2023-2024学年河南省重点中学高二（上）第一次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省重点中学高二（上）第一次月考数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在下列四个命题中，正确的是(

)A.若直线的倾斜角越大，则直线斜率越大

B.过点P(x0,y0)的直线方程都可以表示为：y−y0=k(x−x0)2.如图，在空间四边形OABC中，点E在OA上，满足OE=2EA，点A.−12OA+23OB3.直线x−ysiA.[0,π) B.[π44.正四面体的棱长为2，MN是它内切球的一条弦(把球面上任意2个点之间的线段称为球的弦)，P为正四面体表面上的动点，当弦MN最长时，PM⋅A.1 B.2 C.3 D.45.冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径(图2中圆的半径)为1，竹签所在直线方程为2x+y=0

A.2x+y±2=0 B.6.已知直线(3+2λ)x+(3λ−2A.(x−2)2+(y+7.如图，已知A(5,0)，B(0,5)，从点P(1,A.213

B.210

C.8.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面四个结论中正确的个数是(

)

①PA.1 B.2 C.3 D.4二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的是(

)A.若向量a,b,c共面，则它们所在的直线共面

B.若G是四面体OABC的底面△ABC的重心，则OG=13(OA+OB+OC)

C.若OG=−25OA10.已知直线l1：(m+3)x+yA.若l1⊥l2，则m=−125

B.若l1//l2，则m=1或m11.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点E.将A.BD⊥CM

B.存在一个位置，使△CDM为等边三角形

C.DM与BC不可能垂直12.在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1A.当λ=μ时，BP/​/平面CB1D1

B.当μ=12时，存在唯一点P使得DP与直线CB1的夹角为π3

C.当三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.经过点P(1,−2)作直线l，若直线l与连接A(0,−114.如图，在一个120°的二面角的棱上有两点A，B，线段AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都与棱AB垂直，若AB=2，AC15.如图，在四棱锥P−ABCD的平面展开图中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ADE是以AD

16.函数f(x)=四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC的顶点B(−1,−3)，AB边上的高CE所在的直线方程为4x+3y−7=0，18.(本小题12.0分)

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，∠A1AD=∠A1AB=19.(本小题12.0分)

已知t∈(0,5]，由t确定两个点P(t,t)，Q(10−t,0)．

(1)写出直线PQ的方程(答案含t)；

(2)在△O20.(本小题12.0分)

在下列所给的三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答．

①与直线4x−3y+5=0垂直；②过点(5,−5)；③与直线3x+4y+2=0平行．

问题：已知直线l过点P(121.(本小题12.0分)

如图，某种风筝的骨架模型是四棱锥P−ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，AC∩DB=O，PO⊥平面ABCD，∠BOC=90°，OA22.(本小题12.0分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，PA=PD=2，AB=1，AD=2，PD⊥AB

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：倾斜角的范围为(0,π2)时，直线斜率k>0；倾斜角的范围为(π2,π)时，直线斜率k<0，故A错误；

B、当过点P(x0,y0)的直线斜率不存在时，直线方程不能表示为y−y0=k(x−x0)2.【答案】D

【解析】【分析】本题考查了向量的三角形法则、线性运算法则，考查了推理能力与计算能力，本题属于基础题．

利用向量的三角形法则、线性运算法则即可得出．【解答】

解：∵OE=2EA，点F为BC的中点，

∴OE=3.【答案】B

【解析】解：对于直线x−ysinθ+2=0，当sinθ=0时，x=−2，斜率不存在，则倾斜角为π2．

当sinθ∈(04.【答案】B

【解析】解：连接PO，根据题意作图如下：

设球的球心为O，由题意易知当弦MN的长度最大时，球的直径即为MN，

根据向量的线性运算可得：

PM⋅PN=(PO+OM)(PO+ON)=PO2+PO⋅ON+OM⋅PO+OM⋅ON=PO2+P5.【答案】B

【解析】解：由题可设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为2x+y+c=0，

由点到直线的距离公式可得|c|22+12=1，6.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查了圆的标准方程，直线过定点的问题，属于中档题．

由条件令参数λ的系数等于零，求得x和y的值，即可得到定点P的坐标，由此可以求得过点P的圆的半径，易得该圆的标准方程．

【解答】

解：由(3+2λ)x+(3λ−2)y+5−λ=0

得到：(2x+3y−1)λ+(3x−2y7.【答案】A

【解析】解：设点P关于y轴的对称点为P′，

则P′(−1,0)，

设点P关于直线AB：x+y−5=0的对称点P′′(a,b)，

则b−0a−1×(−1)=8.【答案】C

【解析】解：对于①，当P与D1重合时，PQ与EF垂直，故①错误；

对于②，∵P是棱C1D1上的动点，EF是棱AB上的一条线段，

∴平面PEF即平面ABC1D1，

以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，

则Q(2,0,4)，A(4,0,0)，B(4,4,0)，

∴QA=(2,0,−4)，AB=(0,4,0)，平面QEF即平面QAB，

设平面QAB的法向量为n=(x,y,z)，设二面角P−EF−Q的平面角为θ，

则QA⋅n=2x−4z=0AB⋅n=4y=09.【答案】BD【解析】解：选项A，三个向量共面，所在直线不一定共面，即选项A错误；

选项B，设O(0,0,0)，A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，

所以OA=(x1,y1,z1)，OB=(x2,y2,z2)，OC=(x3,y3,z3)，

又G是底面△ABC的重心，

所以G(x1+x2+x33,y1+y2+y33,z1+z2+z33)10.【答案】AD【解析】解：对选项A：l1⊥l2，则4(m+3)+m=0，解得m=−125，故A正确；

