2022-2023高三镇江一模试卷【含解析】

镇江市2023届高三第一次调研测试

数学

本试卷共6页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横

贴在答题卡“条形码粘贴处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用23铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案答案.不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内

相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不

按以上要求作答无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题.本题共8小题，每小题5分，共4()分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合人=(*|啜k3},3={x|2<x<4),则AB=()

A.(2,3]B.[1,4)C.(-oo,4)D.[l,+oo)

【答案】A.

【解析】解：A8={x|2<%,3}=(2,3].

故选：力.

2.已知向量a,尾满足|d|=l,|6|=ZSZ〉=生，则&-3+b)=()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】C.

【解析】解：根据题意可得a(a+8)=a2+“-6=l+lx2*(-g)=0,

故选：C.

3.在复平面内，复数A/2对应的点关于直线x-y=0对称，若马=1-7,则|Z|-Zzl=()

A.应B.2C.2&D.4

【答案】C.

【解析】解：4=l-i对应的点为(1,-1),其中(1,-1)关于x-y=0的对称点为(-1,1),

故z?=-1+i>

故|Z1-z?|=|!-«+1-«1=12-2z|=74+4=2>/2.

故选：C.

4.2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们的“太空之家”遨游苍穹.太空中飞船

与空间站的对接，需要经过多次变轨.某飞船升空后的初始运行轨道是以地球的中心为一个

焦点的椭圆，其远地点(长轴端点中离地面最远的点)距地面近地点(长轴端点中离地

面最近的点)距地面邑，地球的半径为R,则该椭圆的短轴长为()

A.心邑B.2心邑

C.+R)(S]+R)D.2j($+R)(Sz+R)

【答案】D.

【解析】解：由题意得a+c=S]+R,a—c=S-,+R>

h2=a2-c2=(S,+R)(&+R),

故5=Q(S1+R)(S?+R),

2b=2"(g+R)⑸+R).

故选：D.

5.已知sin(a-马+cosa=3,则cos(2a+巴)=()

【答案】B.

【解析】解：因为sin(a-三)+cosa=-,

而I'JJ3.13

加以——sina——cosa+cosa=一，

225

所以sin(a+—)=-,

JTJTO7

则cos(2a+—)=l-2sin2(a+—)=l-2x-=一.

362525

故选：B.

6.已知随机变量X服从正态分布有下列四个命题:

甲：P[X>m+l)>P(X<m-2)；乙：P(X>m)=0.5；

丙：P(X„m)=0.5；T：P(m-\<X<m)<P(m+\<X<m+2).

如果只有一个假命题，则该命题为()

A甲8.乙C.丙D丁

【答案】D.

【解析】解：命题乙，丙同真假，

由题意可知，四个命题只有一个为假命题，故乙，丙均为真命题，

所以〃="2,

P(X>m+l)=P(X<m-1)>P(X<m-2),故甲正确，

P(m-1<X<m)=P(m<X<m+V)>P[m+1<X<m+2),故丁错.

故选：D.

7.已知函数f(x)的定义域为R,且/(2x+l)为偶函数，./'(x)=/(x+l)-f(x+2),若/(1)=2,

则/。8)=()

41B.2C.-1D.-2

【答案】A.

【解析】解：因为/(2x+l)为偶函数，所以/(2x+l)=/(-2x+l),

所以/(x+l)=/(-x+l),则/(X)关于X=1对称，

^/(%)=2sin(—x+—),/(I)=2sin(—+—)=2,关于x=l对称，

3636

7C7C714

/(x)+/(x+2)=2sin(-x+-)+2sin[-(x+2)+-]

3636

=2[sin(—x+—)+sin(—x+—»)]

3636

z、n7tn.冗.57r冗

=zlsin-xcos—hcos-xsin—hsm-xcos---Fcos—xsin——1

36363636

=2cos—x

3

/(x+1)=2sin(yx+—)=2cos—x,

所以/(x+l)=f(x)+/(x+2),

1-rr

即/(x)=2sin(-乃x+—)符合条件，

36

rr

所以/(18)=2sin(6^d——)=1.

