人教版高中物理新教材同步讲义必修第二册 第6章 专题强化　竖直面内的圆周运动（含解析）

竖直面内的圆周运动[学习目标]掌握竖直面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型的分析方法．一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型导学探究如图所示，甲图中小球受绳拉力和重力作用，乙图中小球受轨道的弹力和重力作用，在竖直面内做圆周运动，小球在绳、轨道的限制下不能远离圆心且在最高点无支撑，我们称这类运动为“轻绳模型”．1．小球在竖直平面内的运动是匀速圆周运动吗？答案不是2．小球运动到最高点时向心力由什么力来提供？绳上拉力(或轨道的弹力)与速度有何关系？答案由重力和绳的拉力(或轨道的弹力)的合力提供最高点：F＋mg＝meq\f(v2,r)所以F＝meq\f(v2,r)－mg3．试分析小球通过最高点的最小速度．答案由于绳(轨道)不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力(弹力)，由F＋mg＝meq\f(v2,r)可知，当F＝0时，v最小，最小速度为v＝eq\r(gr).4．分析小球通过最高点时绳上拉力与速度的关系．答案(1)v＝eq\r(gr)时，mg＝meq\f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，小球所受绳的拉力(或轨道的压力)为零．(2)v<eq\r(gr)时，mg>meq\f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球脱离圆轨道，不能到达最高点．(3)v>eq\r(gr)时，mg<meq\f(v2,r)，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或轨道的支持力)，重力和拉力(或轨道的支持力)的合力充当向心力，mg＋F＝meq\f(v2,r).例1如图所示，长度为L＝0.4m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球的质量为m＝0.5kg，小球半径不计，g取10m/s2，求：(1)小球刚好通过最高点时的速度大小；(2)小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，绳的拉力大小；(3)若轻绳能承受的最大张力为45N，小球运动过程中速度的最大值．答案(1)2m/s(2)15N(3)4eq\r(2)m/s解析(1)小球刚好能够通过最高点时，恰好只由重力提供向心力，故有mg＝meq\f(v12,L)，解得v1＝eq\r(gL)＝2m/s.(2)小球通过最高点时的速度大小为4m/s时，拉力和重力的合力提供向心力，则有FT＋mg＝meq\f(v22,L)，解得FT＝15N.(3)分析可知小球通过最低点时绳张力最大，速度最大，在最低点由牛顿第二定律得FT′－mg＝eq\f(mv32,L)，将FT′＝45N代入解得v3＝4eq\r(2)m/s，即小球的速度的最大值为4eq\r(2)m/s.针对训练1一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图所示，水的质量m＝0.5kg，水的重心到转轴的距离l＝50cm.(g取10m/s2)(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留三位有效数字)(2)若在最高点水桶的速率v＝3m/s，求水对桶底的压力大小．答案(1)2.24m/s(2)4N解析(1)以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小．此时有：mg＝meq\f(v02,l)，则桶的最小速率为：v0≈2.24m/s.(2)因v＞v0，故此时桶底对水有向下的压力，设为FN，由牛顿第二定律有：FN＋mg＝meq\f(v2,l)，代入数据可得：FN＝4N.由牛顿第三定律知，水对桶底的压力大小：FN′＝4N.二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型导学探究如图所示，细杆上固定的小球和在光滑管形轨道内运动的小球在重力和杆(管道)的弹力作用下在竖直平面内做圆周运动，这类运动称为“轻杆模型”．1．试分析小球通过最高点的最小速度．答案由于杆(或管道)在最高点处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.2．分析小球在最高点时杆上的力(或管道的弹力)随速度的变化．答案(1)v＝eq\r(gr)时，mg＝meq\f(v2,r)，即重力恰好提供小球所需要的向心力，轻杆(或圆管)与小球间无作用力．(2)v<eq\r(gr)时，mg>meq\f(v2,r)，即重力大于小球所需要的向心力，小球受到向上的支持力F，mg－F＝meq\f(v2,r)，即F＝mg－meq\f(v2,r)，v越大，F越小．(3)v>eq\r(gr)时，mg<meq\f(v2,r)，即重力小于小球所需要的向心力，小球还要受到向下的拉力(或压力)F.重力和拉力(或压力)的合力充当向心力，mg＋F＝meq\f(v2,r)，即F＝meq\f(v2,r)－mg，v越大，F越大．例2(2021·江苏高邮中学高一期末)有一轻质杆长L为0.5m，一端固定一小球质量m为0.5kg，杆绕另一端在竖直面内做圆周运动．(g＝10m/s2)(1)当小球在最高点时刚好对杆无作用力，求此时的速度大小；(2)当小球运动到最高点速率分别为1m/s和4m/s时，求小球对杆的作用力；(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41N，求小球运动的速率．