2022-2023学年北京朝阳区二外附中高二(上)期中数学试卷及答案

2022北京二外附中高二（上）期中数学本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.下列直线中，倾斜角为锐角的是（）y=2x+1x−y+1=0y=1A.B.C.D.x=2中，+=a19a5，则的值为2.在等差数列nA.5C.8B.6D.10y2=4x上的点P到直线x=−1的距离等于4P到焦点F的距离PF=（）3.若抛物线A.1B.2C.3D.44.已知直线l0x垂直，则直线l的方程是（）x+2y+1=0x+2y−1=02x+y+1=02x+y−1=0A.C.B.D.5.如图，空间四边形OABC中，a,b,c，点M是OA的中点，点N在BC上，且===CN=2NB，设=，则xy，z的值为（）112233121233121233112D.−，，233A.，，B.，，C.−，，x2y2+=1表示椭圆”是“3m5”的（6.“方程）5−mm+3A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分条件又不必要条件ABCD−ABCDAB1D的中点，则点E到平面的距离为17.在棱长为1的正方体中，点E为棱111111（）2A.C.2B.D.2212422y22x2y2x−=1，其中a0.若C与C的焦距之比为1:38.已知椭圆1:+=1，双曲线C2:b，则12a2b2abC的渐近线方程为（）2A.2x5y0=B.D.5x2y=02xy=0C.x2y0=9.已知直线：−y+1−k=0和圆C2+y2−4x=0，则直线l与圆C：x的位置关系为（）A.相交B.相切C.相离D.不能确定x22y22−=ab0)的两条渐近线分别为直线，ll，直线l经过双曲线C2的右焦点F10.已知双曲线C:1ablll分别交于A，B两点，若3，则双曲线C=且垂直于，设直线l与，的离心率为（）112233326433A.B.C.D.2第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）x2y2椭圆+=1上一点P到右焦点F的距离为3，则P到左焦点的距离是______，顶点在原点的抛物线2516C的焦点也为F，则其标准方程为______．12.直线ymx2m1经过一定点，则点的坐标为________，以点为圆心且过原点的圆的方程为=+−CCC________________.Sa}n的前项和，已知a=3a=11S=，则_______.713.设是等差数列，nn2614.已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为(0)；②经过点(3,0；③离心率为2.你选择的两个条件是___________，得到的双曲线M的标准方程是___________.y=6x焦点作直线l，交抛物线于,B两点.若线段AB中点M的横坐标为2，则||等于215.过抛物线__________.(F2,0)和定直线x=2的距离的积等于的点的轨迹给出下列四个结论：4.16.曲线C是平面内与定点①曲线C过坐标原点；②曲线C关于轴对称；x③曲线C与y轴有3个交点；④若点M在曲线C上，则的最小值为2(2−).其中，所有正确结论的序号是______.三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）SnSn的前项和满足=−+an2n，17.已知数列nn（1）求数列的通项公式；anSnn等差数列；（2）求证：数列（3）求数列的前n项和的最大值．anSnAACC是边长为4的正方形，AB3.再从条件①条件②､=､18.如图，在三棱柱中，四边形11条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答.⊥AACC（1）求证：AB平面；11（2）求直线BC与平面A所成角的正弦值.11条件①：BC=5；条件②：ABAA⊥；条件③：平面ABC⊥AACC平面.111(0)，()的距离的比值为的轨迹为曲线N1,0M19.在平面直角坐标系xOy中，设动点P到两定点2C．（1）求曲线C的方程；（2）若直线l过点MN到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线lC的位置关系．⊥，AC=BC=1，AA1=2，点D为AC的中点．20.