九年级数学相似三角形的性质及应用(教师版)知识点+典型例题+详细答案

相似三角形的性质及应用【学习目标】1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.【要点梳理】要点一、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.2.相似三角形中的重要线段的比等于相似比.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.3.相似三角形周长的比等于相似比∽，则由比例性质可得：4.相似三角形面积的比等于相似比的平方∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.要点二、相似三角形的应用1.测量高度测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法2.测量距离测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。

1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.

要点诠释：1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺=图上距离/实际距离;

2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;

3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;4.仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．

【典型例题】类型一、相似三角形的性质1.△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.

【答案】设另两边长是xcm，ycm，且x＜y.

(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，

从而x=cm，y=cm.

综上所述，△DEF的另外两边的长度应是cm,cm或cm，cm或cm，cm三种可能.2.如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.

【答案】∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，

∴△AEH∽△ABC.

∵AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.

∵矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.

由相似三角形对应高的比等于相似比，得，

∴，∴，∴.

∴EF=6cm，EH=12cm.

∴举一反三1、如图，在和中，，，，的周长是24，面积是48，求的周长和面积.

【答案】在和中，，

.

又∵

∽，相似比为.

的周长为，的面积是

.

有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.

【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.

∴△ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2

且，，

∴，

∴.3、如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，按如图那样折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则S△BCE：S△BDE等于（）

A.2：5B．14:25C．16:25D.4:21

【答案】B.【解析】由已知可得AB=10，AD=BD=5，设AE=BE=x,则CE=8-x,

在Rt△BCE中，x2-(8-x)2=62,x=,

由△ADE∽△ACB得，

S△BCE：S△BDE=（64-25-25）：25=14:25，所以选B.4、在锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2,求AC边上的高.【答案】过点B做BF⊥AC,垂足为点F，∵AD,CE分别为BC,AB边上的高，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴Rt△ADB∽Rt△CEB,∴,且∠B=∠B，∴△EBD∽△CBA,∴,∴,又∵DE=2，∴AC=6，∴5、已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．

【答案】∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．

∴S△ADE:S△BCE=AE2:BE2．

∵AE︰BE=1:2，∴S△ADE:S△BCE=1:4．

∵S△ADE=1，∴S△BCE=4．

∵S△ABC:S△BCE=AB:BE=3:2，∴S△ABC=6．

∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．

∵AE:AB=1:3，∴S△AEF:S△ABC=AE2:AB2=1:9．∴S△AEF==．

6、如图，已知中，，，，，点在上，(与点不重合)，点在上.(1)当的面积与四边形的面积相等时，求的长.

(2)当的周长与四边形的周长相等时，求的长.

【答案】(1)∵，

∽

.

(2)∵的周长与四边形的周长相等.

=6，

∽

.

类型二、相似三角形的应用3.如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？

【答案】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？

∵AB⊥BC，CD⊥BC

∴∠ABO=∠DCO=90°

又∵∠AOB=∠DOC

∴△AOB∽△DOC.

∴

∵BO=50m，CO=10m，CD=17m

∴AB=85m

即河宽为85m．4.如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m．

(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?

(2)求古塔的高度．

【答案】(1)△ABC∽△ADE．

∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°

∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE

(2)由(1)得△ABC∽△ADE

∴

∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，

∴

∴DE=16m

即古塔的高度为16m。举一反三

1、小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？【答案】如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，∠BAP=∠DCP=90°，∴△ABP∽△CDP,∴,即,∴DC=6.3米.即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.2、在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上。已知铁塔底座宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（）A.24mB.22mC.20mD.18m【答案】A.【解析】过点D做DN⊥CD交光线AE于点N，则,DN=14.4，又∵AM:MN=1.6:1，∴AM=1.6MN=1.6BD=1.6×6=9.6∴塔高AB=AM+DN=14.4+9.6=24，所以选A.3、已知：如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高度BC.

【答案】作EF⊥DC交AD于F.∵AD∥BE，∴又∵，

∴，∴.

