2023-2024学年江苏省扬州市梅岭中学高二数学第一学期期末监测模拟试题含解析

2023-2024学年江苏省扬州市梅岭中学高二数学第一学期期末监测模拟试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．双曲线的离心率的取值范围为，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.2．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上的一点，点是线段的中点，为坐标原点，若，则（）A.3 B.4C.6 D.113．设拋物线的焦点为F，准线为l，P为拋物线上一点，，A为垂足．如果直线AF的斜率是，那么（）A B.C.16 D.84．函数在的最大值是（）A. B.C. D.5．设，若直线与直线平行，则的值为（）A. B.C.或 D.6．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A. B.C. D.7．设为等差数列的前项和，，，则A.-6 B.-4C.-2 D.28．在空间直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为（）A. B.C. D.9．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD，，，点E为PA的中点，，，，则点B到平面PCD的距离为（）A. B.C. D.10．已知函数，若在处取得极值，且恒成立，则实数的最大值为（）A. B.C. D.11．设正实数，满足(其中为正常数)，若的最大值为3，则（）A.3 B.C. D.12．如图①所示，将一边长为1的正方形沿对角线折起，形成三棱锥，其主视图与俯视图如图②所示，则左视图的面积为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在等比数列中，，，若数列满足，则数列的前项和为________14．希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A(-2，1)，B(-2，4)，点P是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________________；若点Q为抛物线E：y2=4x上的动点，Q在直线x=-1上的射影为H，则的最小值为___________.15．如图是某赛季CBA广东东莞银行队甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙比赛得分的中位数之和是______.16．已知椭圆的长轴在轴上，若焦距为4，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足，且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式;（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.18．（12分）已知点，.（1）求以为直径的圆的方程；（2）若直线被圆截得的弦长为，求值19．（12分）已知数列的前n项和为，且（1）求证：数列为等比数列；（2）记，求数列的前n项和为20．（12分）已知点，点为直线上的动点，过作直线的垂线，线段的中垂线与交于点.（1）求点的轨迹的方程；（2）若过点直线与曲线交于，两点，求与面积之和的最小值.（为坐标原点）21．（12分）新型冠状病毒的传染主要是人与人之间进行传播，感染人群年龄大多数是岁以上人群.该病毒进入人体后有潜伏期.潜伏期是指病原体侵入人体至最早出现临床症状的这段时间.潜伏期越长，感染到他人的可能性越高.现对个病例的潜伏期(单位：天)进行调查，统计发现潜伏期平均数为，方差为.如果认为超过天的潜伏期属于“长潜伏期”，按照年龄统计样本，得到下面的列联表：年龄/人数长期潜伏非长期潜伏50岁以上6022050岁及50岁以下4080（1）是否有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）假设潜伏期服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）现在很多省市对入境旅客一律要求隔离天，请用概率知识解释其合理性；（ii）以题目中的样本频率估计概率，设个病例中恰有个属于“长期潜伏”的概率是，当为何值时，取得最大值.附：0.10.050.0102.7063.8416.635若，则，，.22．（10分）已知在数列中，，且.（1）求，，并证明数列是等比数列；（2）求的通项公式及前n项和.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】分析可知，利用双曲线的离心率公式可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围.【详解】由题意有，，则，解得：故选：C.2、A【解析】利用椭圆的定义可得，再结合条件即求.【详解】由椭圆的定义可知，因为，所以，因为点分别是线段，的中点，所以是的中位线，所以.故选：A.3、D【解析】由题可得方程，进而可得点坐标及点坐标，利用抛物线定义即求【详解】∵抛物线方程为，∴焦点F(2,0)，准线l方程为x=−2，∵直线AF的斜率为,直线AF的方程为，由，可得，∵PA⊥l，A为垂足，∴P点纵坐标为，代入抛物线方程，得P点坐标为，∴.故选：D.4、C【解析】利用函数单调性求解.【详解】解：因为函数是单调递增函数，所以函数也是单调递增函数，所以.故选：C5、C【解析】根据直线的一般式判断平行的条件进行计算.【详解】时，容易验证两直线不平行，当时，根据两直线平行的条件可知：，解得或.故选：C.6、D【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.7、A【解析】由已知得解得故选A考点：等差数列的通项公式和前项和公式8、C【解析】根据点关于原点对称的性质即可知答案.【详解】由点关于原点对称，则对称点坐标为该点对应坐标的相反数，所以.