2021中考数学单线段最值之单动点+双动点型

专题一单线段最值之单动点型

类型一：动点轨迹一直线型

动点轨迹为一条直线时，利用“垂线段最短”求最值。

(1)当动点轨迹确定时可直接运用垂线段最短求最值

(2)当动点轨迹不易确定是直线时，可通过以下三种方法进行确定

①观察动点运动到特殊位置时，如中点，端点等位置时是否存在动点与定直线的端点连接后

的角度不变，若存在该动点的轨迹为直线。

②当某动点到某条直线的距离不变时，该动点的轨迹为直线。

③当一个点的坐标以某个字母的代数式表示时，若可化为一次函数，则点的轨迹为直线。

例题.如图，矩形ABC。中，A3=4,8C=6,点P是矩形ABC。内一动点，且

S，AB~S"CD'则PC+PD的最小值为.

•・•点P到A3的距离与到8的距离相等，即点。线段垂直平分线MN上,

连接AC，交MN与点、P，此时尸C+P0的值最小，

且「C+=AC=y]AB2+BC2=V42+62=病=2万

巩固1.如图，等腰放AABC中，斜边A2的长为2,。为AB的中点，P为AC边上的动点，

0。，。73交BC于点Q,M为P。的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线

【解析】连接0C,作PELA8于E,于H,QF_L4B于F,如图,

J2r-

•.•△ACB为到等腰直角三角形，:.AC=BC=¥AB=O,/A=/B=45。，

•.•。为48的中点，A0C1AB,OC^-^-ZACB,OC=OA=OB=\,：.ZOCB=45°,

：/POQ=90°,/COA=90°,ZAOP=ZCOQ,

Z=/OC。

在mZkAOP和ACOQ中，＜AO=CO,:.Rt&AOP迫丛COQ,：.AP=CQ,

ZAOP=ZCOQ

易得AAPE和△BFQ都为等腰直角三角形，

・E华告CQ,QF=^BQ,

2

：.PE+QF^—(CQ+BQ)=&BC=^x6=\,

222

点为P。的中点，为梯形PE/。的中位线,

MH=-(PE+QF)=-,即点M到AB的距离为-,

222

而CO=1,...点M的运动路线为AABC的中位线，

当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=工AB=1,

2

选C.

巩固2.如图，在平面内，线段AB=6,P为线段A8上的动点，三角形纸片CDE的边CD

所在的直线与线段4B垂直相交于点P,且满足PC=%.若点P沿AB方向从点力运动到点

B,则点E运动的路径长为.

B

Cp1

A

【解析】如图，由题意可知点C运动的路径为线段AC,点E运动的路径为EE，,

由平移的性质可知AC=EE，，

在ABC中，易知AB=BC=6,ZABC'=90°,：.EE'=AC，=V62+62

E'

・

.••、%

/、%

J、%

J、、

J、\

U/二.............

'、D''?

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、

、

、

、/\

、♦*

、、*/S

、「*、

、、/t

D

A(C)

巩固3.如图，等边三角形A8C的边长为4,点。是直线AB上一点.将线段绕点。顺

时针旋转60。得到线段DE,连结BE.

（1）若点。在48边上（不与A,B重合）请依题意补全图并证明AO=BE；

（2）连接AE,当AE的长最小时，求CD的长.

【解析】（1）补全图形如图1所示，AD=BE,理由如下:

•••△ABC是等边三角形，..A2=BC=AC,/A=N8=60°,

由旋转的性质得：NACB=NDCE=60°,CD=CE,

：.NACD=NBCE,：.△ACD^hBCE(SAS),/.AD=BE.

（2）如图2,过点A作A工LEB交E8延长线于点F.

•••△BCE,：.NCBE=NA=60。，；.点E的运动轨迹是直线BE,

根据垂线段最短可知：当点E与尸重合时，AE的值最小，此时C£）=CE=C尸,

,；NACB=NCBE=60°,.'.AC//EF,X'.'AF1.BE,AFLAC,

在MAACF中，:.CF=ylAC2+AF2.CD=CF=2yf7.

