:,,,;,,,;,,,;不成立,此时输出.故选:C.【点睛】本题考查了程序框图,只需在理解程序框图的前提下细心计算即可,属于基础题.9、A【解析】
设事件A为“方程表示双曲线”,事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”,分别计算出,再利用公式计算即可.【详解】设事件A为“方程表示双曲线”,事件B为“方程表示焦点在轴上的双曲线”,由题意,,,则所求的概率为.故选:A.【点睛】本题考查利用定义计算条件概率的问题,涉及到双曲线的定义,是一道容易题.10、A【解析】
设出A,B的坐标,利用导数求出过A,B的切线的斜率,结合,可得x1x2=﹣1.再写出OA,OB所在直线的斜率,作积得答案.【详解】解:设A(),B(),由抛物线C:x2=1y,得,则y′.∴,,由,可得,即x1x2=﹣1.又,,∴.故选:A.点睛:(1)本题主要考查抛物线的简单几何性质,考查直线和抛物线的位置关系,意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本题的关键是解题的思路,由于与切线有关,所以一般先设切点,先设A,B,,再求切线PA,PB方程,求点P坐标,再根据得到最后求直线与的斜率之积.如果先设点P的坐标,计算量就大一些.11、B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.12、A【解析】由给定的三视图可知,该几何体表示一个底面为一个直角三角形,且两直角边分别为和,所以底面面积为高为的三棱锥,所以三棱锥的体积为,故选A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、.【解析】
计算外接圆的半径,并假设外接球的半径为R,可得球心在过外接圆圆心且垂直圆面的垂线上,然后根据面,即可得解.【详解】由题意可知,,所以可得面,设外接圆的半径为,由正弦定理可得,即,,设三棱锥外接球的半径,因为外接球的球心为过底面圆心垂直于底面的直线与中截面的交点,则,所以外接球的表面积为.故答案为:.【点睛】本题考查三棱锥的外接球的应用,属于中档题.14、1【解析】
分别代入集合中的元素,求出值,再结合集合中元素的互异性进行取舍可解.【详解】依题意,分别令,,,由集合的互异性,解得,则.故答案为:【点睛】本题考查集合元素的特性:确定性、互异性、无序性.确定集合中元素,要注意检验集合中的元素是否满足互异性.15、7【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合,即可容易求得目标函数的最大值.【详解】作出不等式组所表示的平面区域,如下图阴影部分所示.观察可知,当直线过点时,有最大值,.故答案为:.【点睛】本题考查二次不等式组与平面区域、线性规划,主要考查推理论证能力以及数形结合思想,属基础题.16、3【解析】
根据约束条件画出可行域,再把目标函数转化为,对参数a分类讨论,当时显然不满足题意;当时,直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,再由最小值为7,得出结果;当时,的截距没有最小值,即z没有最小值;当时,的截距没有最大值,即z没有最小值,综上可得出结果.【详解】根据约束条件画出可行域如下:由,可得出交点,由可得,当时显然不满足题意;当即时,由可行域可知当直线经过可行域中的点A时,截距最小,即z有最小值,即,解得或(舍);当即时,由可行域可知的截距没有最小值,即z没有最小值;当即时,根据可行域可知的截距没有最大值,即z没有最小值.综上可知满足条件时.故答案为:3.【点睛】本题主要考查线性规划问题,约束条件和目标函数中都有参数,要对参数进行讨论.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)不需要调整安全教育方案.【解析】
(I)根据题目所给数据填写好列联表,计算出的值,由此判断出在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.(II)利用超几何分布的计算公式,计算出的分布列并求得数学期望.(III)由(II)中数据,计算出,进而求得的值,从而得出该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.【详解】解:(Ⅰ)由频率分布直方图可知,得分在的频率为,故抽取的学生答卷总数为,.性别与合格情况的列联表为:是否合格性别不合格合格小计男生女生小计即在犯错误概率不超过的前提下,不能认为性别与安全测试是否合格有关.(Ⅱ)“不合格”和“合格”的人数比例为,因此抽取的人中“不合格”有人,“合格”有人,所以可能的取值为,.的分布列为:20151050所以.(Ⅲ)由(Ⅱ)知:.故我们认为该校的安全教育活动是有效的,不需要调整安全教育方案.【点睛】本小题主要考查列联表独立性检验,考查超几何分布的分布列、数学期望和方差的计算,所以中档题.18、(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】分析:(1)用反证法证明,注意应用题中所给的条件,有效利用,再者就是注意应用反证法证题的步骤;(2)将式子进行相应的代换,结合不等式的性质证得结果;(3)结合题中的条件,应用反证法求得结果.详解:证明:(Ⅰ)证明:采用反证法,若不成立,则若,则,与任意的都有矛盾;若,则有,则与任意的都有矛盾;故对任意,都有成立;(Ⅱ)由得,则,由(Ⅰ)知,,即对任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,则,取时,有,与矛盾.则.得证.点睛:该题考查的是有关命题的证明问题,在证题的过程中,注意对题中的条件的等价转化,注意对式子的等价变形,以及证题的思路,要掌握证明问题的方法,尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.19、(1)(2)是定值,且定值为2【解析】
(1)设出点坐标并代入椭圆方程,根据列方程,求得的值,结合求得的值,进而求得椭圆的方程.(2)设出直线的方程,联立直线的方程和椭圆方程,求得点的横坐标,联立直线的方程和椭圆方程,求得,由此化简求得为定值.【详解】(1)已知点在椭圆:()上,可设,即,又,且,可得椭圆的方程为.(2)设直线的方程为:,则直线的方程为.联立直线与椭圆的方程可得:,由,可得,联立直线与椭圆的方程可得:,即,即.即为定值,且定值为2.【点睛】本小题主要考查本小题主要考查椭圆方程的求法,考查椭圆中的定值问题的求解,考查直线和椭圆的位置关系,考查运算求解能力,属于中档题.20、(1);(2),;(3)见解析.【解析】试题分析:(1)根据题意分段表示出函数解析式;(2)将代入(1)中函数解析式可得,即,根据频率分布直方图可分别得到关于的方程,即可得;(3)取每段中点值作为代表的用电量,分别算出对应的费用值,对应得出每组电费的概率,即可得到的概率分布列,然后求出的期望.试题解析:(1)当时,;当当时,;当当时,,所以与之间的函数解析式为.(2)由(1)可知,当时,,则,结合频率分布直方图可知,∴,(3
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