2023-2024学年甘肃省合水县第一中学高二上数学期末达标检测模拟试题含解析

2023-2024学年甘肃省合水县第一中学高二上数学期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则的最小值为（）A. B.C. D.2．已知实数，满足约束条件则的最大值为（）A.10 B.8C.4 D.203．已知抛物线：的焦点为F，准线l上有两点A，B，若为等腰直角三角形且面积为8，则抛物线C的标准方程是（）A. B.C.或 D.4．若椭圆的短轴为,一个焦点为,且为等边三角形的椭圆的离心率是A. B.C. D.5．某企业甲车间有200人，乙车间有300人，现用分层抽样的方法在这两个车间中抽取25人进行技能考核，则从甲车间抽取的人数应为（）A.5 B.10C.8 D.96．在公比为的等比数列中，前项和，则（）A.1 B.2C.3 D.47．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）A. B.C. D.8．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.9．已知三棱锥O­ABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且，用表示，则等于（）A. B.C. D.10．已知双曲线的左焦点为F，O为坐标原点，M，N两点分别在C的左、右两支上，若四边形OFMN为菱形，则C的离心率为（）A. B.C. D.11．在直角坐标系中，直线的倾斜角是A.30° B.60°C.120° D.150°12．已知数列的首项为，且，若，则的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知直线与直线平行，则直线，之间的距离为__________.14．已知双曲线(a，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线l与双曲线的左、右支分别交于点A，B.且|AF2|=|BF2|，则该双曲线的离心率为____________.15．已知函数，则曲线在点处的切线方程为___________16．已知长方体中，，，则点到平面的距离为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆过点，，且圆心在直线：上.（1）求圆的方程；（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.18．（12分）某市共有居民60万人，为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照，，……分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图（1）求直方图中的a值，并估计该市居民月均用水量不少于3吨的人数（单位：人）；（2）估计该市居民月均用水量的众数和中位数19．（12分）已知命题p：实数x满足（其中）；命题q：实数x满足（1）若，为真命题，求实数x的取值范围；（2）若p是q的充分条件，求实数的取值范围20．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O为底面正方形ABCD对角线的交点，E为PD的中点，且PA=AD.（1）求证：PB∥平面EAC；（2）求直线BD与平面EAC所成角的正弦值.21．（12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.(1)证明：PB∥平面AEC(2)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积22．（10分）已知，，其中.（1）求的值；（2）设（其中、为正整数），求的值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】将代数式展开，然后利用基本不等式可求出该代数式的最小值.【详解】，，由基本不等式得，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故选B.【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式时要注意“一正、二定、三相等”条件的成立，考查计算能力，属于中等题.2、A【解析】根据约束条件作出可行域，再将目标函数表示的一簇直线画出向可行域平移即可求解.【详解】作出可行域，如图所示转化为，令则，作出直线并平移使它经过可行域点，经过时，，解得，所以此时取得最大值，即有最大值，即故选：A.3、C【解析】分或（）两种情况讨论，由面积列方程即可求解【详解】由题意得，当时，，解得；当或时，，解得，所以抛物线的方程是或.故选：C.4、B【解析】因为为等边三角形,所以.考点：椭圆的几何性质.点评：椭圆图形当中有一个特征三角形，它的三边分别为a,b,c.因而可据此求出离心率.5、B【解析】根据分层抽样的定义即可求解.【详解】从甲车间抽取的人数为人故选：B6、C【解析】先利用和的关系求出和，再求其公比.【详解】由，得，，所以，，则.故选：C.7、D【解析】由题意得当时，，根据题意作出函数的部分图象，再结合图象即可求出答案【详解】解：当时，，又，∴当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且；又，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的倍，作出其大致图象得，当时，由得，或，由图可知，若对任意，都有，则，故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题8、B【解析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案.【详解】由已知条件得的圆心坐标为，圆心到直线为，∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.