类型二：动点轨迹一圆或圆弧型

动点的轨迹为定圆时，可利用：''一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与半

径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。

确定动点轨迹为圆或者圆弧型的方法：

(1)动点到定点的距离不变，则点的轨迹是圆或者圆弧。

(2)当某条边与该边所对的角是定值时，该角的顶点的轨迹是圆，具体运用如下；

①见直角，找斜边，想直径，定外心，现圆形

②见定角，找对边，想周角，转心角，现圆形

例题.如图，点0在半圆。上，半径0B=5，AO=4,点C在弧6。上移动，连接AC,

由题意得，点H的运动轨迹在以点E为圆心，EA为半径的圆上

由点与圆的位置关系得：连接BE,与圆E交于点H,此时取得最小值，EH=2

连接8。

AB为半圆。的直径，/AD5=90°

BD=yjAB2-AD2=7（5+5）2-42=2后

BE=yiBDr+ED1=«2后）?+*=2722

BH=BE-EH=2y[22-2

巩固1.如图,长方形A8C。中,A8=6,BC=4,在长方形的内部以CD边为斜边任意作RtXCDE,

连接AE,则线段AE长的最小值是.

【解析】如图，点E在以点F为圆心，。尸为半径的圆上运动，

当A,E,F三点共线时，AE值最小，DF=ix6=3,

2

在长方形ABC。中，AD=BC=4,由勾股定理得：AF=+DF2=742+32=5.

,l•EF=-CD=-X&=3,AE=AF-EF=5-3=2,即线段AE长的最小值是2.

22

巩固2.如图，在矩形ABC。中，AB=4,AD=6,E是AB边的中点，F是线段BC上的动点,

将\EBF沿EF所在直线折叠得到\EB'F,连接B'D,则B'D的最小值是.

【解析】如图所示点片在以E为圆心EA为半径的圆上运动,

F

当。、BLE共线时，87）的值最小，

根据折叠的性质，4EBF"EBF,:.NB=NEBHEB'=EB.

是AB边的中点，AB=4,：.AE=EB'=2.

22

-：AD=6,ADE=V6+2=2^/10.

：.B,D=2yfl0-2.

巩固3.如图，Rtz\ABC中，ABIBC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个

动点，且满足NP/R+/P54=90°,则线段C尸长的最小值为一

A

K

【解析】：ZPAB+ZPBA=90<,,：.NAPB=90°

.•.点P在以A8为直径的弧上（P在AA8C内）

设以AB为直径的圆心为点0,如图

A

接OC,交O。于点P,此时的PC最短

「AB=6f/.OB=3

,：304

•OC=yiOB1+BC2=6+42=5

PC=5-3=2

巩固4.如图，在RtAABC中，zc=90\AC=4，8C=3，点0是AB的三等分点，

半圆。与AC相切，M,N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是

()

A.5B.6C.7D.8

【解析】如图，设。。与AC相切于点。，连接。。，作OP_L8C垂足为P交。。于品

此时垂线段OP最短，尸尸最小值为OP-OF,

1/

AEO-B

・・•AC=4,BC=3,；.AB=5

•­-NOPB=90°».1.OP//AC

••・点。是AB的三等分点，

.•.05=2x5=9"=%=2,...op=§,

33ACAB33

0。与AC相切于点O,

・.•OD1.AC，ODHBC，

...OD=OA^

BCAB3

Q5

「•MN最小值为0尸一。尸=——1=—,

33

如图，当N在48边上时，M与B重合时，MN经过圆心,经过圆心的弦最长,

一仕1()113513,

MN取大值=1-1=—,—+—=6,

3333

•••MN长的最大值与最小值的和是6.选B.

巩固5.如下图所示，在矩形纸片ABC。中，AB=2,AD=3.点E是AB的中点，点F

是4。边上的一个动点，将沿EF所在直线翻折，得到人空所，则A'C的长的最

小值是（)

B.D.痴一1

【解析】以点E为圆心，AE长度为半径作圆，连接CE,

2

在RfABCE中,BE=-AB=1,BC=3,ZB=90，

2

：.CE=[BE?+BC?=V10,

AC的最小值=CE-A'E=710-1.

