山西省运城市景胜中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题（A卷）

景胜中学2023-2024学年度第一学期高二月考（10月）数学试题（A卷）一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.如图在四面体中，分别在棱上且满足，点是线段的中点，用向量表示向量应为（）A.B.C.D.3.已知平行四边形中，，则顶点的坐标为（）A.B.C.D.4.在棱长为1的正方体中，为的中点，为的三等分点（靠近点），则点到平面的距离为（）A.B.C.D.5.若直线的斜率，则直线的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.6.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.7.如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）A.B.直线与所成角的正弦值为C.向量与的夹角是D.平面8.已知，且与互相垂直，则实数的值为（）A.B.C.D.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知为直线的方向向量，分别为平面的法向量（不重合），那么下列说法中，正确的有（）A.B.C.D.10.若是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是（）A.B.C.D.11.函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.B.C.的图象关于点对称D.在区间上单调递增12.如图，在直三棱柱中，，点分别是线段上的动点（不含端点），且.则下列说法正确的是（）A.平面B.该三棱柱的外接球的表面积为C.异面直线与所成角的正切值为D.二面角的余弦值为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直线的方向向量是，平面的法向量，若直线，则__________.14.已知，若，则的值为__________.15.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为__________.16.设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为钝角时，则的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知直线.（1）若直线的倾斜角是倾斜角的两倍，且与的交点在直线上，求直线的方程；（2）若直线与直线平行，且与的距离为3，求直线的方程.18.在正四棱柱中，是棱上的中点.（1）求证：；（2）异面直线与所成角的余弦值.19.如图，在底面为矩形的四棱锥中，平面平面.（1）证明：；（2）若，设为中点，求直线与平面所成角的余弦值.20.如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点.（1）求直线到平面的距离；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21.如图，在三棱锥中，为的中点.（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值.22.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.（1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离；（2）某日经观测发现，在该平台正南处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全警示区内会行驶多长时间？景胜中学2023-2024学年度第一学期高二月考（10月）数学参考答案（A卷）单选题1.B2.A3.D4.A5.C6.A7.D8.D多选题9.AB10.ABC11.BD12.AD填空题13.114.15.16.解答题17.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）直线的斜率是，所以的倾斜角是，所以直线的倾斜角就是，再根据交点，利用点斜式方程求直线；（2）设直线的方程为，再根据平行线的距离求.【详解】解：（1）因为直线的斜率为，所以倾斜角为.又因为直线的倾斜角是倾斜角的两倍，故的倾斜角是.因为直线与直线的交点为，所以直线的方程是，即.（2）因为直线与直线平行，故可设直线的方程为.因为与的距离为3，则有，解得或，所以直线的方程或.本题考查直线方程的求法，意在考查直线方程的每种形式需要的条件，但比较重要的还是已知两点求直线，或者已知直线过一个定点和直线的斜率.18.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线线垂直；（2）在第一问的基础上，利用空间向量求解异面直角的夹角余弦值.【小问1详解】证明：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，因为，所以，，，所以；【小问2详解】，设异面直线与所成角的大小为，则，故异面直线与所成角的余弦值为.19.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面平面可得面，从而可得；（2）建立空间直角坐标系，求出向量及面法向量，代入公式即可得到结果.【详解】（1）依题意，面面，面，面面，面.又面，.（2）解法一：向量法在中，取中点，面，以为坐标原点，分别以为轴，过点且平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，设，，.设面法向量为，则，解得.设直线与平面所成角为，则，因为.所以直线与平面所成角的余弦值为.（2）解法二：几何法过作交于点，则为中点，过作的平行线，过作的平行线，交点为，连结，过A作交于点，连结，连结，取中点，连结，四边形为矩形，所以面，所以，又，所以面，所以为线与面所成的角.令，则，由同一个三角形面积相等可得，为直角三角形，由勾股定理可得，所以，又因为为锐角，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.20.【答案】（1）（2）【解析】【分析】以为原点，所在的直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的空间坐标系，求出，即可证明，得到平面，点到平面的距离即为直线到平面的距离，求出平面的法向量，然后利用空间向量法求解点到平面的距离，即可得到结果.（2）求出平面的法向量，利用空间向量法求解平面与平面所成锐二面角的余弦值即可.【小问1详解】解：以为原点，所在的直线分别为x轴､y轴､z轴，建立如图所示的"空间坐标系，则...平面点到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，则，，取，则，又，点到平面的距离为【小问2详解】解：设平面的法向量为，则，取，则，平面与平面所成锐二面角的余弦值21.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形性质得垂直，再通过计算，根据勾股定理得垂直，最后根据线面垂直判定定理得结论；（2）方法一：根据条件建立空间直角坐标系，设各点坐标，根据方程组解出平面PAM一个法向量，利用向量数量积求出两个法向量夹角，根据二面角与法向量夹角相等或互补关系列方程，解得坐标，再利用向量数量积求得向量与平面法向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余得结果.【详解】（1）因为为的中点，所以，且.连结.因为，所以为等腰直角三角形，且，由知.由知，平面.（2）[方法一]：【通性通法】向量法如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系.由已知得取平面的法向量.设，则.设平面的法向量为.由得，可取所以.由已知得.所以.解得（舍去），.所以.又，所以.所以与平面所成角的正弦值为.[方法二]：三垂线十等积法由（1）知平面，可得平面平面.如图5，在平面内作，垂足为，则平面.在平面内作，垂足为，联结，则，故为二面角的平面角，即.设，则，在Rt中，.在Rt中，由，得，则.设点到平面的距离为，由，得，解得，则与平面所成角的正弦值为.[方法三]：三垂线十线面角定义法由（1）知平面，可得平面平面.如图6，在平面内作，垂足为，则平面.在平面内作，垂足为，联结，则，故为二面角的平面角，即.同解法1可得.在中，过作，在中，过作，垂足为，联结.在Rt中，.因为，所以.由平面，可得平面平面，交线为.在平面内，由，可得平面，则为直线与平面所成的角.设，则，又，所以直线与平面所成角的正弦值为.[方法四]：【最优解】定义法如图7，取的中点，联结，则.过作平面的垂线，垂足记为（垂足在平面内）.联结，则即为二面角的平面角，即，得.联结，则为直线与平面所成的角.在Rt中，，所以.【整体点评】（2）方法一：根据题目条件建系，由二面角的向量公式以及线面角的向量公式硬算即可求出，是该类型题的通性通法；方法二：根据三垂线法找到二面角的平面角，再根据等积法求出点到面的距离，由定义求出线面角，是几何法解决空间角的基本手段；方法三：根据三垂线法找到二面角的平面角，再利用线面角的等价转化，然后利用定义法找到线面角解出，是几何法解决线面角的基本思想，对于该题，略显麻烦；方法四：直接根据二面角的定义和线面角的定义解决，原理简单，计算简单，是该题的最优解.22.【答案】（1）（2）会驶入安全预警区，行驶时长为半小时【解析】【分析】（1）先求出的坐标，再由距离公式得出之