《三角函数的简单应用》教学设计(安徽省市级优课)-数学教案

1.9三角函数的简单应用教学设计一、教学分析三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,可以用来研究很多问题,在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用.三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过2个例题,循序渐进地从两个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.二、教学目标1、知识与技能：切身感受数学建模的全过程，体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活和其它学科的联系。三、教学重点与难点教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.四、教学过程：三角函数的简单应用一、导入新课思路1.(情景导入)南宋著名诗人王十朋在江心寺题了一副知名对联．上联是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下联是：潮长长长长长长长长消．在这里，诗人王十朋巧妙地运用叠字对联展现了瓯江潮水涨落的壮观画面，当然他对瓯江潮水的描述是感性的，学习三角函数的应用后，我们可以从数学的视角理性地研究有关瓯江潮水涨落的一些实际问题．大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图象与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？回忆必修1第三章第二节“函数模型及其应用”,面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子,来研究这种三角函数模型的简单应用.二、推进新课、新知探究、提出问题①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?③上述的数学模型是怎样建立的?④怎样处理搜集到的数据?活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法.③解决问题的一般程序是:1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求、理解数学关系；2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.④画出散点图,分析它的变化趋势,确定合适的函数模型.三、应用示例例1例1水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，如图是一个水车工作的示意图，它的直径为3m,其中心（即圆心）O距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转，旋转一圈的时间是min.在水车轮边缘上取一点P，点P距水面的高度为h(m).(1)求h与时间t的函数解析式，并作出这个函数的简图.(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时，所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或慢，函数解析式中的参数又会受到怎样的影响？.活动:这道例题是北师大版书上的例一,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究高度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.题目给出了某个时间段的高度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图象的解析式,然后再求函数的周期.教师应引导学生观察思考:“水车加快或慢”实际指的是“函数的周期问题”,可根据前面所学的三角函数图象直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用根据第一小题求出解析式中的未知参数ω，求出利用半周期即可。.解:(1）解:活动与解答:不妨设水面的高度为0,当P点旋转到水面以下时,P点距水面的高度为负值.显然,h与t的函数关系是周期函数的关系.如图2,设水车的半径为R,R=1.5m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2m;∠QOP为α;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T=(min)=80(s),单位时间(s)旋转的角度(rad)为ω,ω==rad/s.为了方便,不妨从P点位于水车轮与水面交点Q时开始计时(t=0),在t时刻水车转动的角度为α,如图2所示,∠QOP=α=ωt=t(rad).过P点向水面作垂线,交水面于M点,PM的长度为P点的高度h.过水车中心O作PM的垂线,交PM于N点,∠QON为φ.从图中不难看出:h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①这是一个由三角函数确定的数学模型.从图中可以看出:sinφ=,所以φ≈53.1°≈0.295πrad.把前面已经确定了的参数α,φ,R和b代入①式,我们就可以得到h=1.5sin(t-0.295π)+1.2(m).②这就是P点距水面的高度h关于时间t的函数解析式.因为当P点旋转到53.1°时,P点到水面的距离恰好是1.2(m),此时t=≈11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间［11.8,91.8］上的简图(如图3):t11.831.851.871.891.8h=1.5sin(t-0.295π)+1.21.22.71.2-0.31.2

如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O与水面距离的改变,而使函数解析式中所加参数b发生变化.水面上涨时参数b减小;水面回落时参数b增大.如果水车轮转速加快,将使周期T减小,转速减慢则使周期T增大.点评:面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的.点评:本例中所给出的一段图象实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.中有两个时间段可以进港,教师应引导学生根据问题的实际意义,对答案的合理性作出解释.例2据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f(x)的解析式为解：∵3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，∴当x=3时，函数有最大值为9；当x=7时，函数有最小值5∴A+B＝9−A+B＝5，可得A＝2B＝7又∵函数的周期T=2（7-3）=8，∴由T=2π/ω，得ω=2π/T=π/4，∵当x=3时，函数有最大值，∴3ω+φ=π/2+2kπ，即3π/4+φ=π/2+2kπ，结合|φ|＜π/2，取k=0，得φ=−π/4∴f（x）的解析式为：f(x)＝2sin(π/4x−π/4)+7.四、课堂小结1.本节课学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图象建立解析式,根据解析式作出图象,将实际问题抽象为与三角函数有