选。.

巩固6.如图，在RQABC中，ZABC=90°,ZACfi=30°,BC=2^3,△AOC与AABC关

于4c对称，点E、尸分别是边。C、BC上的任意一点，且OE=CF,BE、。尸相交于点P,

则CP的最小值为（）

A.1B.y[3C.ID.2

【解析】连接A。，因为NAC8=30。，所以N8C£>=60。，

因为CB=C£>,所以△CBD是等边三角形，

所以BD=DC.

因为。E=CF,NEDB=NFCD=60。,

所以△EQBgAFCC,所以NE8D=NF£>C,

因为NFOC+NBO尸=60°,

所以/EBO+NB。/=60。，所以NBPD=120。，

所以点尸在以4为圆心，4力为半径的弧8力上，

直角△ABC中，NACB=30。，BC=25所以AB=2,AC=4,所以AP=2.

当点A,P,C在一条直线上时，CP有最小值，

CP的最小值是AC~AP=4-2=2,

选。.

巩固7.如图，在。。中，直径8垂直于不过圆心。的弦A8,垂足为点M连接AC,点

E在AB上，JiAE=CE.

(1)求证：

(2)过点B作。0的切线交EC的延长线于点P,试判断PB与PE是否相等，并说明理由；

(3)设。。半径为4,点N为OC中点，点。在。。上，求线段尸。的最小值.

<

Hz

【解析】（1）如图1.连接BC,

<

芍:

图1I

C£>为。。的直径，A8J_C£）,

BC=AC'NA=/A8C,

•••EC=AE,ZA=ZACE,/.ZABC=ZACE,

ACAE

NA=NA,△AEC^△ACBr-,ACi=AE»AB-,

.4BAC

（2）PB=PE,理由是：如图2,连接02,

T

图2

••,PS为CO的切线，.0BJ_P8,NO8P=90°,，NP3N+NOBN=90°,

­,•ZOBN+ZCOB=90°,：.ZPBN=ZCOB,

■：ZPEB=ZA+ZACE=2ZA,ZCOB=2ZA,

:.NPEB=NCOB,；.NPEB=NPBN,；.PB=PE；

RtAOBN中,NOBN=3Q°,ZCOB=60°,

•••OC=OB,二△OCB为等边三角形，

・•,Q为OO任意一点，连接PQ、OQ,

因为。。为半径，是定值4,则尸。+。。的值最小时，P。最小,

当P、Q、。三点共线时，P。最小，

1

。为0P与。0的交点时，PQ最小，NA=ACOB=30°,：.NPEB=2N4=60°,N4BP=90°

2

-30°=60。，.IAP8E是等边三角形,

RmOBN中,BN=5—2：=2抬，AB=2BN=4g,

设AE=x,则CE=x,EN=2斤x,RtACNE中,x2=2：+(2^-x)：.x=^-,

：.BE=PB=4*_./=,

33

RdOPB中，OP=QPB：+OB'=

，吩号”中.则线段加的最小值是牛.

巩固8.如图，过抛物线J=2x上一点4作X轴的平行线，交抛物线于另一点8,交

y轴于点c,已知点A的横坐标为-2.

(1)求抛物线的对称轴和点8的坐标：

(2)在A3上任取一点尸，连结0P,作点C关于直线0尸的对称点

①连结BD,求8。的最小值；

②当点。落在抛物线的对称轴上，且在X轴上方时，求直线尸。的函数表达式.

【解析】(1)由题意A(-2,5),对称轴-1=4,

2x—

4

:A、B关于对称轴对称，.•.8(10,5).

(2)①如图1中，

由题意点。在以O为圆心OC为半径的圆上,

•••当0、D、B共线时，BD的最小值=03-OD=内：+10：-5=5而-5•

②如图2中,

当点。在对称轴上时，

在RdODE中，OO=OC=5,OE=4,

DE=^0D2-0Ez=J52_『=3,

点。的坐标为（4,3）.