6

故选：A.

8.若过点P«,0)可以作曲线y=(1-x)e"的两条切线,切点分别为A(x},y,),B(x2,y2),则y]y2

的取值范围是()

A(0,4-3)B.(-8,0)U(0,4e—3)

C.(-00,41)D.(-oo,0)U(0,4^2)

【答案】D.

【解析】解：设切点(%,(I-/)*),y'=-e'+(l-x)e'=re'左二-8)*，

则切线方程为y—=-x0^(x-x0),又切线过Q,0),

a

一(I—x())e“=~xoe'(t—x0),%—1=—xn(f-%),

%—1=—Zx0+xj—(f+l)x0+1=0有两个不相等实根X1,x2,

2

其中x^x2=l,x,+x2=/+1,*=(Z+l)-4>0,>1或f<一3,

y%=(1一公)(1-Wb**&=口一(%+%)+=(l-r>'+，>

令g(f)=(lT)*,「>1或，<一3,g'(f)=Ve川，

当f<-3时，g'(r)>0,当f>I时，g'⑴<0,

函数g(x)在(-8,-3)上递增，在(l,+oo)上递减，

又g(-3)=4e",g⑴=0,

当f->Y»时，g(O—>0>当f->+8时，g(f)f+oo,

.•.g(f)e(-o>,0)U(0,4e-2),

即yy2e(-co,0)I(0,4e<).

故选：D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.在棱长为2的正方体48CD-AMG.中，AC与8。交于点O,则()

A.A.//平面80G

B.8DJ_平面COG

C.C0与平面ABCZ)所成的角为45。

D.三棱锥C-8OG的体积为:

【答案】ABD.

【解析】解：AD、UBC、,4。仁平面BQu平面BOC「〃平面BOC-A

对；

因为3£>_LCO,又CGJ■平面MCD,8Du平面A8C£),

所以8O_LCC|,CDCJ=C,CD、Cgu平面COQ,.•.B£)_L平面COg,B对；

因为GC，平面ABCD,GO与平面所成角为NCQC,

2

因为tanNC0C二正工1,/.ZC.OC^45°,C错；

112

因为％-HOC=%—BOC=—X—x2xlx2=—,£)对.

CoC/C|CJo</(.323

故选：ABD.

10.函数/0)=$皿如+8)3>0,|°|<今的部分图象如图所示，则()

C.f(x)的图象关于点脸,0)对称

D./*)在区间(肛区)上单调递增

4

【答案】ACD.

【解析】解：--—T=7V=――,

2632s

兀2

/.ty=2,f(x)=sin(2x+0),f(―)=sin(—+^)=1,

,-r7T冗冗217万

由于——<(p<—,—<(p+——<——,

22636

所以9+与=所以A选项正确，区选项错误.

f(x)=s\n(2x——),2x--=k7r,x=—+—,kGZ,

66122

当&=o时，得X=\，所以/(x)关于1,0)对称，C选项正确，

7cAi—TC7t_..

——+2K(7i<2x——<—+2ZC|兀、——+<x<—+TI、占wZ,

当仁=1时，得f(x)在(2%上万)上递增，则f(x)在区间(肛把)上单调递增，。选项正确.

634

故选：ACD.

11.一个袋中有大小、形状完全相同的3个小球，颜色分别为红、黄、蓝，从袋中先后无放

回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A,“第二次取到黄球”为事件B,则()

A.P(A)=|B.A,B为互斥事件

C.尸(8|A)=JD.A,8相互独立

【答案】AC.

【解析】解：P(A)=」,A正确；

3

A,5可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球“，A,8不互斥，B错误；

在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；

2

P(B)=汜+：x0="A3)="=9,P(A3)wP(A)P(B),

3233326

故A,8不独立，。错误；

故选：AC.

12.已知抛物线V=4y的焦点为尸，以该抛物线上三点A,B,C为切点的切线分别是人，

12,13,直线4相交于点4与6，4分别相交于点P，Q-记A,B,。的横坐标

分别为X，x2,x3,则()

A.DADB=OB.xt+x2=2x3

C.\AF\-\BFH£>F|2D.\AP\-\CQ\^PC\-\PD\

【答案】BCD.