对选项B：当m=1时，两条直线重合，故B错误；

对选项C：m=0时，l1：3x+y−1=0，斜率为−3，l1的方向向量是(1,−3)，故C错误；

对选项D：11.【答案】AB【解析】【分析】本题考查线面垂直的性质，棱锥的结构特征，直线与直线垂直，直线与平面所成的角，属于中档题．

画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，即可判断选项的正误．【解答】

解：对于A，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点E，

将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，如图，

连接ME，EC，

可知ME⊥BD，EC⊥BD，ME⋂EC=E，ME，EC⊂平面MCE，

所以BD⊥平面MCE，又MC⊂平面MCE，可知MC⊥BD，故A正确；

对于B，由题意可知AB=BC=CD=DA=BD，

当三棱锥是正四面体时，CM=DM=DC，△CDM为等边三角形，故B正确；

对于C，三棱锥是正四面体时，取BC中点N，连接M12.【答案】AC【解析】解：当λ=μ时，如图(1)，P的轨迹线段DA1，由正方体的结构特征，可知平面CB1D1//平面A1BD，

BP⊆平面A1BD，

∴BP/​/平面CB1D1，故A正确；

当μ=12时，如图(1)，点P的轨迹为线段EF，直线CB1//直线DA1，

当P与E重合时，DP与直线DA1所成角最大，即DP与直线CB1所成角最大，最大为π4，故B错误；

当λ+μ=113.【答案】(−【解析】【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得直线PA的斜率、直线PB的斜率，可得直线l的斜率k的取值范围．【解答】

解：∵过点P(1,−2)作直线l，

直线l与连接A(0,−1)与B(2,1)两点的线段

总有公共点，

直线PA的斜率为−2+1114.【答案】3

【解析】【分析】本题考查了向量的加法法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

由CD=CA+【解答】

解：∵CD=CA+AB+BD，

∴CD2=CA2+AB2+BD2+2CA⋅AB+2CA⋅B15.【答案】5【解析】解：由平面图形还原原四棱锥，如图示：

该四棱锥底面ABCD为正方形，边长为2，

△ADE是以AD为斜边的等腰直角三角形，∠HDC=∠FAB=90°，

则侧面PAD⊥底面ABCD，

PA=PD=2，则PB=PC=6，

取AD的中点G，则G为Rt△APD的外心，连接AC、BD，相交于O，

则OG⊥AD，而PG⊥AD，侧面PAD⊥底面ABCD，则PG⊥平面ABCD，

则PG⊥OG，AD∩PG=G，故OG⊥平面PAD，

可得16.【答案】2【解析】解：f(x)=x2+8x+20+x2+4x+20=(x+4)2+(0−2)2+17.【答案】解：(1)设D(a,b)，则C(2a+1,2b+3)，

∵CE所在的直线方程为4x+3y−7=0，AD所在的直线方程为x−3y−3=0，

∴a−3b−3=04(2【解析】本题主要考查了直线的位置关系与斜率关系，直线交点的求解，点到直线的距离公式，本题属于中档题．

(1)设D点坐标(a,b)，则C点坐标(2a+1,2b+3)，然后结合C18.【答案】解：(1)在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，点P在线段BC上，且满足BP=PC．

设AB=a，AD=b，AA1=c，这三个向量不共面，{a,b,c}构成空间的一个基底．

所以D1P【解析】(1)根据平面向量的基本定理，设AB=a，AD=b，AA1=c，这三个向量不共面，{19.【答案】解：(1)由题意知当直线斜率存在时，kPQ=t2t−10，

当t=5时，直线PQ的方程为x=5，

当t≠5时，直线PQ的方程为y−t=t2t−10(x−t)．

直线PQ的方程为(2t−10)y=t(x+t−10【解析】(1)首先计算kPQ，分t=5和t≠5得到直线方程即可；

(2)根据题意得到A，B，20.【答案】解：(1)根据题意，选择①与直线4x−3y+5=0垂直，

则直线l的斜率k×43=−1，解得k=−34，又其过点P(1,−2)，

则直线l的方程为：y+2=−34(x−1)，整理得：3x+4y+5=0；

选择②过点(5,−5)，又直线l过点P(1,−2)

则直线l的斜率k=−5+25−1=−34，

则直线l的方程为：y+2=−34(x−1)，整理得：3x+4y+5=0；

选择③与直线3x+4y+【解析】(1)选择不同的条件，根据直线垂直，平行时，斜率之间的关系，以及直线方程的求解，即可求得结果；

(2)求得点O关于l的对称点21.【答案】(1)证明：四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，∴OD=1，OB=2，

连接EO，∴PEPB=DODB=13，∴EO//PD，

∵EO⊂平面AEC，PD⊄平面AEC，

∴PD/​/平面AEC．

(2)解：∵PO⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴PO⊥AC，

∵tan∠PAC=2，∴【解析】(1)证明AD//BC，连接EO，说明EO/​/PD，然后证明PD/​/平面AEC．

(2)以O为坐标原点，分别以22.【答案】解：(1)证