5

设PC=PD=x,在RQPCK中，/=（4-x）2+22,

2

5

：.P,5）,

2

495

•1•直线PD的解析式为y=--x+—.

33

类型三：动点轨迹一不确定型

动点轨迹非圆或直线时，基本上将此线段转化为一个三角形中，

(1)利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。

(2)在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步

转化求最值。

技法1:借助直角三角形斜边上的中线

例题1.如图，在△ABC中，NC=90。，AC=4,BC=2,点A、C分别在x轴、y轴上，当点

A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是()

环B

A.6B.2yEC.275D.272+2

【解析】如图，取C4的中点。，连接0。、BD,贝lj0£>=CZ)=SC=£X4=2,

由勾股定理得，80=62+22=2近，

当0、。、B三点共线时点B到原点的距离最大,

所以，点B到原点的最大距离是2+2®

1环B

技法2：借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边

例题2.如图，已知等边三角形ABC边长为26，两顶点A、8分别在平面直角坐标系的x

轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点C在第四象限，连接0C,则线段0C长的最小值是（）

【解析】如图所示：过点C作于点E,连接0E,

△ABC是等边三角形，

CE=ACxsi〃60°=2A/3x—=3,AE=BE,

2

ZAOB=90°,

=

.0.EO~AB=,

EC-OE>OC,

・•・当点C,O,E在一条直线上，此时OC最短，

故OC的最小值为：OC=CE-E0=3—B选盟

巩固1.如图，NMON=90。,矩形A8C£>的顶点力、8分别在边OM、ON上，当8在边ON

上运动时，A随之在。历上运动，矩形ABC。的形状保持不变，其中4B=4,BC=2.运动过程

中点。到点。的最大距离是.

•••OD<OE+DE,

.•.当。、。、E三点共线时，点。到点。的距离最大,

此时，AB=4,BC-2,

1

OE-AE--AB-2,

2

DE=y/AD2+AE1=>/22+22=272>

。。的最大值为2a+2，

巩固2.如图，在AMBC中，NAC3=90°,ZC4fi=30°,AB=6,以线段48为边向

外作等边人钻£＞，点£是线段A3的中点，连结CE并延长交线段AZ)于点F.

⑴求证：四边形3CED为平行四边形；

(2)求平行四边形BCFD的面积；

(3)如图，分别作射线CM,CN,如图中ZXABZ)的两个顶点A,B分别在射线CN,CM

上滑动，在这个变化的过程中，求出线段CO的最大长度.

【解析】⑴在aABC中，ZACB=9G0,/C4B=30°,

.•./ABC=60°,

在等边△48。中，/84。=60°，

:.ZBAD=ZABC=a)°,

E为48的中点，

AE=BE>

又/AEF=/BEC，

:.AAEFHBEC，

在ZXABC中，ZACB=90°，E为AB的中点，

:.CE=-AB,BE=-AB,

22

:.CE=AE,:.ZEAC=ZECA=30°,:.NBCE=/EBC=60。，

又AAEFmABEC，

:./AFE=NBCE=60。,

又/£>=60°,

:.N^FE=ND=3，：.FC〃BD,

又ZBAD=ZABC=60°,

AD//BC,即ED〃6C,

四边形BC即是平行四边形；

⑵在向△ABUT,2B4C=30°,AB=6,

BC=-AB=3,

2

AC=JAB?-BC?=V62-32=373.

•s百；

…J平行四边形8CTO=333=9

⑶取AB的中点G，连结CG，DG，CD

CD<CG+DG，

C。的最大长度=CG+DG=3+3后.

巩固3.如图，在用AABC中，ZAC3=90，将AABC绕顶点。逆时针旋转得到

AA'B'CM是8C的中点，N是4夕的中点，连接MN,若=4,NABC=60。，则

线段MN的最大值为（）

A*

A.4B.8C.40D.6

【解析】连接CN,

・•・将AA8C绕顶点。逆时针旋转得到AA'^'C,

ZA'CB'=ZACB=90°，B'C=BC=4,ZA'B'C=ZABC=60°,

ZA'=30°,A'B'=8,

N是A'B'的中点，CN=^-A'B'=4,

2

•••在中，MNVCM+CN,当且仅当M,C,N三点共线时，MN=CM+CN=6,

.­•线段MN的最大值为6.