【解析】解：A,B,。的横坐标分别为％,々，刍，

则可设如净,B&,多,C(x°,多,

,所以/]的斜率勺=」为，

由抛物线V=4)，，可得y=求导得y=—X

2121

所以/|:=，即y=gx|X一；x：

同理可得4：y=-xx--x^>

2224-

[11,_x+x

y=4x}2

2

直线4,4方程联立24，解得，即忍=土上区，所以为+々=2匕，

1।,_2

>，=2%2%~4^[y

故8正确；

"丁‘丁’

则-岩[-竽a「詈，小竽

为一七X|（X|一々）“々7]X2（X2~X1）

；乂)

2，424

=_（占一占）（4+册/）,不一定为0,故A错误;

16

IAFH8用=g+l)(J+l)=吟+f+J+l,

|0/|2=(%+々)2「卢二[)2=为2+2%马+七2—।1二石

44~4162~16

，故C正确;

/,卢+x°xlXo,0产+》，5。,

2142,4

AP\\CQ\=\PC\\PD\,。正确,

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.己知函数〃x)=[；：bj：-"<1,则〃/(_2))=

【答案】4.

【解析】解：因为析》)=[：：产2(2T),X<1,

[2,x.A

所以/(-2)=l+log2(2—(―2))=l+log24=3,

所以/(/(-2))=/(3)=23T=r=4.

故答案为:4.

14.写出一个同时满足下列条件①②的等比数列｛q｝的通项公式《,=.

①a—<0；②

【答案】（-2）".

【解析】解：可构造等比数列，设公比为q,

由41a,用<0,可知公比q为负数，

因为|4IVa"”|,所以|q|>l,

所以q可取一2,设%=—2,

贝iJa“=-2-（-2）'i=（-2）".

故答案为：（-2）".

15.已知圆O:d+y2=r2（r>o）,设直线x+Gy-6=。与两坐标轴的交点分别为A,B,

若圆。上有且只有一个点P满足|4尸|=|BP\,则，•的值为.

【答案】

2

【解析】解：根据题意易得A（百,0）,例0,1）,PA=

.•/在AB的垂直平分线上，又断=-4，

.•.4?中垂线的斜率为6，又AB的中点为（日,；），

由点斜式方程得y-：=6（x-1）,

化简得y=Gx-l,

又P在圆+y=产满足条件的p有且仅有一个，

.•・直线y=Gx-l与圆相切，..「="=」==4，

vm2

故答案为：

2

16.已知正四棱锥S-他8的所有棱长都为1,点E在侧棱SC上.过点E且垂直于SC的

平面截该棱锥，得到截面多边形「，则「的边数至多为,「的面积的最大值

为.（第一空2分，第二空3分）

【答案】5；立.

3

【解析】解：取SC中点尸，BF1SC,DFA.SC,DFBF=F,

;.SCJ■平面5。尸，

作平面与平面8。尸平行，截面至多为五边形，如图,

令些=2,:.EP=ABF=—A,SP=4SB=2,

SF2

.•.依=1一几，BQ=\-A,PQ=\-A,NQ=MP=^BD=Jb,

33c

1+：-2]2^/0

cosZDFB=-^-4—=-=--，sinZDFB=-

°GG33

2x—x—

22

c_1y/3y(3.2>/2_V2.2

SAEMP=5*彳*彳人-^~=彳/1.

MN与NQ的夹角,而SA与B3垂直,

SpMNQ=a"1_丸)，

S=>/22(1-2)+—22=--/I2+722，

44

当a=2时，s取最大值为也.

33

故答案为：5；—.

3

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.在①5，S2,邑成等比数列，②％=2%+2,③58=$4+m-2这三个条件中任选两个,

补充在下面问题中，并完成解答.

已知数列｛4｝是公差不为0的等差数列，其前〃项和为S“，且满足，.

