高三北师大版数学（理）一轮复习易失分点清零（15）推理证明、算法、复数 含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精易失分点清零（十五)推理证明、算法、复数1.复数eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(3－i,1＋i）))2＝ （)．A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i解析eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(3－i，1＋i））)2＝eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f(3－i1－i，1＋i1－i）))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（2－4i，2）)）2＝(1－2i）2＝－3－4i.答案A2．若eq\f(1,a）<eq\f（1,b)<0，则下列不等式：①a＋b<ab，②|a|〉｜b｜，③a<b，④eq\f（b，a）＋eq\f（a，b）〉2中正确的不等式的序号是 （）．A．①② B．②③ C．③④ D．①④解析由条件eq\f（1，a）〈eq\f(1,b）〈0可得b<a<0，故③不正确，①正确，②不正确，利用重要不等式也可得④正确．答案D3.如果执行如图所示的程序框图，那么输出的k＝（）．A．4 B．5C．6 D．7解析第一次运行k＝2，S＝0＋20＝1；第二次运行k＝3，S＝1＋21＝3;第三次运行k＝4，S＝3＋23＝11；第四次运行k＝5,S＝11＋211>100。结束循环,输出的k＝5。答案B4．已知复数z＝eq\f（\r（3)＋i，1－\r(3)i2)，eq\x\to(z)是z的共轭复数，则z·eq\x\to（z)＝ （）．A。eq\f(1,4) B.eq\f(1，2) C．1 D．2答案A5．设f（n）＝eq\f（1,n＋1)＋eq\f（1，n＋2）＋eq\f(1，n＋3)＋…＋eq\f(1,2n）（n∈N＊）,那么f（n＋1)－f（n)等于（）．A.eq\f（1,2n＋1) B。eq\f(1,2n＋2)C.eq\f(1,2n＋1）＋eq\f(1，2n＋2） D.eq\f（1，2n＋1）－eq\f（1，2n＋2）答案D6．(2013·福州质检)将正奇数1,3，5,7，…排成五列(如下表所示），按此表的排列规律,89所在的位置是 （)．A．第一列 B．第二列 C．第三列 D．第四列解析正奇数从小到大排,则89位居第45位，而45＝4×11＋1，故89位于第四列．答案D7．已知an＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，3））)n，把数列｛an｝的各项排成如下的三角形：记A（s，t)表示第s行的第t个数，则A（11，12）＝ （）．A。eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3)))67 B.eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，3）)）68C。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,3)）)111 D.eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,3)））112解析由于该三角形数阵的每一行数据个数分别为1,3，5，7，9，…，可得前10行共有eq\f(101＋19，2)＝100个数,A（11，12)表示第11行的第12个数，则A(11,12)是数列{an}的第100＋12＝112个数，即可得A(11，12)＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1,3）））112，故应选D.答案D8．已知结论：“在正△ABC中，若D是边BC的中点，G是△ABC的重心，则eq\f（AG,GD）＝2”．若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体A－BCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等”，则eq\f（AO,OM）＝ （)．A．1 B．2 C．3 D．4解析图设正四面体的棱长为1，则易知其高AM＝eq\f（\r（6）,3），此时易知点O即为正四面体内切球的球心，设其半径为r，利用等积法有4×eq\f（1,3)×eq\f(\r（3),4)r＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3），4)×eq\f(\r(6),3）⇒r＝eq\f(\r(6），12)，故AO＝AM－MO＝eq\f（\r(6),3)－eq\f(\r（6)，12）＝eq\f（\r(6），4），故AO∶OM＝eq\f（\r(6）,4)∶eq\f（\r（6）,12）＝3.答案C9。如右图所示，坐标纸上的每个单元格的边长为1，由下往上的六个点：1，2，3,4,5，6的横、纵坐标分别对应数列{an｝(n∈N*）的前12项,如下表所示:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此规律下去，则a2011＋a2012＋a2013＝ ()．A．1003 B．1005 C．1006 D．