选D.

技法3：借助构建全等图形

例题3.如图，在△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°,A8=5,点尸是AC上的动点，连接

BP,以BP为边作等边△BPQ,连接CQ,则点尸在运动过程中，线段CQ长度的最小值是

,/ZACB=90°,ZA=30°,/.ZCBE=60°f

・「BE=AE,：.CE=BE=AE,

・•.△BCE是等边三角形，・,.BC=BE,

•・.ZPBQ=ZCBE=60°f

/QBC=NPBE,

QB=PB,CB=EB,

△QBCdPBE(SAS),

QC=PE,

・•・当"，AC时，QC的值最小，

在放ZkAEP中，/AE=|,ZA=30°,

PE=-AE=-

24f

•••CQ的最小值为"

4

巩固4.如图，边长为12的等边三角形48c中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结

MB,将线段8M绕点8逆时针旋转60。得到BM连结HN.则在点M运动过程中，线段

4N长度的最小值是（）

【解析】如图，取BC的中点G,连接MG,

•••旋转角为60。，NMBH+NHBN=60°,

又ZMBH+ZMBC=ZABC=600,/.NHBN=NGBM,

C”是等边△ABC的对称轴，；.HB^-AB,：.HB=BG,

2

又：MB旋转到BN,：.BM=BN,

BG=BH

在4MBG和4NBH中,《NMBG=4NBH,△MBGmANBH(SAS),；.MG=NH,

MB=NB

根据垂线段最短，当用GJ_CH时，MG最短，即，N最短，

“Q11111

此时/BC，=—x6(r=30°,CG=—4B=—X12=6,二MG=—CG=—x6=3,:.HN=3；

22222

选B.

技法4：借助中位线

例题4.如图，在等腰直角&4BC中，斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆，点尸为半

圆上的动点，连接BP,取的中点M,则CM的最小值为（）

BC

A.3A/5B.2亚-6C.V10-V2D.3后-石

【解析】连接AP、CP,分别取AB、BC的中点E、F,连接EF、和FM,

EM、FM和EF分别是△ABP,△CBP和4ABC的中位线

：.EM//AP,FM//CP,EF//AC,EF^-AC,ZEFC=180°-ZACB=90°

2

：AC为直径，AZAPC=90°,B|JAP1CP,J.EMLMF,即NEW尸=90°

，点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上

取EF的中点。，连接OC,点。即为半圆的圆心

当0、M、C共线时，CM最小，如图所示，CM最小为CM的长，

•••等腰直角&4BC中，斜边AB的长度为8,

,EF^^AC=2>/2，FC=3BC=26>0Mi=0F=gEF=O

：.AC=BC=

根据勾股定理可得OC=y/oF2+FC2=JI5，•••CM尸OC-OM1=V10-V2

即CM最小值为师-血，选C.

巩固5.如图，抛物线丁=1/-1与X轴交于AB两点，。是以点C（o,4）为圆心，1为

y

半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接。53。，则线段的最小值是（）

1,

.•.当y=0时，（）=gx2-i,解得：1=±3,

••.A点与8点坐标分别为：（-3,0）,（3,0）,即：40=50=3,

O点为A3的中点，

又•圆心C坐标为（0,4）,

OC=4,

BC长度=VOB2+OC2=5，

・・,。点为AB的中点，E点为AQ的中点，

OE为△A8O的中位线，即：OE=-BD,

2

■。点是圆上的动点，

由图可知，8力最小值即为8C长减去圆的半径，

BD的最小值为4,

OE=-BD=2,即OE的最小值为2,

2

选A.

