磁偏转问题中确定圆心的几种方法

磁偏转问题中确定圆心的几种方法山东莘县第一中学郭英进（252400）带电粒子在磁场中的偏转问题，是典型的力学、电磁学相结合的综合题，此类问题在历年全国和各省、市高考中经常出现。解决匀强磁场中的带电粒子，只在洛伦兹力作用下，做圆周或圆弧运动这类问题的思路是：运用平面几何知识，确定圆心的位置，根据r=mv/qB作出粒子的运动轨迹（圆周或圆弧），再根据长度、角度关系和相关物理规律列方程进行求解。其中确定圆心的位置，是解决此类问题的关键，那么如何快速准确地确定圆心呢？一、数学模型：由过圆的切线、弦确定圆心的三条线（如右图所示）TOC\o"1-5"\h\z（1）已知圆的切线，过切点作它垂线，垂线过圆心O。 c（2） 已知圆上的弦AB，作弦的中垂线，中垂线过圆心O。（3）已知圆的两条切线，切线夹角的角平分线过圆心o。 /vyS二、应用举例： （（一）由两速度的垂线定圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，轨迹上任意两点处的速度方向必沿圆的两条切线方向。由数学模型（1）知，过这两点分别作速度的垂线，则两垂线的交点就是圆心。例1（08年高考理综宁夏卷）如图1-1所示，在xOj平面的第一象限有一匀强电场，电场的方向平行于J轴向下;在X轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的大小为8,方向垂直于纸面向外。有一质量为m，带有电荷量+q的质点由电场左侧平行于x轴射入电场。质点到达x轴上A点时，速度方向与x轴的夹角平，A点与场。不计重力影响。若OC与x轴的夹角为平，求场。不计重力影响。若OC与x轴的夹角为平，求（1）粒子在磁场中运动速度的大小;（2）匀强电场的场强大小。解析：（1）质点在磁场中的轨迹为一圆弧。由于质点飞离磁场时，速度垂直于OC，故圆弧的圆心在OC上。依题意，质点轨迹与x轴的交点为A，过A点作与A点的速度方向垂直的直线，与OC交于O'，则AOZ垂直于CO'，则O'就是圆弧的圆心。设圆弧的半径A=dsin中由洛伦兹力公式和牛顿第二定律得TOC\o"1-5"\h\z八 V2qvB=m— ②.. .一-将①式代入②式，得v=^B-sin中 ③m（2）质点在电场中的运动为类平抛运动。设质点射入电场的速度为v0,在电场中的加速度为①运动时间为，，则有v0=vcos中 ④vsin^=at ⑤d=v0t ⑥联立④⑤⑥得v2sinecosea=—d⑦设电场强度的大小为E,由牛顿第二定律得qE=ma ⑧联立③⑦⑧得qB2d.E= sin3ecose ⑨m（二）由两条弦的垂直平分线定圆心带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，若已知圆轨迹上的三个点，则过这三点可作三条弦。由数学模型（2）知，任意两条弦的中垂线交点就是圆心。例2如图2-1所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直纸面向里。一质量为m、带电荷量为+q的粒子，从O点以某一初速度垂直射入磁场，其轨迹与x、y轴的交点A、B到O点的距离分别为a、b。试求：（1）初速度方向与x轴夹角；（2）初速度的大小。

图2-1 图2-2解析：(1)粒子垂直射入磁场，在xOy平面内做匀速圆周运动，如图2-2所示，OA、OB是圆周上的两条弦。做两条弦的垂直平分线，交点O'即为圆轨迹的圆心，以O'为圆心，OO'=R为半径画圆。粒子在O点所受洛伦兹力F的方向(沿OO'指向圆心)和粒子的初速度u的方向(与FOO'垂直斜向上)，也在图上标出。设初速度方向与x轴的夹角为6，由几何关系可知，ZO'OD=0。在直角三角形OO'D中，有tan0=(a/2)/(b/2)=a/b故0=arctan(a/b)(2)由直角三角形OO'D，粒子的轨道半径Rf(a/2)2+(b/2)2粒子在磁场中运动时，有qvB=mv2/R由上述两式可得v=qBfa2+b2/(2m)由两切线夹角的角平分线和半径共同定圆心带电粒子在匀强磁场中做半径为r的匀速圆周运动时，粒子在任两点处的速度方向必沿轨迹圆的两条切线方向。由模型(3)和有关数学知识知，两切线夹角的角平分线上到两切线距离均为r的点就是圆心。

例3如图3-1所示，一带电质点，质量为m,电荷量为q,以平行于Ox轴的速度V从y轴上的a点射入图中第一象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于Ox轴的速度V射出，可在适当的地方加一个垂直于xy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，试求这圆形磁场区域的最小半径。重力忽略不计。图3-1图3-2图3-1图3-2解析：带电质点在匀强磁场中作匀速圆周运动，其半所=*。依题意，质点在磁场区运动轨迹应是以R为半径的1/4圆周。该圆周同时与过a点和b点的速度V的方向相切，过a、b分别作平行x、y轴直线，两直线夹角的角平分线过圆心0'。角平分线上与这两直线间距均为R的点就是该圆的圆心O'。，如图3-2所示，。带电质点在磁场中运动轨迹为图3-2中以0,为圆心，半径为R的圆上MN之间的1/4圆周，M、N两点应处于所求圆形磁场的边界上。在过M、N两点的不同半径的圆周中，以MN为直径的圆周为最小。，如图中的小圆所示，其半径为r=!MN=：t'R2+R2=WR=W—^2 2 2 2qB（四）综合定圆心确定圆心，还可综合运用上述方法：从一条切线过切点的垂线，一条弦的垂直平分线，两切线夹角的角平分线中，任选其中两条都可定出圆心。例4.一匀强磁场，磁场方向垂直于xj平面，在xj平面上，磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内。一个质量为—、电荷量为q的带电粒子，由原点O开始运动，初速为V，方向沿x正方向。后来，粒子经过j轴上的P点，此时速度方向与j轴的夹角为30°，P到O的距离为L，如图所示。不计重力的影响。求磁场的磁感强度B的大小和xj平面上磁场区域的半径R。

图4-2图图4-2解析：粒子在磁场中轨迹的圆心&必在与初速度垂直的y轴上。过P点沿速度方向作延长线，它与x轴相交于Q点，PQ和OQ为轨迹圆的切线。角OQP的平分线与y轴交点C就是轨迹圆圆心。过C作PQ的垂线CA,垂足A即粒子离开磁场区的地点，如图4-2所示。粒子在磁场中受洛伦兹力作用，做匀速圆周运动，其半径为r，故有八U2

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