光波导的光纤光栅耦合系数的研究

光波导的光纤光栅耦合系数的研究

0光纤光栅耦合模理论的发展作为一种重要的光学无源器，它在光和传感器技术中得到了广泛应用。联合激励理论是分析光中光各种传播模式之间的耦合现象的理论，主要包括联合激励理论、傅立叶变换理论和传输矩阵理论。联合模型理论可以准确分析光纤中光的各种传播模式之间的耦合现象，通常用于分析均匀周期的布栅。然而，关于光纤中的联合模型理论的描述则不同。1973年，yariv介绍了云的耦合模型理论。这是光学中微干扰模型理论的基础。1981年，lam和garrisil提出了一种新的联合模型理论来比较单模型光纤滤波器的特性。他们忽视了光的正交门之间的正交门之间的差异，而直接使用了云的正交门之间的正交门。因此，耦合系数是错误的。1998年，y和dong在讨论光的zeitram方面提出了新的集群模型理论。该理论类似于芯径变化的联合模型理论，不适用于芯径变化但不太可变的光的光。kashyap在1999年的理论中解释了云的分离模型，但也存在许多错误。2002年，廖帮泉等人提出的光学约束模型理论仅考虑了紫外辐射后纤芯干燥周期的变化，而不考虑折射的线性增加。为了简化这项工作中的光纤和电缆耦合理论，已经进行了一些新的分析，并得出了一些新的结论。1微扰极化的原理从麦克斯韦方程组出发可得光纤内写入光栅后的波动方程为∇2Et(r,t)-με(r)∂2Et(r,t)∂t2=μ∂2∂t2[Ρ微扰(r,t)]t.(1)其中,P微扰(r,t)为光纤折射率发生变化引起的微扰极化,ε(r)=ε0n2是光纤介质的介电常数,Et(r,t)是光纤内电场的横向分量,μ是光纤的磁导率,其近似为真空中的磁导率μ0.光纤中传播的波、场矢量可以表示为一系列分离的导模和连续的辐射模的叠加.对于弱导光纤,可忽略导模和连续辐射模之间的耦合,只考虑分离理想导模的叠加,把光纤中的横向电场表示为Et(r,t)=∑vavξvt(r)ei(ωt-βvz).(2)其中,βv是电场的传播常数,av是电场的叠加系数,ξvt(r)ei(ωt-βvz)是折射率未受微扰的光纤的第v个不连续本征模的横场部分,它满足理想波导方程.将式(2)代入式(1)可得∑v[2∂av∂z(-iβv)ξvt(r)ei(ωt-βvz)]=μ∂2∂t2[Ρ微扰(r,t)]t.(3)式(3)中对v的求和包含和ξvt(r)有关的两项,一项由(+)号表示,代表沿z轴正方向传播;另一项由(-)号表示,代表沿z轴负向传播.我们把式(3)两边矢乘以h*ut,然后取其结果与z方向的单位矢量的标积,再对幅角取从0到2π,对半径从0到∞积分,并利用光纤中场的本征矢量解满足的正交关系式,可得da(-)udzei(ωt+βuz)-da(+)udzei(ωt-βuz)=-iμ4βuΡu∂2∂t2∫∞0∫2π0ez⋅{[Ρ微扰(r,t)]t×h*ut}rdrdϕ.(4)其中,h*ut是光纤中磁场强度的本征矢量解的复共轭.光栅的折射率变化假定为余弦调制函数,可表示为Δn=Δn0(r,ϕ)+Δn1(r,ϕ,z)cos[2πΛz+φ(z)],(-L/2<z<L/2)(5)其中,Δn0是光致折射率变化的直流分量,Δn1是光致折射率变化的振幅,L为光栅长度.φ(z)用来描述沿光纤轴向光栅周期的变化情况.一般情况下光栅的光致折射率变化Δn0和Δn1是r和z的函数,很难得到方程的解析解.只有对均匀周期光栅,光栅的光致折射率变化Δn0,Δn1和φ(z)均为常数.为讨论方便,φ(z)可取为0,把折射率变化表示为Δn=Δn0+12Δn1[eiθ(z)+eiθ(z)],(6)其中,θ(z)=2πΛz.这样当光纤中折射率沿轴向有微小变化后,微扰极化强度可以表示为P微扰(r)=2nε0ΔnE=2nε0[Δn0+12Δn1(eiθ(z)+e-iθ(z))]E.(7)对于单模光纤中的布拉格光栅,它的主要光学特性表现为正、反向基模之间的耦合,而基模与包层辐射模之间的耦合可忽略.因此光栅区域的光场可以简单地表示为正、反向传播基模的叠加:Eu=a(+)uξutei(ωt-βuz)+a(-)uξutei(ωt+βuz).