专题二单线段最值之双动点型

解决双动点问题的核心时.，常借助六种方法把双动点问题转化为上述单动点型问题。

(1)利用等量代换实现转化

(2)利用线段和差实现转化

(3)利用勾股定理实现转化

(4)利用三角形图形之间关联及边角关系(构造全等，相似，中位线及直角三角形斜边上

的中线)实现转化

(5)利用添加“隐圆”实现转化

(6)利用轴对称实现转化

技法1借助等量代换实现转化

例题1.如图，AA3C中，N8=90°，AB=4,3C=3,点。是AC上的任意一点，过

N3=90',DE±AB,DF±BC

..・四边形8EQF是矩形。.•.所=皿

当_LAC时，8。取最小值，

在中，AB=4，BC=3,根据勾股定理得AC=5,

5A/^ISC=-2ABBC=2-ACBD

:.ABBC=ACBD,.-.3x4=550

3。=£=2.4,所以EF的最小值等于BD的最小值为2.4.

巩固1.如图，直线AB函数解析式为y=-2x+8，与x轴交于点A，与y轴交于点B.

（1）求A、B两点的坐标；

（2）若点为线段AB上的一个动点（与A、B不重合），作PELx轴于E,PF

轴于点F,连接EF,问:

①若APEF的面积为S,求5关于机的函数关系式，并求出当S=3时P点的坐标;

②是否存在点P,使EF的值最小？若存在，求出EF的最小值；若不存在，说明理由.

【解析】（1）令x=0.

令y=0,则-2x+8=0,x=4,「.A(4,0),

（2）①,J点尸Cm,n）为线段AB上的一个动点，.•.-2〃?+8=%

•••A(4,0),.♦.04=4,0<w<4

PF=m,PE=-2m+8,SPEF=PFXPE=x；„x(-2m+8)=—m2+4m，(0<w<4)；

②存在，如图，rPELx轴于点E,PFLy轴于点凡OA±OB,

四边形OEP尸是矩形,EF=OP,当OPJ_AB时，此时EF最小,

,「A(4,0),B(0,8),：.AB=4yj5

4壁8

11O-----

SAAOB=-xOAxOB=-xA&OP,A«4不5

22

EF的最小值=OP=§石.

巩固2.如图，点A在抛物线y=-x2+2x+3(0WxK3)上，直线/_Ly轴于点M,ACA.I

于点C,以AC为对角线作矩形ABCZ),若点M的坐标为(0,6),则BD的取值范围是.

【解析】：y=-%2+2x+3=-(x—1)~+4=-(x+l)(x-3),

・•・顶点坐标为(1,4),与x轴的交点坐标为(-1,0)(3,0),

1.,0<x<3,

.,.当A与顶点重合时，4c最短，

当x=l时，y=-l+2+3=4,

AC=6-4=2；

当A在x轴上时，AC最长，此时AC=6,

/.2<^C<6,

•••四边形ABC。是矩形，

AC=BD,

BD的取值范围是2<BD<6.

故答案为：2WBDW6

巩固3.已知抛物线产,犬+1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点产（0,2）的距离

4

与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（6,3），P是抛物线产,犬+1上一个

4

动点，则△PMF周长的最小值是（）

A.3B.4C.5D.6

VF(0,2)、M(百，3),

.•.ME=3,FM=^(V3-O)2+(3-2)2=2,

/周长的最小值=加£：+尸〃=3+2=5.

选C.

巩固4.△ABC和△AQE为等边三角形，连接BE,CD,点、F,G,H为DE,BE,CQ中点.

（1）当AAOE绕点A旋转时，如图1,则△尸G”的形状为,说明理由;

（2）在旋转的过程中，当B,D,E三点共线时，如图2,若AB=3,AD=2,求线段

尸”的长;

（3）在AADE旋转的过程中，若48=4,AD=b（a>Q0）,则△FGH的周长是否存在最大

值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由.

如图1中，连接BQ、CE,延长8。交CE于M,设8M交尸”于点O.

