有限维循环群代数中的逆元表示式

有限维循环群代数中的逆元表示式

循环矩阵广泛应用于数学、物理、工程和技术领域。我们也非常重视循环矩阵及其逆算法的应用。在这项工作中，我们讨论了有限维环社区迭代中的逆元，并对有限维环社区迭代中的逆元进行了介绍。将结果应用于循环矩阵和比循环矩阵更广泛的矩阵中。设F为一个域,G=<g>为1个由g生成的n阶循环群,那么群代数F(G)中的元可表示为:其中,e为G中的单位元,ai∈Fi,=0,1,⋅⋅⋅n,-1.为方便,e也可不写或记为1.记称为a的表示多项式.对于a=G(a0,a1,⋅⋅⋅,an-1),如果a0,a1,⋅⋅⋅,an-1中有k个元素非零而其余元素为0,称a为k位元.1可逆a逆元tt型首先,分析连续二个元素非零的二位元的逆元表示式.在以下分析中,假定n≥3.定理1设st,∈F,且st≠0,a=G(s,t,0,⋅⋅⋅,0),那么a可逆的充要条件是sn+(-1)n-1tn≠0.当a可逆时,其中,p=-s-1t.证明:设(s+tg)G(b0,b1,⋅⋅⋅,bn-1)=1,可得的关系式为:考虑递推关系式:它的特征根为p=-s-1t.因此其通解为:把b0,bn-1代入(5)式的第一个方程后,可得:如果sn+(-1)n-1tn≠0,那么tpn-1+s=s1-n(sn+(-1)n-1tn)≠0.可得x=(tpn-1+s)-1.因此,a可逆,并且可得(4)式.反之,若a可逆,则存在b0,b1,⋅⋅⋅,bn-1使得a1-=G(b0,b1,⋅⋅⋅,bn-1).则b0,b1,⋅⋅⋅,bn-1满足(5)式,且bj=xpjx,∈Fj,=0,1,⋅⋅⋅n,-1及(s+tpn-1)x=1,所以s+tpn-1≠0.从而,sn+(-1)n-1tn≠0.推论1设rq,∈F,且r≠0q,n≠1,对于等比序列r,rq,⋅⋅⋅,rqn-1,则根据定理1和引理1可得下面的结果.推论2设st,∈F,且st≠0,a=G(0,⋅⋅⋅,0,s,t0,,⋅⋅⋅0,),1≤k≤n-2,那么a可逆的充要条件为sn+(-1)n-1tn≠0.当a可逆时,其中,p=-s-1t.推论3设st,∈F,且st≠0a,=G(t0,,⋅⋅⋅,0,s),那么a可逆的充要条件为sn+(-1)n-1tn≠0.当a可逆时,下面,讨论二个非零元素之间有1个零的二位元的逆元表示式.定理2设n=2mm,≥2a,=G(s,0,t,0,⋅⋅⋅,0),其中st,∈F,且st≠0,那么a可逆的充要条件为sm+(-1)m-1tm≠0.当a可逆时,其中,p=-s-1t.证明:设那么可得的关系式为:考虑递推关系式:得其中,p=-s-1t.把b0,1b分别代入(12)式的第一个方程和第二个方程后可得:如果sm+(-1)m-1tm≠0,由(14)式可得:因此,a可逆,并且可得(11)式.反之,若a可逆,则有(sm+(-1)m-1tm)b2m-2=(-1)m-1tm-1≠0,所以,sm+(-1)m-1tm≠0.用类似于定理2的证明方法可得n=2m+1时的结果.定理3设n=2m+1m,≥1a,=G(s,0t,,0,⋅⋅⋅,0),其中st,∈F,且st≠0,那么a可逆的充要条件是sn+tn≠0.当a可逆时,其中,p=-s-1t.对于一般的二个非零元素之间有1个零的二位元的逆元表示式可根据定理2、定理3和引理1得到.对于一般的二位元的逆元表示式均可按上述方法得到,此处从略.2逆元表示式首先,讨论的是连续3个元素非零的三位元的逆元表示式.为不失一般性,只要讨论下面的三位元因为一般的连续3个元素非零的三位元可分解为有(15)式形式的三位元与g的方幂的乘积.在本节中,假定F的特征≠2,并且F上的二次方程在它的一个扩域中均有解.(1)如果s2-4tu≠0,那么(2)如果s2-4tu=0,那么其中,q=(-s)/2u.证明:因为可得的关系式为:考虑递推关系式:它的特征根为:当s2-4tu≠0时,它的通解为:把它代入(19)式的第一个和最后一个方程得:因为q1q,2为方程ux2+sx+t=0的根,所以(21)式的线性方程组可化为:由此可得:(1)当s2-4tu≠0时,由此可得(17)式.(2)当s2-4tu=0时,把(17)式化为:令q=q1=q2=(-s)/2u.则化简可得:对于一般的三位元的逆元表示式均可按上述方法得到,此处从略.3可逆矩阵与ax循环矩阵利用二位元和三位元讨论F(G)中的一般元的逆元表示式,并把结果应用到矩阵论.设a∈F(G),且a的表示多项式为其中如果F是代数闭域,如复数域C,那么有如下的分解式:其中,为非负整数,如果F上的多项式都能分解成一次或二次多项式的乘积,如实数域R,那么fa(x)有如下的分解式:其中,k,α,ujv,j∈F,sm,为非负整数,t=0或1,vj≠0j,=1,2,⋅⋅⋅,m.因此,在这些情况下,F(G)中的元可表示为一位元、二位元或三位元的乘积.对于a∈F(G),如果a可逆,根据上面的叙述,可得到a-1的表达式.设nF为F上的n阶方阵的集合,P∈Fn,如果P的最小多项式为那么G=<P>是一个m阶循环群.特别,如果P为n阶基本循环矩阵,那么F(G)就是n阶循环矩阵的全体.因此,上面的结果可应用到循环矩阵中,也可应用到比循环矩阵更广的几类矩阵中.例如,对角