2023-2024学年江苏省南京重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省南京重点中学高二（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.双曲线x24−yA.25 B.45 C.22.古希腊数学家阿波罗尼斯在其巨著《圆锥曲线论》中提出“在同一平面上给出三点，若其中一点到另外两点的距离之比是一个大于零且不等于1的常数，则该点轨迹是一个圆”.现在，某电信公司要在甲、乙、丙三地搭建三座5G信号塔来构建一个特定的三角形信号覆盖区域，以实现5G商用，已知甲、乙两地相距4km，丙、甲两地距离是丙、乙两地距离的3倍，则这个三角形信号覆盖区域的最大面积(单位：A.23 B.43 C.3.若抛物线x2=12y的焦点与双曲线yA.y=±52x B.y4.抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F与x轴垂直的直线交C于点M，N，有下列四个命题：

甲：点F坐标为(1,0)；

乙：抛物线C的准线方程为x=−2；A.甲 B.乙 C.丙 D.丁5.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5m，已知行车道总宽度AB=6A.2.25m B.2.5m C.3.25m6.已知F1，F2是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段A.533 B.5237.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为60°时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则e2=(

)

A.19 B.7−23 8.我们把圆锥曲线的弦AB与过弦的端点A，B处的两条切线所围成的三角形△PAB(P为两切线的交点)叫做“阿基米德三角形”.抛物线有一类特殊的“阿基米德三角形”，当线段AB经过抛物线的焦点F时，△PAB具有以下性质：

①P点必在抛物线的准线上；

②PA⊥PB；

③PF⊥AB．A.±1 B.±2 C.±3二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）9.已知直线l1：x+ay−a=0A.若l1//l2，则a=1或−3

B.若l2在x轴和y轴上的截距相等，则a=1

C.若l1⊥l10.已知曲线C：mx2+nA.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n>0，则C是圆，其半径为n

C.若mn<0，则11.以下四个命题表述正确的是(

)A.截距相等的直线都可以用方程xa+ya=1表示

B.圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+2=0的距离都等于1

C.曲线C1：x2+y2+2x=0与曲线12.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a⟩0A.e=5 B.e=2 三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知光线通过点M(−3,4)，被直线l：x−14.若直线x+y−2=0经过抛物线y=15.若函数y=−4−(x−116.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是32，一个顶点是B(0四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(本小题10.0分)

已知△ABC的顶点C(2,−8)，直线AB的方程为y=−2x+11，AC边上的高B18.(本小题12.0分)

解答下列两个小题：

(1)双曲线E：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)离心率为219.(本小题12.0分)

已知圆C1圆心为原点，且与直线3x+4y−10=0相切，直线l过点M(1,2)．

(1)20.(本小题12.0分)

已知椭圆M：x29+y2b2=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，设椭圆N的焦点恰为椭圆M短轴上的顶点，且椭圆N过点(221.(本小题12.0分)

给定椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)，称圆心在原点O、半径是a2+b2的圆为椭圆C的“准圆”.已知椭圆C的一个焦点为F(2,0)，其短轴的一个端点到点22.(本小题12.0分)

已知两圆C1：(x−2)2+y2=18，C2：(x+2)2+y2=2，动圆M在圆C答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查双曲线的标准方程，关键是由双曲线的标准方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程．

根据题意，由双曲线的方程可得双曲线的顶点坐标和渐近线方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．

【解答】

解：根据题意，双曲线的方程为x24−y=1，

顶点坐标为(±2,0)，渐近线方程为y2.【答案】B

【解析】【分析】本题考查了数学知识的实际应用问题，动点轨迹方程的求解，圆的方程的理解与应用，解题的关键是将问题进行坐标化，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，利用直接法求出丙地满足的关系，利用圆的方程求解即可．【解答】

解：以甲、乙两地所在直线为x轴，线段甲乙的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，

设甲、乙两地的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，丙地坐标为(x,y)(y≠0)，

所以3.【答案】C

【解析】解：抛物线x2=12y的焦点与双曲线y2a2−x25=1的一个焦点重合，可得焦点坐标(0,3)，

所以4.【答案】B

【解析】【分析】本题考查抛物线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查运算求解能力，是基础题．