VAABCaiAAQE均为等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,

：.ZBAD=ZCAE,，CAE,

：.BD=CE,ZADB=ZAEC,

•：EG=GB,EF=FD,

1

：.FG=-BD,GF//BD,

2

,:DF=EF,DH=HC,

1

：.FH=-EC,FH//EC,：.FG=FH,

2

,/ZADB+ZADM^\SO°,

.ZAEC+ZADM=180°,

，ZDMC+ZDAE=180°,

:.NDME=120。,

：.NBMC=60。

：.ZGFH=ZBOH=ZBMC=60°,

.,.△GHF是等边三角形,

故答案为：等边三角形.

(2)如图2中，连接4尸、EC.

易知AFJ_OE,

在中，AE=2,EF=DF=1,

AF=y/22-I2=，

RmA8尸中，BF=JAB?-AF?=x/6，

BD=CE=BF-DF=76-1-

：.FH=-EC=^~l

22

(3)存在.理由如下.

由(1)可知，AGF”是等边三角形，GF=-BD,

2

3

；.△GFH的周长=3GF=-BD,

2

在△A3。中，AB=afAD=b,

，BD的最小值为a-b,最大值为a+b,

33

；・△FG”的周长最大值为一(a+b),最小值为一(a-b).

22

技法2借助隐圆实现转化

例题2.在△ABC中，AB=5,AC=8,NBAC=60。，点。是BC上一动点，DELABE,

DF1AC于F,线段EF的最小值为.

【解析】如图，过点2作8GL4C,过点A作连接AD,

A.---、

，还

BH…D

'：AB=5,ZBAC=60°,BG1AC,

AG=2,BG=J3AG=^-,

22

511

AC=8,AG=—,GC=—,

22

BC=yjsG2+GC2=+,=7,

||nn万

SAA5C=-*BCMH=-MC>BG,「.A乐会J

227

DELAB,DF,LAC,

：.ZAED=ZAFD=90\

・•・ZAED+ZAFD=180°,

・・・点A,点£,点。，点/四点在以AO为直径的圆上,设圆心为0,连接OE,OF,

/.ZEOF=120°,

EF=2*OE*cos30°,

.,.当。。的直径最小时，EF的长最小，

.•.A。与A"重合时，EF最小，

・••EF最小值为3现0

7

巩固5.如图，等腰三角形中，NBAC=：120°,A8=3.

(1)求BC的长.

(2)如图，点。在C4的延长线上，DE1.ABE,DFLBC^F,连E只求EF的最小

,•.等腰三角形△ABC中，ZBAC=120°,AB=3,

：.NB=(180°-120°)+2=30°,BM=CM,

3

BM=3+2xg=/，

BC=2BM=2xy=36；

(2)连接2£>,取的中点0,连接0E,0F,

...OE_LAB于E,。尸_LBC于尸，

*一»1

在RtRBDF与RtKBDE中，0B=0D=0E=0F=-BD,

2

B,D,E,F四点共圆，

/E0F=2NEBF=2x3(y=60。,

A0E尸是等边三角形，

1

EF=OF=-BD,

2

ZC=ZEBF=30°,

I%h

二当BE>_LC£>时，BD=-BC=^~,此时，8。的值最小,

22

Qi/士113\/33-\/3

..EF的最小值=—BD=—x---=----.

2224

巩固6.在平面直角坐标系中，矩形0ABe的顶点。、A、C的坐标分别为。(0,0),A(-

x,0),C(0,y),且x、y满足y=Jx-4+，4-x+6.

(1)矩形的顶点8的坐标是.

(2)若力是AB中点，沿。。折叠矩形。4BC,使A点落在点E处，折痕为连BE并

延长BE交y轴于Q点.

①求证：四边形。80。是平行四边形.

②求△OEQ面积.

