模糊子群的性质及其等价刻画

模糊子群的性质及其等价刻画

自franfeld提出了模糊序列的定义以来，对模棱两可代的研究取得了许多成果。尽管mordeson出版了一本关于这一问题的专业书籍，但仍需要注意的是，现有的模糊序列是在经典迭代结构的基础上研究的（如模糊群、模糊子环等）。没有定义“经典”结构。因此，有必要定义一个具有“经典”结构的模糊序列。在之前的研究中，假设（g，o）是一个群体，并研究该结构中的模糊序列。我们知道集合是否形成一个群体，以及组成什么样的群与二次运算结构密切相关。然后，如果将“模糊”二次运算集转换为j，则g是否与模糊运算方法意义上的群？在这项工作中，我们讨论了这个问题，并提供了一组模糊二次运算符（smoth组）。然而，在这项工作中，smoth组的单位元是无限的，元素的逆元是无限的，这给研究问题带来了不便，这与经典组相去甚远。本文使用文本环的扩散行为定义了一种新的模糊二次运算方法。该算法用于导入排列g中元素之间的运行性运行（我们也被称为模糊二次运行性运行性运行性运行性运行性运行性结果（也称为模糊二次运行性差）。然后，对模糊组的定义进行了描述。1《低意义的模糊自适应》函示定义1设θ∈[0,1),G为一个非空集合,R为G×G到G上的一个模糊关系.若(1)∀a,b∈G,∃c∈G,使R(a,b,c)>θ;(2)∀a,b∈G,∀c1,c2∈G,R(a,b,c1)>θ且R(a,b,c2)>θ⇒c1=c2.(2)则称R为G上一个模糊二元运算.设R为G上一个模糊二元运算,则R可导出一个映射R∶F(G)×F(G)→F(G),(A,B)|→R(A,B)这里R(A‚B)(c)=∨a,b∈G(A(a)∧B(b)∧R(a,b,c)).(3)当A={a},B={b}时,R(A,B)简记为a。b,则(a。b)(c)=R(a,b,c),∀c∈G.(4)这样,∀a,b∈G,则a与b之间便定义了一种运算,由于是模糊运算,所以a。b为G的一个模糊子集.显然,有以下结论:((a˚b)˚c)(z)=∨d∈G(a,b,d)∧R(d,c,z))(5)((a˚(b˚c))(z)=∨d∈G(R(b,c,d)∧R(a,d,z))(6)定义2设G为非空集合,R为G上一个模糊二元运算,若(G1)((a。b)。c)(z1)>θ且(a。(b。c))(z2)>θ⇒z2=z2,则称。满足模糊结合律.(G2)若∃e∈G,使(e。a)(a)>θ且(a。e)(a)>θ,∀a∈G,则称e为G的一个单位元.(G3)∀a∈G,∃b∈G,使(a。b)(e)>θ且(b。a)(e)>θ,则称b为a的一个逆元.若。满足(G1)—(G3),则称G为一个模糊群.记作(G,。,F(G)).2rabr,bbb命题1设(G,。,F(G))为一个模糊群,则(1)G的单位元e为唯一的.(2)(a。a)(a)>θ⇒a=e.(3)(a。b)(d)>θ且(a。c)(d)>θ⇒b=c.(4)(b。a)(d)>θ且(c。a)(d)>θ⇒b=c.(5)∀a∈G,a的逆元为唯一的(将a的逆元记作a-1).(6)(a-1)-1=a.(7)(b-1。a-1)(c)>θ且(a。b)(d)>θ⇒c=d-1.证只证(3)和(7),其它显然.(3)由于存在h∈G,使R(a-1,d,h)>θ,所以(a-1˚(a˚b))(h)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(a-1,x,b))≥R(a,b,d)∧R(a-1,d,h)＞θ而((a-1˚a)˚b)(b)=∨x∈G(R(a-1,a,x)∧R(x,b,b))≥R(a-1,a,e)∧R(e,b,b)＞θ由定义2的(G1)知:h=b.又(a-1˚(a˚c))(b)=∨x∈R(R(a,c,x)∧R(a-1,x,b)≥R(a,c,x)∧R(a-1,d,b)＞θ((a-1˚a)˚c)(c)=∨x∈G(R(a-1,a,x)∧R(x,c,c))≥R(a-1,a,e)∧R(e,c,c)＞θ(7)设h∈G,使R(b,c,h)>θ,则(b˚(b-1˚a-1))(h)=∨x∈G(R(b-1,a-1,x)∧R(b,x,h))≥R(b-1,a-1,c)∧R(b,c,h)＞θ(b˚b-1)˚a-1)(a-1)=∨x∈GR(b,b-1,x)∧R(x,a-1,a-1)≥R(b,b-1,e)∧R(e,a-1,a-1)＞θ所以h=a-1,即R(b,c,a-1)>θ.