如图，在直三棱柱中，AB1//；1（1）求证：（2）求平面平面1D夹角的余弦值；与平面11D的位置关系，如果是相交，请（3）G是线段CG与平面1作出交点．321.已知椭圆C的两个顶点分别为A(2,0)，B(2,0)，焦点在x轴上，离心率为．2（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点MN，过D作的垂线交于点E.求证：△BDEBDN的面积之比为4:5．参考答案第Ⅰ卷（选择题，共分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1.【答案】B【分析】由直线的斜率与倾斜角的关系可得.【详解】设直线倾斜角为，y=2x+1，斜率k=tan=20，即倾斜角为钝角；A选项，直线B选项，直线yx1，斜率=+k=tan=10，倾斜角为，是锐角；y=1，斜率k=tan=0，即倾斜角为0，不是锐角；C选项，直线C选项，直线x=2，斜率不存在，即倾斜角为，是直角不是锐角.故选：B.2.【答案】Aa+a=2aa5【详解】解析：由角标性质得，所以=51953.【答案】D【分析】根据抛物线的定义即可得解.=4x的准线为x=−1，=4x上的点P到直线x=−1的距离等于4，y2【详解】抛物线y2而抛物线PF=4所以点P到焦点F的距离.故选：D.4.【答案】D2x+y+m=0m【分析】由题意设直线l方程为，然后将点坐标代入求出，从而可求出直线方程（0）x0垂直，所以设直线l方程为2x+y+m=0，【详解】因为直线l与直线因为直线l01+m=0，得m=−1，2x+y−1=0，所以直线l方程为故选：D5.【答案】Cx,y,z【分析】将表示为以,OB,为基底的向量，由此求得的值.()=OB+BN−OA=+BC−【详解】依题意=−2321121()=+−−=−++x=−,y=,z=.，所以32233233故选：C.【点睛】本小题主要考查空间中，用基底表示向量，考查空间向量的线性运算，属于基础题.6.【答案】Am【分析】本题结合椭圆的定义与充分必要条件，根据椭圆的定义列不等式组解出，特别要注意的就是椭圆的a，这道题即可解决.x2y2+=1表示椭圆，则满足条件为：【详解】由方程5−mm+35−m0m+303m5且m1，解得5−mm+3所以由3m5且m1，可以推出3m5，但反过来不成立.故选：A7.【答案】BV=VB−11【分析】由，利用等体积法求解.E−111D【详解】设点E到平面的距离为h，1V=VB−11因为，E−111113111Dh=1D1D1，1即11322111122所以h==，2故选：B8.【答案】Ab【分析】首先表示出椭圆与双曲线的焦距以及双曲线的渐近线方程，依题意得到方程，即可得到，即可a得解；22y22x2y2x+=1的焦距为2a2−b2，双曲线C2:−=1的焦距为2a2+b2，渐【详解】解：椭圆1:a2b2ab2a2a22−b+b2213aa22−b+b2219ba2245b===近线为y=x，因为C与C的焦距之比为1:3，所以，所以，即，12ab25525=y=x2x5y=0，即所以，所以双曲线的渐近线为；a5故选：A9.【答案】A【分析】求出直线过的定点P坐标，确定定点在圆内，则可判断．k(x−−y+1=0P，【详解】直线方程整理为，即直线过定点而12+12−41=−20，P在圆C内，∴直线l与圆C相交．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．关键点有两个：一是确定动直线所过定点坐标，二是确定点到圆的位置关系：圆C的一般方程为f(x,y)=x2+y++Ey+F=0，点P(x,y)，则002f(x,y)0点P在圆Cf(x,y)=0点P在圆C内，外．上，0000f(x,y)0点P在圆C0010.【答案】C【分析】由已知可得FAb，a，过F作==⊥OB于G，易得FG=b，22b，从而=a+22b，=在OAB中，利用勾股定理2=2+AB2即可建立a,b,c之间的关系.【详解】|cb|+bl:bx+ay=0l:bx−ay=0==b，FB=b，所以如图1，，，由已知，12a22⊥OB于G，易证，OA=OF2−2=c2−b2=a，如图2F作FG所以FG=b，故OG==a，BG=2−GF2=9b2−b=22b，从而2=a+22b，在OAB中，OB2=OA2+AB2，所以(a+22b)2=a2+16b2，化简cb126得a=b，故双曲线离心率为故选：C.e==1+()2=1+=.aa2a,b,c【点睛】本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率的问题，关键是找到程或不等式，本题是一道中档题.