(8)将式(7),(8)代入式(4)可得da(-)udzei(ωt+βuz)-da(+)udzei(ωt-βuz)=iμω2ε02βuΡu⋅∫∞0∫2π0n[Δn0+12Δn1(eiθ(z)+e-iθ(z))]ez⋅{[a(+)uξutei(ωt-βuz)+a(-)uξutei(ωt+βuz)]×h*ut}rdrdϕ.(9)式(9)左边的两项分别是光纤中沿z轴正向和负向传播的基模,这两项只能受到右边对z含有近似相同位相的项的影响.我们首先看左边第一项,若θ(z)-βuz≈βuz,而右边共有两项包含相位因子βu,因此有如下关系式:da(-)udz=iuε0ω22βuΡua(-)u∫2π0∫∞0nΔn0|ξut×h*ut|zrdrdϕ+iuε0ω24βuΡua(+)uei[θ(z)-2βuz]∫2π0∫∞0nΔn1|ξut×h*ut|zrdrdϕ,(10)令k=uε0ω24βuΡu∫2π0∫∞0nΔn1|ξut×h*ut|zrdrdϕ,(11)Δβ1=uε0ω22βuΡu∫2π0∫∞0nΔn0|ξut×h*ut|zrdrdϕ,(12)Δβ2=θ(z)2z-βu,(13)其中,k为正反向基模之间的耦合系数;Δβ1为紫外光照射后基模传播常数的增加;Δβ2为正、反向基模的相位失配.则式(10)可简记为da(-)udz=iΔβ1a(-)u+ika(+)uei2Δβ2z.(14)同理可得da(+)udz=-iΔβ1a(+)u-ika(-)ue-i2Δβ2z.(15)以上两式即为均匀周期光纤光栅中两个相向传播的基模之间的耦合方程.2均匀周期光栅令:a(+)u(z)=W(z)e-i[g(z)+Δβ1z],(16)a(-)u(z)=S(z)ei[g(z)+Δβ1z].(17)则基模耦合方程可变为W′(z)-iδW(z)=-ikS(z);(18)S′(z)+iδS(z)=ikW(z).(19)其中,g(z)=πΛ-(βμ+Δβ1)z=δz,(20)δ=πΛ-(βu+Δβ1).(21)光栅的光学特性需要在W和S特定的边界条件下通过求解耦合方程来确定.若忽略纤芯折射率n的变化,对均匀周期光栅,基模传输常数增量、基模耦合系数及δ可表示为:其中,Γ=1Ρu∫2π0∫∞0|ξut×h*ut|zrdrdϕ.(25)Γ为在光纤纤芯内传输的基模单位光功率,又称为基模的光限制因子.单模光纤的Γ可以表示为Γ=Ρ芯Ρ≈1-e-2a2w2.(26)其中,a为光纤芯径,w=β2-(2πλ)2n22‚n2为光纤包层折射率.对不同的光纤结构及不同传输波长,Γ取不同数值.可见对均匀光栅,其基模传输常数增量、基模耦合系数及δ均与z无关.假定W(z)和S(Z)满足边界条件W(-L/2)=1;S(L/2)=0,则方程(18),(19)的解为:(1)当k>δ时,令Q=√k2-δ2,{W(z)=-Qcosh[Q(z-L2)]-iδsinh[Q(z-L2)]-Qcosh(QL)+iδsinh(QL),S(z)=-iksinh[Q(z-L2)]-Qcosh(QL)+iδsinh(QL);(27)(2)当k<δ时,令Μ=√δ2-k2,{W(z)=-iδsin[Μ(z-L2)]-Μcos[Μ(z-L2)]iδsin(LΜ)-Μcos(LΜ),S(z)=-iksin[Μ(z-12)]iδsin(LΜ)-Μcos(LΜ).(28)根据a(+)u(z)及a(-)u(z)与W(z)及S(z)的关系式(16),(17),可求得耦合模方程(14),(15)的解.在假定的W和S的边界条件下,可以证明入射到光栅的总能量为1,光栅的反射谱可表示为R(λ)=|a(-)u(-L2)|2=|S(-L2)|2={k2sinh2(QL)Q2cosh2(QL)+δ2sinh(QL)(δ＜k)‚k2sin2(ΜL)Μ2cos2(ΜL)+δ2sin(ΜL)(δ＞k).(29)易知,当δ=0时,光栅的反射系数最大.显然此时光纤内两相向传播的基模耦合作用最强,对应的波长为光栅布拉格波长,又称为光栅中心波长.由δ=0,所以可得光栅的布拉格波长为λB=2(nnef+Δnnef)Λ.(32)其中,nnef为单模光纤未写入光栅时基模的有效折射率,Δnnef为光纤在经过紫外光照射后所引起的基模有效折射率的增加量.由于在光纤的写入过程中Δnnef是逐渐增加的,因此在光栅制作过程中,其布拉格波长将逐渐向长波长方向漂移.这与文献中的叙