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第四章指数函数与对数函数

4.1.2无理数指数幂及其运算性质

学习目标1.知识目标：①理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；②了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。2.能力目标：培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养3.素养目标：运用数学抽象提炼出指数幂的概念；利用逻辑推理归纳出无理数指数幂的含义以及指数幂的运算法则；通过指数幂的运算，提升数学运算素养；将指数幂的运算性质推广到实数的范围，形成数学模型，培养数学建模核心素养。

温故知新1．分数指数幂的意义分数指数幂正分数指数幂规定：————(a>0，m，n∈N*，且n>1)负分数指数幂规定：————(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分数指数幂0的正分数指数幂等于

，0的负分数指数幂没有意义.没有意义2.有理指数幂的运算性质

（1）；

（2）；

（3）．3.小试牛刀(1)判断正误①0的任何指数幂都等于0.(

)②.(

)③分数指数幂与根式可以相互转化，如

.(

)×××a0=1,转化为分数指数幂如何表示？(2)

等于（

）

A．25B.C.D.B(3)

已知

，则

等于（

）

A．B.C.D.

B

(4)

______

探索新知观察下表：

的值是否表示一个确定的实数？

的过剩近似值

的过剩近似值

的近似值1.41.511.180339891.411.429.8296353281.4141.4159.7508518081.41421.41439.739872621.414211.414229.7386186431.4142131.4142149.7385246021.41421351.41421369.7385183321.414213561.414213579.7385178621.4142135621.4142135639.738517752...……由上可以看出：可以由

的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。无理数指数幂：一般地，无理数指数幂

(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．它是一个确定的实数即对于任意的r，s，均有下面的运算性质

（1）;（2）;

（3）．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂

(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。

典例解析例1将下列根式化成分数指数幂的形式：

题型1根式与分数指数幂的互化

思维训练跟踪练习：将下列根式与分数指数幂进行互化．

典例解析题型2利用分数指数幂的运算性质化简求解例2化简求值：

思维训练跟踪检测：（1）计算：（2）化简

（用分数指数幂表示）.

典例解析（拓展延伸）例3．已知

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