之间的关系，建立方第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）【答案】①.7②.y=12x2【分析】由椭圆的定义可得P到左焦点的距离，再由抛物线焦点坐标确定抛物线开口方向及方程系数，可得标准方程.x2y2a=b=2a=c3=，+=1知，【详解】由椭圆2516则P到左、右两焦点的距离和为10，已知P到右焦点F的距离为3，则P到左焦点的距离为−3=7.pF0)又右焦点，则顶点在原点的抛物线C开口向右，且，2则抛物线C的标准方程为y2=12x.故答案为：7；y2=12x.(−2,−.(x2)2+(y+2=5+12.【答案】①.【分析】通过分离参数，可求出直线所过定点；求出点C到原点的距离，即为所求圆的半径，可求出圆的方程.=(+)−y+1=m(x+2)，y=mx+2m−1ymx21，即【详解】由由直线的点斜式方程可知，(−2,−；得y+1=mx+2)是斜率为m((−−)的直线，1，过定点故点C的坐标为x+2=0x=−2y=−1(−2,−，即C（或由解得的坐标为）y+1=020=(−−)210+(−−)2=5，点C到原点O的距离COr=CO=5即以点C为圆心且过原点的圆的半径，(+)2+(+)y1=5.2故以点C为圆心且过原点的圆的方程为：x2(−2,−(x2)(y)；+2++2=故答案为：5.13.【答案】49(+)7a2a6714S=7==49.【详解】22x2x2y2y23x23−y2=1或−=1或−=114.【答案】①.①②或①③或②③②.322a,c【分析】选①②，根据焦点坐标及顶点坐标直接求解，选①③，根据焦点坐标及离心率求出即可得a,c解，选②③，可由顶点坐标及离心率得出，即可求解.【详解】选①②，由题意则c=2，a=3，b2=c2−a=1，2x2双曲线的标准方程为−y2=1，3x2−y2=1，故答案为：①②；3cc=e==2选①③，由题意，，aa=2，b2=c2−a2=2，x2y2双曲线的标准方程为−=1，22ca=3,e==2选②③，由题意知，ac=6，b2=c2−a=32，y23x23双曲线的标准方程为−=1.x2x2y2y23x23−y2=1或①③；−=1或②③；−=1.故答案为：①②；32215.【答案】7【分析】p=3x+x，最后根据抛物线的焦点弦公式12根据抛物线的方程即可求出，再根据中点坐标公式即可求出即可求出||【详解】解：p=3.，则，设()()，Ax,y,Bx,y2112线段AB中点M的横坐标为2，x+x=22=4，12AB=x+x+p=4+3=7.12故答案为：7.16.【答案】①②④(x,y)x=0y=0，得知图象过原点，即判断①正确③【分析】先设动点坐标为，根据题意构建关系，令y−y用代替，等式不变，即判断②正确；利用关系解出y2，再计算错误；关系式中=(x−2)2+y2求解函数最值，即判断④正确.(x,y)(x−2)2+yx+2=42【详解】设动点的坐标为，则．①当x=0时，y=0，∴曲线C过坐标原点，故①正确；(x−2)2+y2x+2=4中的y−y代替，该等式不变，②将用∴曲线C关于轴对称，故②正确；x③令x=0，则y=0，故曲线C与y轴只有个交点，故③错误；1(x−2)2+yx+2=4，2④∵16(x+2)16(x+2)y=−(x−2)2−(x−2)022解得22x22，−∴，由2216(x+2)4x+2=(x−2)2+y2=(x−2)2+−(x−2)=2∴若点M在曲线C上，则24=2(2−，当x=22时等号成立，故④正确．2+22综上所述，所有正确的结论为①②④.故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键在于求出动点的轨迹方程，才能利用方程研究性质，即突破难点.三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）a=14−2n17.1）n（2）证明见解析342S,an）根据之间的关系进行求解即可；n（2）根据等差数列的定义进行证明即可；（3）根据等差数列的单调性进行求解即可.【小问1当n=1时，S=a=；11S=n−n2=(−)−(−)2S，∴n1n1n1∵∴；n()；an=SnSn1142nnnN−=−当n=1时，a=14−2=121的通项公式为a满足上式，故an142n．