设k∈G,使R(d,c,k)>θ,则((a˚b)˚c)(k)=∨x∈G(R(a,b,x)∧(x,c,k))≥R(a,b,d)∧R(d,c,k)＞θ(a。(b。c))(e)=∨(R(b,c,x)∧R(a,x,e))≥R(b,c,a-1)∧R(a,a-1,e)>θ所以k=e.即R(d,c,e)>θ.由于(d。c)(e)=R(d,c,e)>θ,故c=d-1.3elel定义3设(G,。)满足定义2中的(G1),(G2)′若存在el∈G,使(el。a)(a)>θ,∀a∈G.则称el为G的左单位元.(G3)′若对每个a∈G,存在b∈G使(b。a)(el)>θ,则称b为a的左逆元.若(G,。)满足(G1),(G2)′和(G3)′,则称G为一个模糊群.定理1定义2与定义3为等价的.证只须由定义3推出定义2.先证(a。b)(el)>θ,即R(a,b,el)>θ.设c∈G,使R(a,b,c)>θ,令d∈G,h∈G,使R(a,el,d)>θ(即(a。el)(d)>θ)),R(c,a,h)>θ则(a˚(b˚a))(d)=∨x∈G(R(b,a,x)∧R(a,x,d))≥R(b,a,el)∧R(a,el,d)＞θ((a˚b)˚a)(h)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(x,a,h))≥R(a,b,c)∧R(c,a,h)＞θ故d=h.即R(c,a,d)>θ.又设k∈G,使R(d,b,k)>θ,则(a˚(el˚b))(c)=∨x∈G(R(el,b,x)∧R(a,x,c))≥R(el,b,b)∧R(a,b,c)＞θ(a˚el)˚b)(k)=∨x∈G(R(a,el,x)∧R(x,b,k))≥R(a,el,d)∧R(d,b,k)＞θ则c=k.则R(d,b,c)>θ.设u∈G,使R(c,c,u)>θ,则(c˚(a˚b)(u)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(c,x,u))≥R(a,b,c)∧R(c,c,u)＞θ((c˚a)˚b)(c)=∨x∈G(R(c,a,x)∧R(x,b,c))≥R(c,a,d)∧R(d,b,c)＞θ则u=c.于是有(c。c)(c)>θ,由命题1(2)的证明知:c=el.则(a。b)(el)>θ.又(a˚(b˚a))(d)=∨x∈G(R(b,a,x)∧R(a,x,d))≥R(b,a,el)∧R(a,el,d)＞θ((a˚b)˚a)(a)=∨x∈G(R(a,b,x)∧R(x,a,a))≥R(a,b,el)∧R(el,a,a)＞θ故d=a.即(a。el)(a)>θ.因此,el为右单位元.则(G,。)满足定义2的要求.定义4设(G,。)满足定义2的(G1).(G2)″若er∈G,使(a。er)(a)>θ,∀a∈=G.则称er为G的一个右单位元.(G3)″若∀a∈G,存在b∈G,使(a。b)(er)>θ,则称b为a的一个右逆元.若(G1),(G2)″,(G3)″成立,则称G为一个模糊群.定理2定义2与定义4等价.定理2的证明与定理1的证明类似.定义5设(G,。)满足定义2中的(G1),若∀a,b∈G,∃x,y∈G,使(a。x)(b)>θ,(y。a)(b)>θ,则称G为一个模糊群.定理3定义2与定义5等价.证设定义2成立.设x∈G,u∈G,使R(a-1,b,x)>θ,R(a,x,u)>θ,则(a˚(a-1˚b))(u)=∨d∈R(R(a-1‚b,d)∧R(a,d,u))＞θ≥R(a-1,b,x)∧R(a,x,u)＞θ(a˚a-1)˚b)(b)=∨d∈G(R(a,a-1,d)∧R(d,b,b))≥R(a,a-1,e)∧R(e,b,b)＞θ故u=b.则R(a,x,b)>θ,即(a。x)(b)>θ同理可证:ヨy∈G,使(y。a)(b)>θ.因此定义3成立.反之,设定义3成立.设c∈G,则∃e*,x∈G,使R(e*,c,c)>θ,R(c,x,a)>θ同时存在d∈G,使R(e*,a,d)>θ.则(e*˚(c˚x))(d)=∨h∈G(