第3章《实数》知识讲练（教师版）【导图+知识点+新题拔高卷】2023-2024学年七年级数学上册章节复习讲义（浙教版）

第第页2023-2024学年浙教版数学七年级上册章节知识讲练知识点01：平方根和立方根类型项目平方根立方根被开方数非负数任意实数符号表示性质一个正数有两个平方根，且互为相反数；零的平方根为零；负数没有平方根；一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零；重要结论知识点02：实数有理数和无理数统称为实数.

1.实数的分类按定义分：实数按与0的大小关系分：实数易错点拨：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数．（2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等；②有特殊意义的数，如π；③有特定结构的数，如0.1010010001…（3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式.（4）实数和数轴上点是一一对应的.2.实数与数轴上的点一一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.3.实数的三个非负性及性质：

在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式：

（1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0；

（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0；

（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即().

非负数具有以下性质：

（1）非负数有最小值零；

（2）有限个非负数之和仍是非负数；

（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.4.实数的运算：数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里.5.实数的大小的比较：

有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立.法则1.实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小；法则3.两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法.一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022秋•新昌县期末）已知一个边长为a米的正方形，面积是37平方米，则a的取值范围是（）A．4＜a＜5 B．5＜a＜6 C．6＜a＜7 D．7＜a＜8解：∵个边长为a米的正方形，面积是37平方米，∴a＝．∵36＜37＜49，∴6＜＜7，即6＜a＜7．故选：C．2．（2分）（2022秋•金华期末），﹣π，3.14，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）中，无理数的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个解：，3.14是有理数；﹣π，，6.1717717771…（自左而右每两个“1”之间依次多一个“7”）是无理数，∴无理数一共有3个．故选：B．3．（2分）（2023•沭阳县模拟）在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是（）A．3.14 B．﹣ C． D．0解：在3.14，﹣，，0这四个数中，属于无理数的是．故选：C．4．（2分）（2022秋•温州期末）下列说法正确的是（）A．4的平方根是2 B．﹣8没有立方根 C．8的立方根是±2 D．4的算术平方根是2解：A、根据平方根的定义可知4的平方根是±2，该选项不符合题意；B、根据立方根的定义可知﹣8的立方根是﹣2，该选项不符合题意；C、根据立方根的定义可知8的立方根是2，该选项不符合题意；D、根据算术平方根的定义可知4的算术平方根是2，该选项符合题意；故选：D．5．（2分）（2022秋•余姚市期末）在0，，，π，，0.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”）这些数中，无理数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解：，∴无理数是，π，0.010010001…（两个“1”之间依次多一个“0”），共3个，故选：C．6．（2分）（2022秋•婺城区期末）实数﹣2.3，，0，，，﹣π中，有理数的个数为a，无理数的个数为b，则a﹣b的值是（）A．1 B．3 C．2 D．5解：是有理数，有4个，即a＝4，是无理数，有2个，即b＝2，则a﹣b＝4﹣2＝2．故选：C．7．（2分）（2022秋•南浔区期末）估算的值大概在（）A．﹣1到0之间 B．0到1之间 C．1到2之间 D．2到3之间解：∵4＜7＜9，∴，∴的值大概在2到3之间．故选：D．8．（2分）（2022秋•余姚市月考）已知a是正整数，且满足a﹣1＜＜a，则a的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6解：∵49＜56＜64，∴7＜＜8，∵a是正整数，且满足a﹣1＜＜a，∴a＝8．故选：B．9．（2分）（2022秋•义乌市校级期中）如果≈1.333，≈2.872，那么约等于（）A．28.72 B．287.2 C．13.33 D．133.3解：∵≈2.872，∴约等于28.72．故选：A．10．