两个单质条件的双射性研究

两个单质条件的双射性研究

0材料中的单位素+环最近，许多作者研究了算子的保积映射，如liexy-y、xy-y、xy-y、xy-y和xy-y。这些积在某些研究领域起着重要的作用。Zhang对因子vonNeumann代数上的非线性保Lie积进行了刻画。Qi得到了因子vonNeumann代数上的非线性强保交换映射是数乘算子和中心之和。An证明了Jordan算子代数上的Jordan可乘映射的可加性。Cui得到了因子vonNeumann代数上保XY-YX*积的双射是*-环同构。设是素*环,即是素环并且具有对合运算。本文中具有中心。设是映射,如果对任意的,满足,则称上Jordan*可乘映射;若满足是A上Jordan*triple可乘映射。文献得到结论:因子vonNeumann代数上保X*Y+YX*积的双射是*环同构。本文考虑素*环上Jordan*可乘双射和Jordan*triple可乘双射。本文的主要结论如下:定理1设是包含非平凡投影P的单位素*环,若双射满足对所有成立,当且仅当ф为*环同构,或*环反同构。定理2设是复数域上包含非平凡投影P的单位素*环。若双射满足对所有成立,当且仅当ф为*同构,或共轭*同构,或*反同构,或共轭*反同构。1a突变线pj+tgai,aii+ajtj在下面的证明中,将反复用到下面的被称之为标准讨论的方法。设。该等式分别左乘和右乘ф(X*)*,得到由于ф保X*Y+YX*积,于是设是任意非平凡投影,P2=I-P1。令,i,j=1,2,则可以分解为因为ф是满射,所以存在,使得对(1)式关于Pj,用标准讨论得到由第一步和ф的单射性,得等式(2)分别左乘Pi,右乘Pi,得Xij=Aij和Xji=0。类似的方法可证Xjj=0。对式(1)关于Tij∈Aij用标准讨论得到等式(3)左乘Pi,右乘Pj,得XiiTij=AiiTij,由此式得Xii=Aii,则X=Aii+Aij。结合(1)式,有对(4)式关于Pi,用标准讨论得到。所以PiX+XPi=X,于是可得Xii=0和Xjj=0。对(4)式用标准讨论知,对所有,有(5)式右乘Pj,可得TjiXij=TjiAij。因此Xij=Aij。取。由第三步得对(6)式关于Pj,用标准讨论得到PjX+XPj=Aij+Aji,进一步,等式左乘Pi,得Xij=Aij。类似可证Xji=Aji和Xjj=0。又由第二步推出对(7)式关于所有,用标准讨论得到TjiX+XTji=TjiAii+TjiAij+AijTji。进一步,此式同时左乘Pj,右乘Pi,得TjiXii+XjjTji=TjiAii,前面已证Xjj=0,于是推出TjiXii=TjiAii。所以Xii=Aii。结合上述结果可得X=Aii+Aij+Aji,则ue788(Aii+Aij+Aji)=ф(Aii)+ф(Aij)+ф(Aji)。对(8)式关于P1,用标准讨论得到P1X+XP1=A11+A12+A11+A21。由此推出X11=A11,X12=A12,X21=A21。又由第四步得对(9)式用标准讨论,得到P2X+XP2=A22+A21+A22+A12。此等式左右同乘P2,得X22=A22,结合上述结果有,X=A11+A12+A21+A22。于是ue788(A11+A12+A21+A22)=ф(A11)+ф(A12)+ф(A21)+ф(A22)。由Aij+Bij=(A*ij+Pj)*(Pi+Bij)+(Pi+Bij)(A*ij+Pj)*和第二步,得下面等式对(10)式关于Pj,用标准讨论得到PjX+XPj=0。则Xij=0,Xji=0,Xjj=0,结合(10)式得对(11)式用标准讨论,得对所有,有ф(XiiTij)=ф(AiiTij)+ф(BiiTij)。由第六步得ф(XiiTij)=ф(AiiTij+BiiTij),则XiiTij=(Aii+Bii)Tij,进一步可得Xii=Aii+Bii。由式(11)得ф(Aii+Bii)=ф(Aii)+ф(Bii)。在式中,令X=I,有ф(2Y)=ф(I)*ф(Y)+ф(Y)ф(I)*。由ф的可加性,得ф(2Y)=ф(I)*ф(Y)+ф(Y)ф(I)*。因为ф是满射,所以存在Y∈A,使得ф(Y)=I。于是ф(I)*=I,所以ф(I)=I。第十步ф为*环同构,或*环反同构。在式。由第九步和ф的可加性,得ф(X*)=ф(X)*,所以ф是可加的Jordan映射,因为素环上的Jordan环同构必定是环同构或环反同构。于是ф为*环同构,或*环反同构。由定理1可得下面推论,即为文献的主要结论。推论1设是因子vonNeumann代数,若双射,满足对所有成立,当且仅当ф为*环同构,或*环反同构。定理2的证明充分性显然,下面证明必要性。(12)式左乘ф(I)-1,得ф(I)*ф(I)=I;右乘ф(I)-1,得ф(I)ф(I)*=I。即ф(I)是酉元。(13)式中取A=I得,对任意有另一方面,在(13)式中取B=I得,对任意有而且对任意,由(13),(14)由文献知,ψ可加。因此ψ为上的Jordan*环同构。下面证明ψ是线性或共轭线性。对,有因为当ρ为有理数时,ψ(ρI)=ρI。对任意的,存在两个有理数序列{rn},{sn},使得{rn}≤λ≤{sn},当n→∞时,有lim{rn}=lim{sn}=λ。因此,由ψ的可加性,得rnI=ψ(rnI)≤ψ(λI)≤ψ(snI)=snI,由夹逼准则,ψ(λI)=λI。而且注意到,即ψ是实线性的。由和(15)得ψ(iI)*ψ(iI)=ψ(iI)ψ(iI)*=-ψ(iI)2=-ψ((iI)2)=I,所以ψ(iI)为酉元。又ψ(A(iI)*+(iI)*A)=-ψ(A)ψ(iI)-ψ(iI)ψ(A)。进一步有由(16)、(18)、(19)式得,ψ(iI)ψ(iA)=ψ(iA)ψ(iI)。由A的任意性得ψ(iI)=±iI,代入(17)得ψ(iA)=±iψ(A)。所以ψ是线性或共轭线性的,因此ψ为*同构,或共轭*同构,或*反同构,或共轭*反同构。又因为ue788(I)是酉元,ф(A)=ψ(A)ф(I),即ф为*同构,或共轭*同构,或*反同构,或共轭*反同构。定理1的证明充分性显然。下面证明必要性。第一步ф(0)=0。因为ф是满射,所以存在取,使得对所有,对