∵AB∥EF，AD∥BE，∴四边形ABEF是平行四边形，∴EF=AB=1.8m.∴m.【巩固练习一】一、选择题1．如图1所示，△ABC中DE∥BC，若AD∶DB＝1∶2，则下列结论中正确的是()

A．B．

C．D．（图1）（图2）2.如图2,在△ABC中,D、E两点分别在AB、AC边上,DE∥BC.若AD:DB=2:1,则S△ADE

:S△ABC为()A.9:4B.4:9C.1:4D.3:2

3．某校有两块相似的多边形草坪，其面积比为9∶4，其中一块草坪的周长是36米，则另一块草坪的周长是（）．A．24米B．54米C．24米或54米D．36米或54米4.图为△ABC与△DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且AB//DE.若△ABC与△DEC的面积相等，且EF=9，AB=12，则DF=()

A．3B．7C．12D．15

5．如图是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米6.要把一个三角形的面积扩大到原来面积的8倍，而它的形状不变，那么它的边长要增大到原来的（）倍.A.2B.4C.2D.64二、填空题7.如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．

8.已知两个相似三角形的相似比为，面积之差为25，则较大三角形的面积为______.

9．如图，小明为了测量一座楼MN的高，在离点N为20m的A处放了一个平面镜，小明沿NA后退到点C，正好从镜中看到楼顶M，若AC＝1.5m，小明的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小明计算一下楼房的高度是__________.（精确到0.1m）

10.梯形ABCD中，AD∥BC,AC，BD交于点,若=4，=9，=________.11.如图，在平行四边形ABCD中，点E为CD上一点，DE:CE=2:3，连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F，则________________.12.把一个三角形改做成和它相似的三角形，如果面积缩小到原来的倍，那么边长应缩小到原来的________倍.三、解答题13.一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.9m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m，又测得地面部分的影长2.7m，他求得树高是多少？14.如图所示，一段街道的两边沿所在直线分别为AB，PQ，并且AB∥PQ，建筑物的一端DE所在的直线MN⊥AB于点M，交PQ于点N，小亮从胜利街的A处，沿着AB方向前进，小明一直站在点P的位置等待小亮．

（1）请你画出小亮恰好能看见小明的视线，以及此时小亮所在的位置（用点C标出）．

（2）已知：MN=30m，MD=12m，PN=36m．求（1）中的点C到胜利街口的距离．

15.在正方形中，是上一动点，(与不重合)，使为直角，交正方形一边所在直线于点.

(1)找出与相似的三角形.

(2)当位于的中点时，与相似的三角形周长为，则的周长为多少？

【答案与解析】一．选择题1．【答案】D．【解析】提示：相似比为1:3．2．【答案】B．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．3．【答案】C.4．【答案】B.5．【答案】B.【解析】提示：入射角等于反射角，所以△ABP∽△CDP．6．【答案】C．【解析】提示：面积比等于相似比的平方．二．填空题7．【答案】3.8．【答案】45cm2.9．【答案】21.3m．10．【答案】25.【解析】∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴，∴AO:CO＝2:3，又∵，∴，又，∴．11.【答案】4:10:25【解析】∵平行四边形ABCD，∴△DEF∽△BAF,∴∵DE:EC=2:3,∴DE:DC=2:5,即DE:AB=2:5，∴∵△DEF与△BEF是同高的三角形，∴12．【答案】.三.综合题13．【解析】作CE∥DA交AB于E，设树高是xm，∵长为1m的竹竿影长0.9m∴即x＝4.2m14．【解析】(1)如图1所示，CP为视线，点C为所求位置．(2)∵AB∥PQ，MN⊥AB于M，∴∠CMD＝∠PND＝90°．又∵∠CDM＝∠PDN，∴△CDM∽△PDN，∴∵MN＝30m，MD＝12m，∴ND＝18m．∴∴CM＝24(m)．∴点C到胜利街口的距离CM为24m．15．【解析】(1)与△BPC相似的图形可以是图(1)，(2)两种情况：△PDE∽△BCP，△PCE∽△BCP，△BPE∽△BCP．(2)①如图(1)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与AD交于点E，则∵△PDE∽△BCP∴△PDE与△BCP的周长比是1:2∴△BCP的周长是2a．②如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，则，∵△PCE∽△BCP∴△PCE与△BCP的周长比是1:2∴△BCP的周长是2a．③如图(2)，当点P位于CD的中点时，若另一直角边与BC延长线交于点E时，∴∵△BPE∽△BCP∴△BPE与△BCP的周长比是:2，∴△BCP的周长是．【巩固练习二】一、选择题1．如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（）A．只有1个B．可以有2个C．有2个以上，但有限D．有无数个2.若平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长为（）．A．1.8B．5C．6或4D．8或23.如图，已知D、E分别是的AB、AC边上的点，且