（2分）（2022秋•萧山区校级月考）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（）A．b＜a＜﹣a＜﹣b B．﹣a＜b＜﹣b＜a C．b＜﹣a＜a＜﹣b D．﹣b＜﹣a＜a＜b解：∵由图可知，b＜0＜a，|a|＜|b|，∴0＜a＜﹣b，b＜﹣a＜0，∴b＜﹣a＜a＜﹣b．故选：C．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022秋•兰溪市期末）如图，在3×3的方格纸中，有一个正方形ABCD，这个正方形的边长是．解：正方形的面积＝32﹣×2×1×4＝9﹣4＝5，正方形的边长＝．故答案为：．12．（2分）（2022秋•武义县期末）一个体积为8cm3的正方体，其棱长是2cm．解：＝2，所以体积为8cm3的正方体，其棱长是2cm．故答案为2．13．（2分）（2022秋•莲都区期中）如图，以数轴的单位长度线段为边长作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A和点B，则点A表示的数是2﹣．解：如图：由题意可知：CD＝CA＝＝，设点A表示的数为x，则：2﹣x＝x＝2﹣即：点A表示的数为2﹣故：答案为2﹣14．（2分）（2022秋•温州期末）按如图所示的程序计算，若输入的a＝3，b＝4，则输出的结果为5．解：当a＝3，b＝4时，＝＝＝5，所以输出的结果为5．故答案为：5．15．（2分）（2022春•朝阳县期末）比较大小：＜3（填：“＞”或“＜”或“＝”）解：∵6＜9，∴＜3．故答案为：＜．16．（2分）（2022秋•鹿城区校级期中）长方形纸片上有一数轴，剪下10个单位长度（从﹣3到7）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示）．若这三条线段的长度之比为1：2：2，则折痕处对应的点所表示的数可能是1或2或3．解：根据题意可设这三条线段的长度分别为x、2x、2x个单位长度，则可列方程得：x+2x+2x＝10，解得：x＝2，则这三条线段长分别为2、4、4个单位长度，若剪下的第一条线段长为2个单位长度，则折痕处对应的点所表示的数为：﹣3+2+2＝1；若剪下的第一条线段长为4个单位长度，第二条线段为2个单位长度，则折痕处对应的点所表示的数为：﹣3+4+1＝2；若剪下的第一条线段长为4个单位长度，第二条线段也为4个单位长度，则折痕处对应的点所表示的数为：﹣3+4+2＝3；综上所述：折痕处对应的点所表示的数为：1或2或3；故答案为：1或2或3．17．（2分）（2022秋•瑞安市期中）对于任意实数对（a，b）和（c，d），规定运算“⊗”为（a，b）⊗（c，d）＝（ac，bd）；运算“⊕”为（a，b）⊕（c，d）＝（a+c，b+d）．例如（2，3）⊗（4，5）＝（8，15）；（2，3）⊕（4，5）＝（6，8）．若（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），则（1，﹣5）⊕（p，q）＝（﹣1，﹣2）．解：∵（2，3）⊗（p，q）＝（﹣4，9），∴2p＝﹣4，p＝﹣2，3q＝9，q＝3，∴（1，﹣5）⊕（p，q）＝（1，﹣5）⊕（﹣2，3）＝（﹣1，﹣2）．故答案为：（﹣1，﹣2）．18．（2分）（2022秋•海曙区期中）长方形ABCD在数轴上的位置如图所示，点B、C对应的数分别为﹣2和﹣1，CD＝2．若长方形ABCD绕着点C顺时针方向在数轴上翻转，翻转1次后，点D所对应的数为1；绕D点翻转第2次；继续翻转，则翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是3033．解：翻转1次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为1，翻转2次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为2，翻转3次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为4，翻转4次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为5，翻转5次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为7，翻转6次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为8，••••••，翻转偶数次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为3的倍数，即：翻转2n次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的数为3n﹣1，∵2022÷2＝1011，∴翻转2022次后，落在数轴上的两点所对应的数中较大的是1011×3﹣1＝3032，故答案为：3032．19．（2分）（2022秋•北仑区期中）若将边长为1的5个正方形拼成图1的形状，然后将图1按斜线剪开，再将剪开后的图形拼成图2所示的正方形，那么这个正方形的边长是．解：根据图形可知，这个正方形的面积是5，所以它的边长是．20．（2分）（2022秋•宁海县校级期中）如图，在纸面上有一数轴，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，点C表示的数为．若子轩同学先将纸面以点B为中心折叠，然后再次折叠纸面使点A和点B重合，则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是4+或6﹣或2﹣．．解：第一次折叠后与A重合的点表示的数是：3+（3+1）＝7．与C重合的点表示的数：3+（3﹣）＝6﹣．第二次折叠，折叠点表示的数为：（3+7）＝5或（﹣1+3）＝1．此时与数轴上的点C重合的点表示的数为：5+（5﹣6+）＝4+．或1﹣（﹣1）＝2﹣故答案为：4+或6﹣或2﹣．