(3)如图2,在(2)的条件下，若R在线段AB上，AR=4,P是AB左侧一动点，且NR布

=135。，求QP的最大值是多少？

【解析】(1),•,x-420,4-A>0

x=4,y=6

・・・点A(-4,0),点C(0,6),点3(-4,6)

(2)①•・,£>是AB中点，

/.AD=BD

折叠

/.AD=DE,ZADO=ZODE

NDBE=NDEB

NADE=NDBE+NDEB

/ADO+NODE=NDBE+NDEB

/.ZADO=ZDBE

OD//BQ,且AB〃OC

・•・四边形BDOQ是平行四边形，

②如图，过点。作。于点尸，

AD=3,AO=4

DO=y]AD2+AO2=5

•・•四边形3。。。是平行四边形，

BD=OQ=3,BQ=DO=5,

・•.CQ=CO-OQ=3

:AB//CO

：.ZABQ=ZBQCf且NBEO=N5CQ=90°

△BFD~△QCB

BFBDDF

"CQ-BQ-BC

--B--F~一3~-D--F-

"354

912

BF=-,DF=—

55

DE=BD,DFLBQ

io

BE=2BF=、

5

SDEO~^AADO-2^=BDOY=—XADXAO=6,

___1O_1121842

**.SuBDOQ=12,SAEOQ=S^BDOQ-SADEO~SABDE=12-6XX—=—

•••ZAP/?+ZAO/?=135°+45°=180°

二点A,点P,点R,点。四点共圆

.・•点P在以点“为圆心，R。为直径的圆上，

.,•点P,点，，点Q三点共线时，PQ值最大,

•••NH0F=45。,HF10Q,

ZFH0=NH。尸=45°,且0H=272

HF=0F=2,

：.QF=OQ-0F=3-2=1

HQ=7HF2+QF2=V5

PQ的最大值为2也+g.

技法3借助三角形图形之间关联及边角关系实现转化

例题3.如图，点A、B分别在y轴和x轴正半轴上滑动，且保持线段AB=4,点。坐标为

由题可得，。是AC的中点，

OE是AABC的中位线，

BC=2DE,

:点。坐标为(4,3),

0D=旧+41=5,

411

•••Rn\A20中，OE=—AB=—、4=2,

22

当。，E,。在同一直线上时，DE的最小值等于0D-0E=3,

•••BC的最小值等于6,

故答案为：6.

巩固7.如图，AC是。的弦，AC=4,点B是。上的一个动点，且NABC=45°,

若点”，N分别是AC,8C的中点，则的最大值是.

【解析】••,点N分别是BC,AC的中点,

MN==AB,

2

・•・当A3取得最大值时，就取得最大值，当A3是直径时，A3最大,

连接40并延长交。于点8,连接CB',

1.,A8'是。的直径，

NACB，=90。.

•••ZABC=45°,AC=4,

ZAB1C=45°,

AC

AB'=

sin450>0

2

MN适大=2A/2.

巩固8.如图，在AABC中，BC=6,8c边上的高为4,在AABC的内部作一个矩形EFGH,

使E尸在BC边上，另外两个顶点分别在4B、AC边上，则对角线EG长的最小值为.

【解析】如图，作AQLBC于点Q，交OG于点P,

•..四边形OEFG是矩形，

：.AQ1DG,GF=PQ,

设GF=PC=X,则AP=4-X,

由OG〃BC知△AOGS/\4BC,

:=变，即三=型

AQBC46

3

则E/二DG二一(4-x),

2

EG=4EF-+GF2=J|(4-尤)+』=占卜+詈，

当广3时，EG取得最小值，最小值为g1,

1313

巩固9.如图，四边形ABCD中，ZA=90°,AB=25AD=2,点M，N分别为

线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点8重合），点E，尸分别是DM，MN

的中点，则所长度的最大值为

【解析】如图，连结ON,

.・•点E，/分别是DM，MN的中点，

DE=EM，FN=FM,

:.EF==DN,

2

当点N与点B重合时，ON的值最大即"最大,

在吊AABO中，

ZA=90°,AD=2,A5=275.

BD=4AD2+AB2=2网，

.•.EF的最大值=（8。=".

2

C

B

巩固10.已知在平面直角坐标系中，点A（3,0）,8（—3,0）,C（—3,8）,以线段BC为直径作

圆，圆心为E，直线AC交E于点D，连接C©.

（1）求证：直线8是E的切线；

（2）点/为x轴上任意一动点，连接交E于点G,连接8G：

①当tanNACF=>!■时，求所有尸点的坐标_____（直接写出）；②求四的最大值.