答案(1)eq\r(5)m/s(2)4N，方向向下11N，方向向上(3)6m/s解析(1)小球在最高点时刚好对杆无作用力，此时重力提供向心力有mg＝meq\f(v12,L)，代入数据解得v1＝eq\r(gL)＝eq\r(5)m/s(2)当小球运动到最高点速率为1m/s时，此时小球A受到杆向上的支持力．根据牛顿第二定律可得：mg－F1＝meq\f(v22,L)，代入数据得：F1＝4N，根据牛顿第三定律可得小球对杆的作用力为4N，方向向下；当小球运动到最高点速率为4m/s时，此时小球A受到杆向下的拉力，根据牛顿第二定律F2＋mg＝meq\f(v32,L)，代入数据解得F2＝11N，根据牛顿三定律可得小球对杆的作用力为11N，方向向上；(3)当小球运动到最低点时，小球受杆的拉力为41N，由牛顿第二定律有F－mg＝meq\f(v42,L)，代入数据解得v4＝6m/s.针对训练2(多选)如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动．当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与过最高点时小球的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)．MN为通过圆心的一条水平线．不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g.则下列说法中正确的是()A．管道的半径为eq\f(b,g)B．小球的质量为eq\f(a,g)C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力答案AB解析由题图乙可知，当v2＝b，FN＝0时，mg＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(b,g)，故A正确；当v2＝0时，mg＝a，所以m＝eq\f(a,g)，故B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有力，故C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故可能是外侧管壁受力，也可能是内侧管壁对小球有作用力，还可能均无作用力，故D错误．1.如图所示，质量为m的小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动．圆环半径为R，小球半径不计，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过最高点时下列表述不正确的是(重力加速度为g)()A．小球对圆环的压力大小等于mgB．重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力C．小球的线速度大小等于eq\r(gR)D．小球的向心加速度大小等于g答案A解析因为小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，故在最高点时小球对圆环的压力为零，选项A错误；此时小球只受重力作用，即重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力，则有mg＝meq\f(v2,R)＝ma，即v＝eq\r(gR)，a＝g，选项B、C、D正确．2.(多选)(2021·河北高二学业考试)如图所示，轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个小球，轻杆随转轴在竖直平面内做圆周运动，当小球运动至最高点时，轻杆对小球的作用力()A．方向一定竖直向上B．方向可能竖直向下C．大小可能为0D．大小不可能为0答案BC解析设杆长为R，当重力刚好提供小球做圆周运动的向心力时，杆对小球无作用力，此时有mg＝meq\f(v2,R)，解得v＝eq\r(gR)，当v>eq\r(gR)时，杆对小球提供拉力，当v<eq\r(gR)时，杆对小球提供支持力，故B、C正确，A、D错误．3．(2021·济南市山东师范大学附中高一期中)游客乘坐过山车，在圆弧轨道上做匀速圆周运动，且在最低点处获得的向心加速度为10m/s2，g取10m/s2，那么运动到此位置时座椅对游客的作用力相当于游客重力的()A．1倍B．2倍C．3倍D．4倍答案B解析根据牛顿第二定律得FN－mg＝ma解得FN＝mg＋ma＝2mg，B正确．4.在游乐园乘坐如图所示的过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内沿圆周轨道运动，已知重力加速度为g，下列说法正确的是()A．车在最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，若没有保险带，人一定会掉下去B．人在最高点时对座位仍会产生压力，但压力一定小于mgC．人在最高点和最低点时的向心加速度大小相等D．人在最低点时对座位的压力大于mg答案D解析过山车上人经过最高点及最低点时，受力如图，在最高点，由mg＋FN＝meq\f(v12,R)，可得：FN＝m(eq\f(v12,R)－g)①在最低点，由FN′－mg＝meq\f(v22,R)，可得：FN′＝m(eq\f(v22,R)＋g)②当v1≥eq\r(gR)时，在最高点无保险带也不会掉下，且还可能会对座位有压力，大小因v1而定，A、B错误．人在最高点、最低点两处向心加速度大小不相等，C错误．由②式知，在最低点FN′＞mg，根据牛顿第三定律知，D正确．5.如图所示，某轻杆一端固定一质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动，重力加速度为g，以下说法中正确的是()A．小球过最高点时，杆所受的弹力不可以为零B．小球过最高点时，最小速度为eq\r(gR)C．小球过最低点时，杆对球的作用力不一定与小球所受重力方向相反D．