2024版新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2函数的基本性质3.2.2奇偶性第2课时奇偶性的应用导学案新人教A版必修第一册

第2课时奇偶性的应用【学习目标】(1)掌握利用奇偶性求函数解析式的方法．(2)理解奇偶性对单调性的影响并能用以比较大小、求最值和解不等式．题型1利用奇偶性求函数的解析式例1(1)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2－1.当x<0时，求f(x)的解析式．(2)设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋2x，求函数f(x)，g(x)的解析式．一题多变将本例(1)中条件改为“已知y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f(x)＝x2＋2x”求f(x)的解析式．题后师说1．利用函数奇偶性求函数解析式的一般步骤2．已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．跟踪训练1已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－x1+x求f(x)的解析式．题型2利用函数奇偶性与单调性比较大小【问题探究】如果奇函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？如果偶函数在(－2，－1)上单调递减，那么它在(1，2)上的单调性如何？例2已知奇函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪0，+∞，且对任意两个不相等的正实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1A．f(－1)>f(－2)B．f(－1)<f(－2)C．f(－2)>f(1)D．f(－2)<f(1)题后师说利用奇偶性与单调性比较大小的2种策略跟踪训练2设函数y＝f(x)是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系为()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(－3)>f(－2)>f(π)C．f(－2)>f(－3)>f(π)D．f(π)>f(－2)>f(－3)题型3利用函数的奇偶性与单调性解不等式例3已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意不等实数x1，x2∈[0，＋∞)，不等式fx1-fx2x1-x2<0一题多变将本例条件“奇函数”改为“偶函数”，其它条件不变，求不等式f(2x)>f(x－1)的解集．题后师说利用奇偶性与单调性解不等式的步骤跟踪训练3已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围是________．随堂练习1.下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的函数是()A．y＝xB．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1D．y＝12．已知偶函数f(x)，当x>0时，f(x)＝x2＋x，则当x<0时，f(x)＝()A．－x2＋xB．－x2－xC．x2＋xD．x2－x3．若偶函数f(x)在(－∞，－1]上单调递减，则()A．f(－2.5)<f(－1)<f(3)B．f(－1)<f(－2.5)<f(3)C．f(3)<f(－2.5)<f(－1)D．f(3)<f(－1)<f(－2.5)4．已知f(x)是定义在区间[－1，1]上的奇函数且为增函数，则不等式fx+12<f(1－x)的解集为课堂小结1.掌握利用奇偶性求函数解析式的方法．2．利用奇偶性和单调性比较大小、解不等式．第2课时奇偶性的应用例1解析：(1)当x<0时，－x>0，由于f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－2(－x)2－1＝－2x2－1＝－f(x)，即f(x)＝2x2＋1(x＜0)．(2)因为f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，所以f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②(①＋②)÷2，得f(x)＝x2.(①－②)÷2，得g(x)＝2x.一题多变解析：当x>0，则－x<0，所以f(－x)＝x2－2x，因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)＝f(－x)，所以x>0时，f(x)＝x2－2x，所以f(x)＝x跟踪训练1解析：因为y＝f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－x1所以f(x)＝-x1-x，x<00问题探究提示：奇函数在(1，2)上单调递减，偶函数在(1，2)上单调递增．例2解析：对任意两个不相等的正实数x1，x2，x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x2)＋x2f(x1)可得(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，即f(x)在(0，＋∞)单调递增，所以f(1)<f(2)，因为f(x)是定义域为(－∞，0)∪0且f(1)＝－f(－1)，f(2)＝－f(－2)，所以－f(－1)<－f(－2)即f(－1)>f(－2)，故选A.答案：A跟踪训练2解析：函数y＝f(x)是R上的偶函数，在[0，＋∞)上是减函数，可得f(－x)＝f(x)，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，由2<3<π，可得f(2)>f(3)>f(π)，即有f(－2)>f(－3)>f(π)，故选C.答案：C例3解析：因为对于任意不等实数x1，x2∈[0，＋∞)，不等式fx1所以f(x)在[0，＋∞)上递减，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以函数f(x)在R上单调递减，所以2x<x－1，解得x<－1，所以不等式的解集为xx一题多变解析：因为函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(2x)>f(x－1)，所以f(|2x|)>f(|x－1|)，又因为对于任意不等实数x1，x2∈[0，＋∞)，不等式fx1所以f(x)在[0，＋∞)上递减，所以|2x|<|x－1|，解得－1<x<13所以不等式的解集为x-跟踪训练3解析：由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．∵y＝f(x)在[－1，1]上是奇函数，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)<f(a－1)．又f(x)在[－1，1]上单调递减，∴-1≤∴0≤a<1.∴a的取值范围是[0，1)．答案：[0，1)[随堂练习]1．解析：AD选项为奇函数，故AD错；B选项为偶函数，当x>0时，y＝x＋1，单调递增，故B正确；C选项为偶函数，但在(0，＋∞)上单调递减，故C错．故选B.答案：B2．解析：当x<0，则－x>0，f(－x)＝(－x)2＋(－x)＝x2－x，又f(x)为偶函数，∴当x<0时，f(x)＝f(－x)＝x2－x.故选D.答案：D3．解析：f(x)是偶函数，所以f(－2.5)＝f(2.5)，f(－1)＝f(1)，f(x)在(－∞