<1)求｛a“｝的通项公式；

(2)求—+—^―+-^―++―!—.

a\a2。2a3。3〃444+1

注：如果选择多个方案分别解答，按第一个方案计分.

【答案】(1)a„=4n-2(2)---.

;4(2〃+1)

【解析】解：(1)选①②，设等差数列｛4｝的公差为“，

S1,邑，S4成等比数列，q=2%+2,

一(44+64)=(24+4,解得a-,d=4,

q+3d=2(q+d)+2

a〃=2+4(〃-1)=4H-2；

选①③，设等差数列｛a,,｝的公差为d,

S2,S4成等比数列，S8=S4+57-2,

.」(甸+6")=囱+")2,解得aj,d=4,

8%+28d=4q+6d+76+21d-2

a“=2+4(n-1)=4〃-2；

选②③，设等差数列｛〃“｝的公差为",

，睛黑驾274+2/2,解得4=2,

4=2+4(〃-1)=4〃-2；

(2)由(1)得q=4〃-2,

则W=(4〃-2；(4〃+2)—(2〃-1)%”+1)=X罚一罚

)，

」+-L++，=l(i」+」+n

-)-=-T--(-1--------)=

%%4,4+183352/7-12/7+102/7+14(2〃+1)

18.第二十二届卡塔尔世界杯足球赛(F/E4%HdC〃pQaGr2022)决赛中，阿根廷队通过扣人

心弦的点球大战战胜了法国队.某校为了丰富学生课余生活，组建了足球社团.足球社团为

了解学生喜欢足球是否与性别有关，随机抽取了男、女同学各100名进行调查，部分数据如

表所示:

喜欢足球不喜欢足球合计

男生40

女生30

合计

(1)根据所给数据完成上表，并判断是否有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有

关？

(2)社团指导老师从喜欢足球的学生中抽取了2名男生和1名女生示范点球射门.已知男

生进球的概率为2,女生进球的概率为1,每人射门一次，假设各人射门相互独立，求3人

32

进球总次数的分布列和数学期望.

n(ad-be)2

(a+b)(c+d){a+c)(b+d)

Pg.k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【答案】（1）表格见解析，有99.9%的把握；（2）分布列见解析，E记）=..

【解析】解：（1）2x2列联表如下：

喜欢足球不喜欢足球合计

男生6040100

女生3070100

合计90110200

K2=200x(60x70-40x30£gi8i82>i0828)

100x100x90x110

故有99.9%的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关.

（2）3人进球总次数J的所有可能取值为0,1,2,3,

)针；二，尸121111）2噂

PC=0=Xc=D=C------X—+—x(-

3Z1o33223

,P(1)=(|)2X：2

P^=2)=C2------+(-)2X-=-一=一，

-33232929

故J的分布列如下：

g0123

P1542

18Ti99

故4的数学期望：E(^)=lx—+2x-+3x-=—.

18996

19.在AABC中，A,B,C的对边分别为a,b,c,acosB-2acosC=(2c-b)cosA.

(1)若c=x/5〃，求8sB的值;

(2)若b=l,N3A。的平分线AD交4C于点。，求4)长度的取值范围.

【答案】(1)粤；(2)(0,$.

【解析】解：(1)acos3-2acosC=(2。一b)cosA,

/.在AABC中，由正弦定理得sinAcos3-2sinAcosC=(2sinC-sin8)cosA,

/.sinAcosB+cosAsinB=2sinAcosC+2cosAsinC,/.sin(A+B)=2sin(A+C),

sinC=2sinB,SPc=2b,c=旧a,

设N54£>=。，如图所示:

4TC

：.AD=—cos0,〃£((),—),

32

AO£(0,—).