=−n【小问2Snnb=n=13−n，其中b=12，1设∴b=13−n+)；∴n1−n=12−n−13+n=−1(；n1Snn为首项12，公差1的等差数列．即数列【小问3a=14−2nn因为，所以该数列是递减数列，a=14−2n0n7由由当，na=14−2n=0n=7n，a0nn7a0a=0；6时，；即，7(+)6122所以前n项和的最大值为S6S7===42.21218.12）.25AB⊥ACABAA，利用线面垂直的判定定理可得1⊥）根据勾股定理可得，再由AB⊥平面AACC1）根据勾股定理可得ABAC，再由面面垂直的性质定理可得AB⊥⊥11AACC平面.11A−A（2）以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据sin|BC,n|11【详解】解：选择①②：（1）因为AC=4，AB=3，AB⊥AC.所以BC=5，AB⊥AAAC∩AA1=A，又因为，1所以AB平面⊥AACC.111）因为AC=4，AB=3，AB⊥AC.所以BC=5，又因为平面ABC⊥平面AACC，，11平面平面AACC=AC11所以AB平面⊥AACC11AB⊥ACABAA1.，⊥（2）由（）知⊥.1AACC因为四边形是正方形，所以11A−如图，以A为原点建立空间直角坐标系(0,0)B0)，C(0,4)，则，，1(0,4,0)，1(0,4)，AB=−0)，AC=(0,4)，BC=(−4).111A=设平面的一个法向量为n(x,y,z)，113x−4y=4z=0.n即则令n11y=3x=4，z=0，所以n=(4,0).，则设直线BC与平面A所成角为，112sin|cosBC,n=则.|||n|251225所以直线BC与平面A所成角的正弦值为11.【点睛】思路点睛：解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为：（1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内；（2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错.（3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量.（4）利用法向量求距离、线面角或二面角.(−)19.1）x22+y2=4（2）x22y+2=0，相交）利用两点间距离公式进行求解即可；（2）根据点到直线距离公式，结合圆的性质进行求解即可.【小问1PM设P(x,y)为所求曲线C上任意一点，由题意得=2．又(0)，()N1,0，MPN(+)所以x22+y2=(−)x12+y2，整理得(x−2)2+y=4．22(−)故曲线C的方程为x22+y24．=【小问2(−)显然x22+4的圆心坐标为C(0)y2=，半径为r2，=当直线l的斜率不存在时，不符合题意．y=kx+2)，(设直线l的方程为k+2k1因为点N到直线l的距离为1．所以=1，解得k=．2k+1221(+)x2，即x22y+2=0．y=所以直线l的方程为222+243，=所以圆心C到直线l的距离为2()12+224r因为，所以直线lC相交．320.1）证明见解析421（2）211D（3）直线与平面相交，作出交点见解析）根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，根据空间角的向量求法，即可求得答案.1D（3）利用空间向量的数量积判断直线直线CG与平面的位置关系，结合平面的位置关系以及线面位置关系即可作出交点.【小问1BC1BC于MDM，1证明：连接，交1BBC的中点；1在直三棱柱中，由平行四边形，可知M为1//又D为AC的中点，所以DM为的中位线，故；11DMAB1//平面．1∵平面，平面，∴11【小问2，1⊥⊥平面ABC，，已知直三棱柱以C为原点以,CB,CC为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，112则()，()，()，()，()，C0,0A1,0,0B0B2C0,0,2D,0,0，11)1=(2)，=,1,0．AB=(−2BD所以，12m=1,0,0的一个法向量为)，x由题意轴平面⊥，取平面11设平面法向量为)，1Dn=(x,y,zx=4−y+2z=0n=2，1z=1，得到y则有，则，令x−y=0n2z=11D=(2,1)，n得到平面的一个法向量为1cosm所以．mn2