《一比较法》PPT课件(安徽省市级优课)-数学课件

第二讲证明不等式的基本方法一比较法学习目标1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法.生活实践“糖水加糖甜更甜”你能将这个事实用数学式子表示出来吗？

若a，b，m都是正数，并且a＜b，则

理论依据：a－b＞0⇔a＞b；a－b＜0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b.与0的大小知识点一作差比较法(2)一般步骤：①作差；②变形；③判定符号；④得出结论.其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定差____________.

引例.已知都是正数，并且求证证明：∵都是正数，

并且

即：

本题变形的方法—通分法

证明：∵

≥1.变形的目的在于判断差的符号，而不必考虑差的值是多少。至于怎样变形，要灵活处理。2.本题的变形方法——配方法类型一作差比较法证明不等式例2

已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.证明a3＋b3－(a2b＋ab2)

＝a2(a－b)＋b2(b－a)

＝(a2－b2)(a－b)

＝(a＋b)(a－b)2．因为a，b都是正数，且a≠b，所以a＋b＞0,(a－b)2＞0，从而(a＋b)(a－b)2>0，即a3＋b3＞a2b＋ab2本题的变形方法——因式分解类型一作差比较法证明不等式1.求证:a2+b2+5≥2(2a-b)2.已知ad≠bc,求证(a2+b2)(c2+d2)＞(ac+bd)2热身练习反思与感悟作差法是证明不等式常见的基本的方法，它一般适用于多项式、分式、对数式等的不等式证明，在变形过程中往往采用配方、通分、因式分解等方法将之转化为可以判断符号（即与0比较大小）时为止，如：实数、因式乘积形式、平方和形式、对数式等。(1)定义：若a＞0，b＞0，要证明a＞b，只要证明__＞1；要证明a＜b，只要证明

.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法.(2)作商比较法的理论依据：(3)

一般步骤：①作商；②变形整理；③判定商与

；④得出结论.1的大小b＞0，若

，则a＞b；若

，则a＜b；知识点二作商比较法例3.已知a＞0，b＞0，求证：aabb≥abba.分析：当不等式两端是乘积形式或幂指数形式，常采用作商法。类型二作商比较法证明不等式类型二作商比较法证明不等式已知a＞0，b＞0，求证：aabb≥.热身练习证明因为aabb＞0，

＞0，所以.当a＝b时，显然有

；所以所以综上可知，对任意实数a，b，都有aabb

≥

.231答案解析①x2＋3－2x＝(x－1)2＋2＞0，故①正确；②取a＝b＝1，则a5＋b5＝2，a3b2＋a2b3＝2，故②不正确；③a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，故③正确.1.已知不等式：①x2＋3＞2x(x∈R＋)；②a5＋b5＞a3b2＋a2b3(a，b∈R＋)；③a2＋b2≥2(a－b－1).其中正确的个数为A.0 B.1 C.2 D.3√解析当堂训练231答案2.若x，y∈R，记w＝x2＋3xy，u＝4xy－y2，则A.w＞u B.w＜uC.w≥u D.无法确定√∴w≥u.解析231证明231∴原不等式成立.方法二∵a＞b＞0，∴a2＞b2＞0.

∴左边＞0，右边＞0.∴原不等式成立.课堂小结1.