故选：.9、D【解析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算可得结果.【详解】.故选：D10、C【解析】由题意可得且，从而求出点的坐标，将其代入双曲线方程中，即可得出离心率.【详解】由题意，四边形为菱形，如图，则且，分别为的左，右支上的点，设点在第二象限，在第一象限.由双曲线的对称性，可得，过点作轴交轴于点，则，所以,则，所以，所以，则，即，解得，或，由双曲线的离心率，所以取，则故选：C11、D【解析】根据直线方程得到直线的斜率后可得直线的倾斜角.【详解】设直线的倾斜角为，则，因，故，故选D.【点睛】直线的斜率与倾斜角的关系是：，当时，直线的斜率不存在，注意倾斜角的范围.12、C【解析】由题意，得到，利用叠加法求得，结合由，转化为恒成立，分，和三种情况讨论，即可求解.【详解】因为，可得，所以，所以，各式相加可得，所以，由，可得恒成立，整理得恒成立，当时，，不等式可化为恒成立，所以；当时，，不等式可化为恒成立；当时，，不等式可化为恒成立，所以，综上可得，实数的取值范围是.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式即可得出【详解】解：因为直线与直线平行，所以，解得，当时，，，则故答案为：【点睛】熟练运用直线平行与斜率之间的关系、点到直线的距离公式，是解题关键14、【解析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的关系，再由离心率公式可得所求值【详解】过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，因为直线l的倾斜角为，所以在直角三角形F1F2N中，，由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，则，故答案为：15、【解析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，利用点斜式求切线方程.【详解】解：因，所以，又故切线方程为，整理为，故答案为：16、##2.4【解析】过作于，可证即为点到平面的距离.【详解】过作于，∵是长方体，∴平面平面，又∵平面平面，∴平面，设点到平面的距离为，∵∥平面，∴根据等面积法得，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】(1)根据题意设圆心，利用两点坐标公式求距离公式表示出，解出，确定圆心坐标和半径，进而得出圆的标准方程；(2)根据点关于坐标轴对称的点的特征可得，利用直线的两点式方程即可得出结果.【小问1详解】圆过点，，因为圆心在直线：：上，设圆心，又圆过点，，所以，即，解得，所以，所以故圆的方程为：；【小问2详解】点关于轴的对称点，则反射光线必经过点和点，由直线的两点式方程可得，即：.18、（1）a0.3，72000人；（2）众数2.25；中位数2.04.【解析】（1）根据所有小长方形面积和为1即可求得参数，结合题意求得用水量不少于3吨对应的频率，再求频数即可；（2）根据频率分布直方图直接写出众数，根据中位数的求法，结合频率的计算，即可容易求得结果.【小问1详解】由频率分布直方图，可知：，解得；月均用水量不少于3吨的人数为：（人）【小问2详解】由图可估计众数为2.25；设中位数为x吨，因为前5组的频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5，而前4组频率之和0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5，所以2≤x<2.5，由，可得，故居民月均用水量的中位数为2.04吨.19、（1）（2）【解析】（1）由得命题p：，然后由为真命题求解；（2）由得，再根据是的充分条件求解.小问1详解】当时，，解得：，由为真命题，，解得；【小问2详解】由（其中）可得，因为是的充分条件，则，解得：20、（1）证明见解析（2）【解析】（1）利用线面平行的判断定理，证明线线平行，即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小问1详解】连结EO，由题意可得O为BD的中点，又E是PD的中点，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小问2详解】如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设AD=2，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，设平面EAC的法向量为=(x，y，z)，则，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一个法向量为=(-1，1，-1)，∴设直线BD与平面EAC所成的角为θ，则sinθ=∴直线BD与平面EAC所成的角的正弦值.21、【解析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E-ACD的体积试题解析：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD中点又E为PD的中点，所以EO∥PB.因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC.(2)因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直如图，以A为坐标原点，，AD，AP的方向为x轴y轴z轴的正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系A­xyz，则D，E，＝.设B(m，0，0)(m>0)，则C(m，，0)，＝(m，，0)设n1＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，则即可取n1＝