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与球所受重力方向相反，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力答案D解析小球在最高点时，如果速度恰好为eq\r(gR)，则此时恰好只有重力提供向心力，杆和球之间没有作用力，杆所受弹力为0，如果速度小于此值，重力大于所需要的向心力，杆就要对球有支持力，方向与重力的方向相反，杆的作用力F＝mg－eq\f(mv2,R)，此时重力一定大于或等于杆对球的作用力，故A、B错误，D正确；小球过最低点时，杆对球的作用力方向竖直向上，与重力方向一定相反，故C错误．6.杂技演员表演“水流星”，在长为1.6m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5kg的大小不计的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4m/s，则下列说法正确的是(g取10m/s2)()A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5N答案B解析“水流星”在最高点的临界速度v＝eq\r(gL)＝4m/s，由此知绳的拉力恰好为零，“水流星”的重力提供向心力，则水恰好不流出，容器底部受到的压力为零，故选B.7．如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT－v2图像如图乙所示，则()A．数据a与小球的质量无关B．当地的重力加速度为eq\f(m,a)C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为eq\f(ac,b)＋aD．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等答案D解析设绳长为R，由牛顿第二定律知小球在最高点满足FT＋mg＝meq\f(v2,R)，即FT＝eq\f(m,R)v2－mg，由题图乙知a＝mg，b＝gR，所以g＝eq\f(a,m)，R＝eq\f(mb,a)，A、B错；当v2＝c时，有FT1＋mg＝meq\f(c,R)，将g和R的值代入得FT1＝eq\f(ac,b)－a，C错；当v2＝2b时，由FT2＋mg＝meq\f(2b,R)可得FT2＝a＝mg，故拉力与重力大小相等，D对．8．(2022·扬州中学高一开学考试)如图甲，滚筒洗衣机脱水时，衣物紧贴着滚筒壁在竖直平面内做顺时针的匀速圆周运动．如图乙，一件小衣物(可理想化为质点)质量为m，滚筒半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，a、b分别为小衣物经过的最高位置和最低位置．下列说法正确的是()A．衣物所受滚筒的支持力的大小始终为mω2RB．衣物转到b位置时的脱水效果最好C．衣物所受滚筒的作用力大小始终为mgD．衣物在a位置对滚筒壁的压力比在b位置的大答案B解析衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，故在转动过程中，根据牛顿第二定律可知衣物所受合力的大小始终为F合＝mω2R，以a、b为例，由于重力方向始终竖直向下，向心力方向始终指向圆心，可知衣物所受滚筒的支持力的大小不相等，故A错误；设在a、b两点的支持力分别为FN1和FN2，根据牛顿第二定律有mg＋FN1＝meq\f(v2,R)，FN2－mg＝meq\f(v2,R)，可知FN1<FN2，所以衣物对滚筒壁的压力在a位置比在b位置的小，衣物做匀速圆周运动，所需的向心力相同，对筒壁的压力不同，在b点最大，脱水效果最好，故B正确，D错误；衣物随滚筒一起做匀速圆周运动，在转动过程中，衣物所受的重力与所受滚筒的作用力的合力大小不变而方向不断变化，所以衣物所受滚筒的作用力大小是在不断变化的，故C错误．9．(2022·长春市第二中学高一期末)如图甲所示，轻杆的一端固定一小球(可视为质点)，另一端套在光滑的水平轴O上，O轴的正上方有一速度传感器，可以测量小球通过最高点时的速度大小v，O轴处有一力传感器，可以测量小球通过最高点时O轴受到的杆的作用力F，若取竖直向下为F的正方向，在最低点时给小球不同的初速度，得到的F－v2(v为小球在最高点处的速度)图像如图乙所示，取g＝10m/s2，则()A．小球恰好通过最高点时的速度大小为5m/sB．小球在最高点的速度大小为eq\r(15)m/s时，杆对球的作用力为支持力C．小球的质量为3kgD．O轴到小球的距离为0.5m答案D解析由于是球杆模型，小球恰好通过最高点时的速度为零，A错误；当小球通过最高点的速度为零时，杆对小球的支持力恰好等于小球的重力，由题图乙可知，小球的重力为3N，即质量为0.3kg，C错误；由题图乙可知，当小球以v2＝5m2/s2通过最高点时，恰好对杆没有作用力，此时重力提供向心力，设O轴到小球的距离为L，根据mg＝meq\f(v2,L)，得L＝0.5m，故D正确；当小球以eq\r(15)m/s的速度通过最高点时，根据mg＋F＝meq\f(v2,L)，可得F＝6N，此时杆对球的作用力是向下的拉力，大小为6N，故B错误．10.(2021·江苏响水中学高一期末)如图所示，一个可以视为质点的小球质量为m，以某一初速度冲上光滑半圆形轨道，轨道半径为R＝0.9m，直径BC与水平面垂直，小球到达最高点C时对轨道的压力是其重力的3倍，重力加速度g＝10m/s2，忽略空气阻力，求：(1)小球通过C点的速度大小；(2)小球离开C点后在空中的运动时间是多少；(3)小球落地点距B点的距离．答案(1)6m/s(2)0.6s(3)3.6m解析(1)小球通过最高点C，重力和轨道对小球的支持力的合力提供向心力，有F＋mg＝meq\f(vC2,R)，F＝3mg解得vC＝6m/s(2)小球离开C点后在空中做平抛运动，竖直方向有2R＝eq\f(1,2)gt2解得t＝0.6s(3)水平方向有x＝vCt＝3.6m.11．(2022