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022秋•衢州期中）计算下列各题．（1）9﹣12+（﹣1）；（2）；（3）；（4）．解：（1）9﹣12+（﹣1）＝9﹣12﹣1＝9﹣13＝﹣4；（2）＝24××＝8；（3）＝﹣36×+（﹣36）×+（﹣36）×＝27﹣21+20＝6+20＝26；（4）＝﹣4+2×3＝﹣4+6＝2．22．（6分）（2022秋•拱墅区期末）已知一个正数m的平方根为2n+1和4﹣3n．（1）求m的值；（2）|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，a+b+c的平方根是多少？解：（1）∵正数m的平方根为2n+1和4﹣3n，正数m的平方根互为相反数，∴2n+1+4﹣3n＝0，∴n＝5，∴2n+1＝11，∴m＝121；（2）∵|a﹣1|++（c﹣n）2＝0，∴a﹣1＝0，b＝0，c﹣n＝0，∴a＝1，b＝0，c＝n＝5，∴a+b+c＝1+0+5＝6，∴a+b+c的平方根是±．23．（6分）（2022秋•慈溪市期末）如图，数轴上点A，B分别表示数a，b，且a，b互为相反数，2a+9是27的立方根．（1）求a，b的值及线段AB的长．（2）点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．①请用含x的代数式表示线段BP的长．②当x取何值时，BP＝2AP？解：（1）∵2a+9是27的立方根，∴，则a＝﹣3．∵a，b互为相反数，∴b＝﹣a＝3．∴AB＝3﹣（﹣3）＝6．（2）①∵点P在射线BA上，它在数轴上对应的数为x．∴线段BP＝3﹣x②当点P在点A右侧时，∵BP＝2AP，∴3﹣x＝2（x+3），解得x＝﹣1．当点P在点A左侧时，∵BP＝2AP，∴3﹣x＝2（﹣3﹣x），解得x＝﹣9．综上，当x＝﹣1或﹣9时，BP＝2AP．24．（6分）（2022秋•永康市期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，∵12＜（）2＜22，∴1＜＜2．于是可以用﹣1来表示的小数部分，又例如：∵22＜（）2＜32，即2＜＜3，∴的整数部分是2，小数部分是﹣2．请解答下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）已知a是3+的整数部分，b是其小数部分，求a﹣b的值．解：（1）∵4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是﹣4；故答案为：4，﹣4；（2）∵2＜＜3，∴5＜3+＜6，∴3+的整数部分a＝5，小数部分b＝3+﹣5＝﹣2，∴a﹣b＝5﹣（﹣2）＝7﹣．25．（8分）（2022秋•新昌县期中）如图1，这是由8个同样大小的立方体组成的魔方，体积为64．（1）求出这个魔方的棱长．（2）图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长．（3）把正方形ABCD放到数轴上，如图2，使得A与﹣1重合，那么D在数轴上表示的数为﹣1﹣2．解：（1）．答：这个魔方的棱长为4．（2）∵魔方的棱长为4，∴小立方体的棱长为2，∴阴影部分面积为：×2×2×4＝8，边长为：＝2．答：阴影部分的面积是8，边长是2．（3）D在数轴上表示的数为﹣1﹣2．故答案为：﹣1﹣2．26．（8分）（2022秋•海曙区期中）对于任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4.1]＝4．（1）则[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12；（2）现对119进行如下操作：119[]＝10[]＝3[]＝1，这样对119只需进行3次操作后变为1．①对15进行1次操作后变为3，对200进行3次操作后变为1；②对实数m恰进行2次操作后变成1．则m最小可以取到4；③若正整数m进行3次操作后变为1，求m的最大值．解：（1）由题意得，[11.8]＝11；[﹣11.9]＝﹣12，故答案为：11；﹣12；（2）①对15进行1次操作后变为[]＝3；200进行第一次操作：[]＝14，第二次操作后：[]＝3，第三次操作后：[]＝1，故答案为：3；1；②∵[x]＝1，∴1≤x＜2，∴1≤＜4，∴1≤m＜16，∵操作两次，∴≥2，∴m≥4，∴4≤m＜16，∴m最小可以取到4；故答案为：4；③∵[x]＝1，∴1≤x＜2，∴1≤＜2，∴1≤m＜4，∴1≤＜16，∴1≤m＜256．∵3次操作，故m≥16．∴16≤m＜256．∵m是整数．∴m的最大值为255．27．（10分）（2022秋•杭州期中）阅读理解：某节数学课上，杜老师在复习数轴上的点与数之间的关系时，给出了以下定义：若A，B，C是数轴上的三个点，如果点C到A的距离等于点C到B的距离，那么我们就称点C是点A，B的中点．例如，如图1，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为3，表示数1的点C到点A的距离是2，到点B的距离是2，那么点C是点A，B的中点．【知识运用】（1）如图2，E、F为数轴上两点，点E所表示的数为﹣4，点F所表示的数为3．数﹣所表示的点是点E，F的中点．（2）①如图3，若数所表示的点G是点M，N的中点，其中点M，N所表示的数分别为m，n．那么m＝1，n＝2﹣1.（只要写出符合条件的一对值即可）．②若数g所表示的点G是点M，N的中点，其中点M，N所表示的数分别为m，n．那么g＝.（用m，n的代数式表示）（3）如图4，A，B为数轴上两点，点A所表示的数为﹣10，点B所表示的数为18．现有一只电子蜗牛P从点A出发，以1个单位每秒的速度向右运动；同时另一只电子蜗牛Q从点B出发，以2个单位每秒的速度向左运动，若点M，N分别是AP和BQ的中点，则在P，Q的运动过程中，当t＝或16秒时，点M，N到原点的距离相等（请直