2012解析a1＝1，a2＝1，a3＝－1，a4＝2,a5＝2，a6＝3，a7＝－2,a8＝4,…,这个数列的规律是奇数项为1，－1,2，－2,3,…，偶数项为1，2，3,…，故a2011＋a2013＝0，a2012＝1006，故a2011＋a2012＋a2013＝1006.故选C.答案C10．已知复数z1＝2＋i，z2＝1＋2i，在复平面内对应的点分别为A、B,则eq\o(AB，\s\up6(→））对应的复数z在复平面内所对应的点在第________象限．解析z＝z2－z1＝（1＋2i）－（2＋i）＝－1＋i。因为z的实部a＝－1〈0，虚部b＝1>0，所以复数z在复平面内对应的点在第二象限内．答案二11．在等差数列{an}中，有eq\f（a11＋a12＋…＋a20，10)＝eq\f(a1＋a2＋…＋a30，30）,则在等比数列｛bn｝中，会有类似的结论________．解析等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此，我们可以类比得eq\r（10，b11b12…b20）＝eq\r(30，b1b2…b30）.答案eq\r(10，b11b12…b20)＝eq\r（30，b1b2…b30)12．执行如图所示的程序框图，若p＝0.8，则输出的n＝________.解析依次执行S＝eq\f(1，2）<0.8,n＝2;S＝eq\f(1,2）＋eq\f（1，22）<0.8,n＝3;S＝eq\f（1，2)＋eq\f(1,22）＋eq\f（1，23）>0。8，n＝4，故输出4。答案413．（2013·苏北调研）如图是一个数表,第一行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两个数的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第13行,第10个数为________．eq\x（\a\al（1234567…，35791113…,812162024…,………））解析观察数表可知，每行数分别构成公差为20,21，22，23,…的等差数列，所以第13行的公差为212。又每行第一个数分别为1，3＝2＋1×20，8＝22＋2×2，20＝23＋3×22，48＝24＋4×23，256＝25＋5×24,…故第13行第一个数为212＋12×211＝7×212,第10个数为7×212＋9×212＝16×212＝216。答案216（或65536）14．将正△ABC分割成n2(n≥2，n∈N*)个全等的小正三角形（图甲,图乙分别给出了n＝2，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于△ABC的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时)都分别依次成等差数列．若顶点A，B，C处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f（2)＝2,f（3）＝________，f（4)＝________，…，f(n)＝________。解析当n＝3时，如图所示，分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知a＋b＋c＝1，x1＋x2＝a＋b，y1＋y2＝b＋c,z1＋z2＝c＋a，x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2（a＋b＋c)＝2，2g＝x1＋y2＝x2＋z1＝y1＋z2，∴6g＝x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＝2(a＋b＋c）＝2，即g＝eq\f（1,3）.而f(3)＝a＋b＋c＋x1＋x2＋y1＋y2＋z1＋z2＋g＝1＋2＋eq\f（1，3）＝eq\f（10，3),进一步可求得f（4）＝5。由上知f(1)中有3个数相加,f(2）中有6个数相加，f（3)中共有10个数相加，f(4)中有15个数相加，…，若f(n－1）中有an－1（n〉1）个数相加，可得f（n)中有（an－1＋n＋1)个数相加，且由f（1）＝1＝eq\f（3，3），f(2)＝eq\f(6,3）＝eq\f(3＋3,3)＝f(1)＋eq\f（3,3)，f（3）＝eq\f（10,3）＝f(2)＋eq\f(4,3），f(4)＝5＝f(3）＋eq\f(5，3），…，可得f（n）＝f（n－1）＋eq\f(n＋1，3)。所以f（n）＝f(n－1)＋eq\f（n＋1，3）＝f(n－2)＋eq\f（n＋1,3）＋eq\f(n，3）＝…＝eq\f（n＋1,3）＋eq\f（n,3)＋eq\f（n－1,3）＋…＋eq\f(3,3)＋f（1)＝eq\f（n＋1,3）＋eq\f（n,3）＋eq\f(n－1,3）＋…＋eq\f(3,3）＋eq\f(2,3)＋eq\f(1，3）＝eq\f(1,6)(n＋1)（n＋2）．答案eq\f（10，3）5eq\f(1,6）（n＋1）(n＋2）15。如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内,M，N分别为AB，DF的中点．（1)若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，求MN与平面DCEF所成角的正弦值;(2）用反证法证明:直线ME与BN是两条异面直线．（1）解如图,取CD的中点G，连结MG，NG。设正方形ABCD，DCEF的边长为2，则MG⊥CD,MG＝2,NG＝eq\r（2）.∵平面ABCD⊥平面DCEF，∴MG⊥平面DCEF,∴∠MNG是MN与平面DCEF所成的角．∵MN＝eq\r(MG2