古典概型和几何概型

-.z.一、古典概型1〕根本领件：一次试验中所有可能的结果都是随机事件，这类随机事件称为根本领件．2〕根本领件的特点：①任何两个根本领件是互斥的；②任何事件〔除不可能事件〕都可以表示成根本领件的和．3〕我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，其特征是：①有限性：即在一次试验中所有可能出现的根本领件只有有限个．②等可能性：每个根本领件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．4〕根本领件的探索方法：①列举法：此法适用于较简单的实验．②树状图法：这是一种常用的方法，适用于较为复杂问题中的根本领件探索．5〕在古典概型中涉及两种不通的抽取放方法，以下举例来说明：设袋中有个不同的球，现从中一次模球，每次摸一只，则有两种摸球的方法：①有放回的抽样每次摸出一只后，任放回袋中，然后再摸一只，这种模球的方法称为有放回的抽样，显然对于有放回的抽样，依次抽得球可以重复，且摸球可以无限地进展下去．②无放回的抽样每次摸球后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种模球方法称为五放回抽样，每次摸的球不会重复出现，且摸球只能进展有限次．二、古典概型计算公式1〕如果一次试验中可能出现的结果有个，而且所有结果出现的可能性都相等，则每一个根本领件的概率都是；2〕如果*个事件包括的结果有个，则事件的概率．3〕事件与事件是互斥事件4〕事件与事件可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．古典概型注意：①列举法：适合于较简单的试验．②树状图法：适合于较为复杂的问题中的根本领件的探求．另外在确定根本领件时，可以看成是有序的，如与不同；有时也可以看成是无序的，如与一样．三、几何概型事件理解为区域的*一子区域，的概率只与子区域的几何度量〔长度、面积或体积〕成正比，而与的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．四、几何概型的计算1〕几何概型中，事件的概率定义为，其中表示区域的几何度量，表示区域的几何度量．2〕两种类型线型几何概型：当根本领件只受一个连续的变量控制时．面型几何概型：当根本领件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样根本领件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决．五、几何概型具备以下两个特征：1〕无限性：即每次试验的结果(根本领件)有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；2〕等可能性：即每次试验的各种结果(根本领件)发生的概率都相等．一、古典概型古典概型是根本领件个数有限，每个根本领件发生的概率相等的一种概率模型，其概率等于随机事件所包含的根本领件的个数与根本领件的总个数的比值．【题干】甲、乙、丙、丁个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这个队分成两个组〔每组两个队〕进展比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】D.【解析】甲、乙在同一组：.甲、乙不在同一组，但相遇的概率：.【点评】【题干】有十卡片，分别写有、、、、和、、、、，〔1〕从中任意抽取一，①求抽出的一是大写字母的概率；②求抽出的一是或的概率；〔2〕假设从中抽出两，③求抽出的两都是大写字母的概率；④求抽出的两不是同一个字母的概率；【答案】【解析】【点评】【题干】袋子中装有编号为的个黑球和编号为的个红球，从中任意摸出个球．〔1〕写出所有不同的结果；〔2〕求恰好摸出个黑球和个红球的概率；〔3〕求至少摸出个黑球的概率．【答案】〔1〕；〔2〕；〔3〕.【解析】〔1〕.〔2〕由题意知此题是一个古典概型，试验发生包含了上一问列举的所有结果，记“恰好摸出1个黑球和1红球〞为事件，则事件包含的根本领件为，共6个根本领件，所以.〔3〕试验发生包含的事件共有个，记“至少摸出个黑球〞为事件，则包含的根本领件为，共个根本领件，所以.【点评】步骤：用列举法求出根本领件的总数，求出具体时间包含的根本领件数，根据古典概型求出概率.二、一维情形的几何概型〔长度〕将每个根本领件理解为从*个特定的几何区域随机地取一点，该区域中每一点被取到的时机都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域的*个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解．【题干】在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，.当时，.在区间上随机取一个数，的值介于到之间的概率.【点评】【题干】平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为cm，把一枚半径为cm的硬币任意投掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是()A.B．C．D．【答案】B【解析】为了确定硬币的位置，由硬币中心向靠的最近的平行线引垂线，垂足为；线段长度的取值围就是，只有当时，硬币不与平行线相碰，所以所求事件的概率.【点评】【题干】在区间中任意取一个数，则它与之和大于的概率是______．【答案】【解析】在区间中，任意取一个数，则它与之和大于的满足>，解得，所以，概率为.【点评】【题干】在长为的线段上任取一点，并以线段为边作正方形，则这个正方形的面积介于与之间的概率为〔〕A．B．C．D．【答案】D.【解析】由题意可得此概率是几何概率模型.因为正方形的面积介于与之间，座椅正方形的边长介于到之间，即线段介于到之间，所以的活动围长度为：.由几何概型的概率公式可得.【点评】【题干】*人向一个半径为的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率为〔〕A．B.C．D．【答案】B【解析】整个靶子是如下图的大圆，而距离靶心距离小于2用图中的小圆所示：故此人射击中靶点与靶心的距离小于的概率.【点评】【题干】两根相距的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于的概率为〔〕A.B．