故选：C9、D【解析】为中点，连接，易得为平行四边形，进而可知B到平面PCD的距离即为到平面PCD的距离，再由线面垂直的性质确定线线垂直，在直角三角形中应用勾股定理求相关线段长，即可得△为直角三角形，最后应用等体积法求点面距即可.【详解】若为中点，连接，又E为PA的中点，所以，，又，，则且，所以为平行四边形，即，又面，面，所以面，故B到平面PCD的距离，即为到平面PCD的距离，由底面ABCD，面ABCD，即，，，又，即，，则面，面，即，而，，，，易知：，在△中；在△中；在△中；综上，，故，又，则.所以B到平面PCD的距离为.故选：D10、D【解析】根据已知在处取得极值，可得，将在恒成立，转化为，只需求，求出最小值即可得答案【详解】解：，，由在处取得极值，得，解得，所以，，其中，.当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，故函数在处取得极小值，，恒成立，转化为，令，，则，，令得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，即得，故选：D11、D【解析】由于，，为正数，且，所以利用基本不等式可求出结果【详解】解：因为正实数，满足(其中为正常数)，所以，则，所以，所以故选：D.12、A【解析】由视图确定该几何体的特征，即可得解.【详解】由主视图可以看出，A点在面上的投影为的中点，由俯视图可以看出C点在面上的投影为的中点，所以其左视图为如图所示的等腰直角三角形，直角边长为，于是左视图的面积为故选：A.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出等比数列的通项公式，可得出的通项公式，推导出数列为等差数列，利用等差数列的求和公式即可得解.【详解】设等比数列的公比为，则，则，所以，，则，所以，数列为等差数列，故数列的前项和为.故答案为：.14、①.②.【解析】（1）利用直译法直接求出P点的轨迹（2）先利用阿氏圆的定义将转化为P点到另一个定点的距离，然后结合抛物线的定义容易求得的最小值【详解】设P（x，y），由阿氏圆的定义可得即化简得则设则由抛物线的定义可得当且仅当四点共线时取等号，的最小值为故答案为：【点睛】本题考查了抛物线的定义及几何性质，同时考查了阿氏圆定义的应用．还考查了学生利用转化思想、方程思想等思想方法解题的能力．难度较大15、58【解析】分别将甲、乙两名运动员的得分按小到大或者大到小排序，分别确定中位数，再相加即可【详解】因为甲、乙两名篮球运动员各参赛11场，故中位数是第6个数甲的得分按小到大排序后为：12,22,23,32,33,34,35,40,43,44,46，所以，中位数为34乙的得分按小到大排序后为：12,13,21,22,23,24,31,31,34,40,49所以，中位数为24所以，中位数之和为34+24＝58，故答案为：5816、8【解析】根据椭圆方程列方程，解得结果.【详解】因为椭圆的长轴在轴上，焦距为4，所以故答案为：8【点睛】本题考查根据椭圆方程求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）；或【解析】（1）由题意得到数列为公差为的等差数列，结合，，成等比数列，列出方程求得，即可得到数列的通项公式；（2）由，得到时，，当时，，当时，，结合等差数列的求和公式，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列满足，所以数列为公差为的等差数列，又由，，成等比数列，可得，即，解得，所以数列的通项公式.【小问2详解】解：由数列的通项公式，令，即，解得，所以当时，；当时，；当时，，所以当或时，取得最小值，最小值为.18、(1).(2)或【解析】（1）根据题意，有A、B的坐标可得线段AB的中点即C的坐标，求出AB的长即可得圆C的半径，由圆的标准方程即可得答案；（2）根据题意，由直线与圆的位置关系可得点C到直线x﹣my+1＝0的距离d，结合点到直线的距离公式可得，解可得m的值，即可得答案【详解】（1）根据题意，点，，则线段的中点为，即的坐标为；圆是以线段为直径的圆，则其半径，圆的方程为.（2）根据题意，若直线被圆截得的弦长为，则点到直线的距离，又由，则有，变形可得：，解可得或【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及弦长的计算，涉及圆的标准方程，属于基础题19、（1）证明见解析;（2）.【解析】（1）由已知得，当时，两式作差整理得，根据等比数列的定义可得证；（2）由（1）求得，，再运用错位相减法可求得答案.【小问1详解】证明：因为，……①，所以当时，，当时……②，则①-②可得，所以，因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】解：由（1）知，即，因为所以，则……①，①得……②，①-②得，所以.20、（1）（2）【解析】（1）根据抛物线的定义可得轨迹方程；（2）联立直线与抛物线方程，利用根与系数关系结合均值不等式可得最小值【小问1详解】如图所示，由已知得点为线段中垂线上一点，即，即动点到点的距离与点到直线的距离相等，所以点的轨迹为抛物线，其焦点为，准线为直线，所以点的轨迹方程为，【小问2详解】如图所示：设，点，，联立直线与抛物线方程，得，，，，，，所以，当且仅当，即，时取等号，此时，即，所以当直线直线，时取得最小值为.【点睛】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21、（1）有；（2）（i）答案见解析；（ii）250.【解析】（1）根据列联表中的数据，利用求得，与临界表值对比下结论；（2）(ⅰ)根据，利用小概率事件判断；(ⅱ)易得一个患者属于“长潜伏期”的概率是，进而得到，然后判断其单调性求解.【详解】（1）依题意有，由于，故有的把握认为“长期潜伏”与年龄有关；（2）(ⅰ)若潜伏期，由，得知潜伏期超过天的概率很低，因此隔离天是合理的；(ⅱ)由于个病例中有个属于长潜伏期，若以样本频率估计概率，一个患者属于“长潜伏期”的概率是，于是，则，，当时，；当时，；∴，.故当时，取得最大值.【点睛】方法点睛：利