20.如图，在AABC中，是BC边上的高，以A。为折痕，将AAC£>折至AAPD的位

置，使得

(1)证明：P3_L平面河)；

(2)若4)=P8=4,BD=2,求二面角8—R4-。的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2)

5

【解析】(1)证明：4£)是8c边上的高，

.PDLAD,AD±BD,

PDBD=D,PD,3£>u平面PBD,J.ADJ_平面尸8。,

P8u平面P3£),:.AD±PB,

又PBA.AB,AD,ABu平面Afi。，ADAB=A,

平面ABD；

(2)解：以。为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，垂直A8D平面为z

轴，建立空间直角坐标系，

x

y

AD=PB=4,BD=2,

则6(0,2,0),尸(0,2,4),A(4,0,0),D(0,0,0),

BP=(0,0,4),PA=(4,-2,-4),DA=(4,0,0),

设平面BPA与平面PAD的一个法向量分别为&=(x，y,zj,n2=(x2,y2,z2),

故<i।°,解得：4=0,令玉=1,得：%=2,则九］=(1,2,0),

勺•PA=4%-2乂一4Z1=0

422,解得：占=0,令Z2=l,得：％=-2,则%=(0,-2,1),

n2-PA=4X2-2y2-4z2=0

设二面角平面角为。，显然。为锐角，

\n^n2\|0-4+0|4/--------厂3

/.cos。=।~j—；~r=—=~7=4=一,sin0=-cos2。=一,

同同6石55

即二面角区一24一。的正弦值为士.

5

22

21.已知双曲线C:二-当=1(°>0/>0)的左顶点为A,过左焦点尸的直线与C交于P,

a~h~

。两点.当PQlx轴时，1P*=布，APAQ的面积为3.

(1)求C的方程；

(2)证明：以PQ为直径的圆经过定点.

2

【答案】(1)犬-工=1；(2)证明见解析.

3

【解析】解：(1)当PQLx轴时，P,Q两点的横坐标均为-c,

代入双曲线方程，可得力=Q，yQ^-—，BPIPF|=—,

(―)2+(c-«)2=(Vio)2

a

-T，曰12"/、c

由题意,可得〈-----(c-6Z)=3，解得a=l,b=G,c=2.

2a

c2=a2+b2

(2)证明：设PQ方程为x=72一2,P(x，y),Q(x2,y2),

联立方程2冲22=>3(m2y2_4my+4)-y2=3=>(3/zz2-l)y2-12my+9=0,

[3x-y=3

以尸。为直径的圆的方程为(x-X|)(x—x2)+(y—y)(y-%)=°，

X2-(X)+工2)工+中2+y2_(y+为»+%>2=0，

由对称性知以PQ为直径的圆必过X轴上的定点，令y=0,

可得d_(%+x2)x+xtx2+yxy2=0,

\2nr4

而…—-4="

-3/n2-4

=-2)(机X2-2)=机y必一2加(芳+必)+4=、1

3m~-1

-4—X+_3T_4+—y—=0n(3加2-1濡-4x+5-3病=0

3W2-13W2-13m2-1

n[(3〃?2-l)x+3/n2-5](x-1)=0MV/nGRtHJJKAL,

x=1,

.•.以PQ为直径的圆经过定点(1,0).

22.已知函数f(x)=$和g(x)=3况竺有相同的最大值.

aex

(1)求实数。；

(2)设直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有四个不同的交点，其横坐标分别为占，

X,,x3,x4(x,<x2<%4),证明：X,X4=x2x3.

【答案】(1)«=1；(2)证明见解析.

rex

【解析】解：(1)/(x)-.2=—•^—7»令r(x)=o=x=i.

a(e)~ae

/(x)有最大值，

.•/>0且/(x)在(0,1)上单调递增；(1,内)上单调递减，

〜、，/八13，/、l-a-bvc-live

fM=/(I)=一•。=1时，gU)=------------=—-，

lftaxax~x~

当Ovxvl时，g'(x)>0,g(x)单调递增；当x>l时，g'(x)<0,g(x)单调递减,

•••g(x)s=g6=a，

—=af即a=1；

所以m{x}=x-仇ex在xG(1,+OO)单调递增，所以m(x)>机⑴=0,

所以x>Inex,且Inex>lne=\,所以x>Inex>I,

设e(x)=；/(x)=L^,

当Ovxvl时，(pr(