C．D．【答案】.【解析】设事件为“灯与两端距离都大于〞，根据题意，事件对应的长度为的局部，因此，事件发生的概率.【点评】三、二维情形的几何概型〔面积〕数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件发生的区域，利用公式可求．【题干】如图，，，，在线段上任取一点，试求：〔1〕为钝角三角形的概率；〔2〕为锐角三角形的概率．【答案】〔1〕〔2〕【解析】如图，由平面几何知识：当时，；当时，，．〔1〕当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形，记“为钝角三角形〞为事件，则，即为钝角三角形的概率为．〔2〕当且仅当点在线段上时，为锐角三角形，记“为锐角三角形〞为事件，则，即为锐角三角形的概率为．【点评】为直角三角形的概率等于，但直角三角形是存在的，因此概率为的事件不一定是不可能事件．【题干】如下图的矩形，长为，宽为，在矩形随机地投掷粒黄豆，数得落在阴影局部的黄豆数为粒，则可以估计出阴影局部的面积约为________．【答案】【解析】设图中阴影局部的面积为，由题意可得，解得.【点评】【题干】小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午到，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为到，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．【答案】【解析】【点评】【题干】在平面直角坐标系中，平面区域中的点的坐标满足，从区域中随机取点．〔1〕假设，，求点位于第四象限的概率；〔2〕直线与圆相交所截得的弦长为，求的概率．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔1〕假设，，则点的个数共有个，列举如下：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，时，点位于第四象限.当点的坐标为，，时，点位于第四象限.故点位于第四象限的概率为.〔2〕由可知区域的面积是.因为直线与圆的弦长为，如图，可求得扇形的圆心角为，所以扇形的面积为，则满足的点构成的区域的面积为，所以的概率为.【点评】【题干】如图，，，，在线段上任取一点，试求：〔1〕为钝角三角形的概率；〔2〕为锐角三角形的概率．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】如图，由平面几何知识：当时，；当时，，.〔1〕当且仅当点在线段或上时，为钝角三角形，记“为钝角三角形〞为事件，则.〔2〕当且仅当点在线段上时，为锐角三角形，记“为锐角三角形〞为事件，则.【点评】【题干】在区间上任取两实数，求二次方程的两根都为实数的概率．【答案】【解析】方程有实根的条件为，即．在平面直角坐标系中，点的取值围为如下图，的正方形的区域，随机事件“方程有实根〞的所围成的区域如下图的阴影局部．易求得．【点评】四、三维情形的几何概型〔体积〕【题干】在中，，过直角顶点作射线交线段于，求使的概率．【答案】.【解析】设事件为“作射线，使〞．在上取点使，因为是等腰三角形，所以，，，所以.【点评】几何概型的关键是选择“测度〞，如本例以角度为“测度〞．因为射线落在的任意位置是等可能的．假设以长度为“测度〞，就是错误的，因在上的落点不是等可能的．【题干】设正四面体的体积为，是正四面体的部的点．〔1〕设“〞的事件为，求概率；〔2〕设“且〞的事件为，求概率．【答案】【解析】【点评】【题干】一只小蜜蜂在一个棱长为的正方体玻璃容器随机飞行．假设蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器个外表中至少有一个的距离不大于，则就有可能撞到玻璃上而不平安；假设始终保持与正方体玻璃容器个外表的距离均大于，则飞行是平安的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器飞行到每一位置可能性一样，则蜜蜂飞行是平安的概率是〔〕A．B．C．D．【答案】C；【解析】容易知道，当蜜蜂在边长为，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体飞行时是平安的．于是平安飞行的概率为．【点评】【题干】在棱长为的正方体中，点为底面的中心，在正方体随机取一点，则点到点的距离大于的概率为________．【答案】【解析】点到点的距离大于的点位于以为球心，以为半径的半球外．记点到点的距离大于为事件，则.【点评】【题干】在棱长为的正方体任取一点，则点到点的距离小于等于的概率为〔〕A.B．C.D．【答案】C【解析】此题是几何概型问题，与点距离等于的点的轨迹是一个八分之一个球面，其体积为：，“点与点距离大于1的概率〞事件对应的区域体积为：，则点到点的距离小于等于的概率为：.【点评】【题干】设正四面体的体积为，是正四面体的部的点．①设“〞的事件为，求概率；②设“且〞的事件为，求概率．【答案】①②【解析】①分别取上的点，并，连结，则平面平面．当在正四面体部运动时〔如图〕，满足，故．②在上取点，使，在上取点，使，在上取点，使，在正四面体部运动时，满足．结合①，当在正四面体的部及正四面体的部运动时，亦即在正四面体部运动时〔是与的交点，是与的交点〕，同时满足且，于是．【点评】五、高考汇编【题干】〔2010年理科3〕盒子中有大小一样的只白球，只黑球，假设从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率________.【答案】【解析】【点评】【题干】〔2010年理科4〕*棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了根棉花纤维的长度〔棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标〕，所得数据都在区间中，其频率分布直方图如下图，则其抽样的根中，有________根在棉花纤维的长度小于.【答案】【解析】【点评】【题干】〔20115〕从，，，这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率是________.【答案】【解析】【点评】【题干】〔20116〕*教师从星期一到星期五收到信件数分别是，，，，，则该组数据的方差________.【答案】【解析】可以先把这组数都减去再求方差，【点评】【