由抛物线的焦点坐标为F(p2,0【解答】

解：抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点坐标为F(p2,0)，

若p2=1，则p=2，F(1,0)，甲正确；

抛物线的准线方程为x=−1，乙错误；

抛物线的通径为2p=4，丙正确；

抛物线方程为y2=4x，与y=5.【答案】C

【解析】解：取隧道截面，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴，建立直角坐标系，

则C(4,−4)，

设抛物线方程x2=−2py(p>0)，将点C代入抛物线方程得p=2，

∴抛物线方程为x2=−4y，

6.【答案】B

【解析】解：连接PF1，OQ，

由OQ为中位线，可得OQ//PF1，|OQ|=12|PF1|，

圆x2+y2=b2，可得|OQ|=b，即有|PF1|=2b，

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF2|=2a−2b，

又O7.【答案】D

【解析】解：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长b=2，

在△ABC中，由正弦定理得2asin(60∘+45∘)=4sin60∘8.【答案】B

【解析】解：抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x=−1，

直线l：y=k(x−1)经过抛物线的焦点，

由题意k≠0，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

联立y2=4xy=k(x−1)，得k2x2−(2k2+4)x+k9.【答案】CD【解析】解：若l1//l2，由1×(3−2a)=a×a，解得a=1或−3，

经检验当a=1时，l1，l2重合，当a=−3时，l1//l2，

所以a=−3，故A错误；

若l2在x轴和y轴上截距相等，则l2过原点或其斜率为−1，则a−2=0或a2a−3=−1，则a=2或a=1，故B错误；

若l1⊥l2，则1×a+a×(3−2a)=0，解得a10.【答案】AD【解析】解：对于A，若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上，因为方程化为：x21m+y21n=1，0<1m<1n，焦点坐标在y轴，所以A正确；

对于B，若m=n>0，则C是圆，其半径为：1n，不一定是n，所以B不正确；

对于，C若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为mx2=−ny2，化简可得y=±−11.【答案】BC【解析】解：对于A选项．截距相等的直线还可以过原点，不能用方程xa+ya=1表示，故A选项错误．

对于B，圆心(0,0)到直线l：x−y+2=0的距离等于1，半径为r=2，

平行于l：x−y+2=0且距离为1的两条直线分别过圆心以及和圆相切，

所以圆x2+y2=4上有且仅有3个点到直线l：x−y+2=0的距离都等于1，

故选项B正确；

对于C，圆C1：x2+y2+2x=0，可得(x+1)2+y2=1，圆心C1(−1,0)，半径r=1，

曲线C2：x2+y2−4x−8y+m=0，可得(x12.【答案】BC【解析】解：∵|PF1|=2|PF2|，

∴由双曲线定义可知：|PF1|−|PF2|=|PF2|=2a，得|PF1|=4a，

由sin∠F1PF2=154，可得cos∠F1P13.【答案】y=【解析】【分析】求出M关于x−y+【解答】

解：∵光线通过点M(−3,4)，设点M关于直线l：x−y+3=0的对称点K(x,y)，

∴y−4x+314.【答案】18【解析】解：抛物线y=mx2的焦点在y轴，直线x+y−2=0经过抛物线y=mx2的焦点，

所以抛物线的焦点坐标(0,215.【答案】[−【解析】解：由y=−4−(x−1)2得：(x−1)2+y2=4且y≤0，∴y=−4−(x−1)2表示以(1,0)为圆心，2为半径的圆在x轴及其下方的部分，

函数y=−16.【答案】x24+【解析】解：由题意可得e=ca=32b=1c2=a2−b2，解得：a2=4，b2=1，

所以椭圆的方程为：x24+y2=1；

①当直线PQ的斜率存在时，设直线PQ的方程为：y=kx+t，t≠1，

设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立y=kx+tx24+y2=1，整理可得：(1+4k2)x2+8ktx+4t2−4=0，

可得x1+x2=−8kt1+4k2，x1x217.【答案】解：(1)由y=−2x+11x+3y+2=0，可得顶点B(7,−3)，

又因为AC⊥BH，kBH=−13，

所以设AC的方程为y=3x+b，

将C【解析】本题考查求直线与直线的交点和圆的方程，属于中档题．

(1)由题意直线BH，AB的方程联立求出B的坐标，求出直线AC的方程，与直线AB联立求出A的坐标；

(218.【答案】解：(1)由e=2，得ca=2，即c=2a，

又b2=c2−a2=(2a)2−a2=a2，即a=b，

双曲线E的方程即为x2a2−y2a2=1【解析】本题考查了双曲线方程，考查了计算能力，属于基础题．

(1)由e=2，得a=b，将点(2,2)坐标代入得4a2−2a219.【答案】解：(1)根据已知可得圆的半径为R=|−10|32+42=2，圆心为(0,0)，

所以圆C1的方程为x2+y2=4；

(2)根据题意，圆C1：x2+y2=4，其圆心C1(0,0)，半径R=2，【解析】(1)根据点到直线距离求出圆的半径，即可求出圆的方程；

(2)根据直线和圆相交，即可知道圆心到直线的距离d=20.【答案】解：(1)由椭圆M：x29+y2b2=1(b>0)的一个焦点为(2,0)，得c=2，且b2=a2−c2=9−4=5，

∴椭圆N的焦点为(0,−5)，(0,5).

又椭圆N【解析】(1)由已知求出椭圆M的上下点的坐标，可得椭圆N的焦点坐标，再由椭圆定义求得N的长半轴长，结合隐含条件求得短半轴长，则椭圆N的方程可求；

(2)联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及弦长公式求21.【答案】解：(1)由题意知c=2，且a=b2+c2=3，

可得b=a2−c2=1，

故椭圆C的方程为x23+y2=1，其“准圆”方程为x2+y2=4．

(2)【解析】(1)依题意可得c=2，a=3，即可求出b，从而得解；

(2)设22.【答案】解：(1)设圆M的半径为R，

则|MC1|+|MC2|=(32−R)+(2+R)=42>4=|C1C2|，