那么等于（）A．1：9B．1：3C．1：8D．1：2

4．如图G是△ABC的重心，直线过A点与BC平行.若直线CG分别与AB、交于D、E两点，直线BG与AC交于F点，则△AED的面积：四边形ADGF的面积=()

A．1：2B．2：1C．2：3D．3：2

5.如图，将△ABC的高AD四等分，过每一个分点作底边的平行线，把三角形的面积分成四部分S1、S2、S3、S4，则S1︰S2︰S3︰S4等于（）

A.1︰2︰3︰4B.2︰3︰4︰5C.1︰3︰5︰7D.3︰5︰7︰9

6．.如图，在□ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则

S△DEF：S△EBF：S△ABF等于()A.4：10：25B.4：9：25C.2：3：5D.2：5：25

二、填空题7.如图，梯形ABCD中，AB∥CD,AC、BD相交于点E，=___________.8.如图，△ABC中，点D在边AB上，满足∠ADC=∠ACB,若AC=2，AD=1，则DB=_________.9.如图，在△PAB中，M、N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是_______________.10.如图，△ABC中，DE∥BC,BE,CD交于点F，且=3，则：=______________.11.如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5m，两个路灯的高度都是9m，则两路灯之间的距离是_________________12.如图，锐角△ABC中，AD,CE分别为BC,AB边上的高，△ABC和△BDE的面积分别等于18和2，DE=2，则AC边上的高为______________.三、解答题13.为了测量图（1）和图（2）中的树高，在同一时刻某人进行了如下操作：

图（1）：测得竹竿CD的长为0.8米，其影CE长1米，树影AE长2.4米．

图（2）：测得落在地面的树影长2.8米，落在墙上的树影高1.2米，请问图（1）和图（2）中的树高各是多少？

14.（1）阅读下列材料，补全证明过程：

已知：如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连结DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．求证：点G是线段BC的一个三等分点．

证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，

∴OE∥DC．∵＝，∴＝＝．∴＝．

……

（2）请你仿照（1）的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（要求保留画图痕迹，可不写画法及证明过程）．15.已知如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点E自A点出发，以每秒1cm的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒2cm的速度向C点前进，若移动的时间为t，且0≤t≤6．

（1）当t为多少时，DE=2DF；

（2）四边形DEBF的面积是否为定值？若是定值，请求出定值；若不是定值，请说明理由．

（3）以点D、E、F为顶点的三角形能否与△BCD相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由．【答案与解析】一．选择题1.【答案】B.【解析】x可能是斜边，也可能是直角边.2.【答案】A.3.【答案】B.4.【答案】D.5.【答案】C.【解析】本题要求运用相似三角形的面积比等于相似比的平方。由，所以，又由，可得，下略．6.【答案】A.【解析】□ABCD中，AB∥DC，△DEF∽△ABF，

(△DEF与△EBF等高，面积比等于对应底边的比)，所以答案选A.二、填空题7.【答案】.【解析】∵且△DEC与△CEB是同高不同底的两个三角形，即因为AB∥CD,所以△DEC∽△BEA,所以=8.【答案】3.【解析】∵∠ADC=∠ACB，∠DAC=∠BAC,∴△ACD∽△ABC,∴AB=∴BD=AB-AD=4-1=3.9.【答案】120°.【解析】∵△BPM∽△PAN，∴∠BPM＝∠A，∵△PMN是等边三角形，∴∠A+∠APN＝60°，即∠APN+∠BPM＝60°，∴∠APB＝∠BPM+∠MPN+∠APN＝60°+60°=120°．10.【答案】1:9【解析】∵=3，∴FC:DF=3: