东北三省四市2023年数学高二上期末经典试题含解析

东北三省四市2023年数学高二上期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为（）A. B.C. D.2．若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b的值为（）A.5 B.C.3 D.3或3．已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.34．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100血液中酒精含量在20~80之间为酒后驾车，80及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（）（参考数据：，）A.6 B.7C.8 D.95．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A. B.C. D.6．将一枚均匀的骰子先后抛掷3次，至少出现两次点数为3的概率为（）A. B.C. D.7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.54 B.45C.27 D.818．如图，点A的坐标为，点C的坐标为，函数，若在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于（）A. B.C. D.9．将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为（）A. B.C. D.10．对于圆上任意一点的值与x，y无关，有下列结论：①当时，r有最大值1；②在r取最大值时，则点的轨迹是一条直线；③当时，则.其中正确的个数是（）A.3 B.2C.1 D.011．在一次体检中，发现甲、乙两个单位的职工中体重超过的人员的体重如下（单位：）.若规定超过为显著超重，从甲、乙两个单位中体重超过的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为（）A. B.C. D.12．下列数列是递增数列的是（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．某古典概型的样本空间，事件，则___________.14．若函数在处有极值，则的值为___________.15．已知等差数列满足，请写出一个符合条件的通项公式______16．直线的一个法向量________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是数列的前n项和，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求的前n项和.18．（12分）自2021年秋季起，江西省普通高中起始年级全面实施新课程改革，为了迎接新高考，某校举行物理和化学等选科考试，其中600名学生化学成绩（满分100分）的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组．已知图中前三个组的频率依次构成等差数列，第一组和第五组的频率相同（1）求a，b的值；（2）估算高分（大于等于80分）人数；（3）估计这600名学生化学成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和中位数（中位数精确到0.1）19．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值20．（12分）已知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上.（1）求抛物线的标准方程；（2）过抛物线焦点的倾斜角为直线l与抛物线交于A、B两点，求线段AB的长度.21．（12分）已知椭圆的焦点为，且长轴长是焦距的倍（1）求椭圆的标准方程；（2）若斜率为1的直线与椭圆相交于两点，已知点，求面积的最大值22．（10分）已知圆与（1）过点作直线与圆相切，求的方程；（2）若圆与圆相交于、两点，求的长

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】根据长方体中，异面直线和所成角即为直线和所成角，再结合余弦定理即可求解.【详解】解：连接、，如下图所示由图可知，在长方体中，且，所以，所以异面直线和所成角即为，又，，由余弦定理可得∶故选：D.2、C【解析】根据等比数列的定义，利用等比数列的通项公式求解【详解】解：设该等比数列公比为q，∵数列1，a，b，c，9是等比数列，∴，，∴，故，解得，∴故选：C3、B【解析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，，，所以，因为，所以又因为平分，所以，由，得，所以，即所以故选：B4、C【解析】根据题意列出不等式，利用指对数幂的互化和对数的运算公式即可解出不等式.【详解】设该驾驶员至少需经过x个小时才能驾驶汽车，则，所以，则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车.故选：C5、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B6、D【解析】利用次独立重复试验中事件A恰好发生次的概率计算公式直接求解.【详解】解：将一枚均匀的筛子先后抛掷3次，每次出现点数为3的概率都是至少出现两次点数为3的概率为：故选：D7、B【解析】由三视图可得该几何体是由平行六面体切割掉一个三棱锥而成，直观图如图所示，所以该几何体的体积为故选B点睛：本题考查了组合体的体积，由三视图还原出几何体，由四棱柱的体积减去三棱锥的体积.8、A【解析】分别由矩形面积公式与微积分几何意义计算阴影部分和矩形部分的面积，最后由几何概型概率计算公式计算即可.【详解】由已知，矩形的面积为4，阴影部分的面积为，由几何概型公式可得此点取自阴影部分的概率等于，故选：A9、B【解析】基本事件总数，再利用列举法求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件的个数，由此能求出点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率【详解】解：将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数之和，基本事件总数，点数之和是4的倍数但不是3的倍数包含的基本事件有：，，，，，，，，共8个，则点数之和是4的倍数但不是3的倍数的概率为故选：B10、B【解析】可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，圆在两直线内部，则，的距离为，则，，对于①，当时，r有最大值1，得出结论；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，得出结论；对于③当时，则得出结论.【详解】设，故可以看作点到直线与直线距离之和的倍，的取值与，无关，这个距离之和与点在圆上的位置无关，可知直线平移时，点与直线，的距离之和均为，的距离，即此时圆在两直线内部，，的距离为，则，对于①，当时，r有最大值1，正确；对于②在r取最大值时，则点的轨迹是一条平行与，的直线，正确；对于③当时，则即，解得或，故错误.故正确结论有2个，故选：B.11、B【解析】列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】不妨用表示每种抽取情况，其中是指甲单位抽取1人的体重，代表从乙单位抽取人的体重.则所有的可能有16种，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中满足题意的有6种：，，，，，故抽取的这2人中，恰好有1人显著超重的概率为：.故选：.12、C【解析】分别判断的符号，从而可得出答案.【详解】解：对于A，，则，所以数列为递减数列，故A不符合题意；对于B，，则，所以数列为递减数列，故B不符合题意；对于C，，则，所以数列为递增数列，故C符合题意；对于D，，则，所以数列递减数列，故D不符合题意.故选：C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##0.5【解析】根据定义直接计算得到答案.【详解】.故答案为：.14、2或6【解析】由解析式得到导函数，结合是函数极值点，即可求的值.【详解】由，得，因为函数在处有极值，所以，即，解得2或6.经检验，2或6满足题意.故答案为：2或6.15、3（答案不唯一）【解析】由已知条件结合等差数列的性质可得，则，从而可写出数列的一个通项公式【详解】因为是等差数列，且，所以，当公差为0时，；公差为1时，；…故答案为：3（答案为唯一）16、（答案不唯一）【解析】根据给定直线方程求出其方向向量，再由法向量意义求解作答.【详解】直线的方向向量为，而，所以直线的一个法向量.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）当时，化简得到，进而得到数列的通项公式；（2）由（1）得到，结合裂项法，即可求解.【小问1详解】解：由题意，数列的前n项和，且，当时，，当时，，满足上式，所以数列的通项公式为.【小问2详解】解：由，可得，所以.18、（1）（2）90（3）平均值69.5；中位数69.4【解析】（1）由各矩形面积和为1列式即可；（2）由高分频率乘以600即可；（3）由平均数与中位数的估算方法列式即可.【小问1详解】由题意可知：解得小问2详解】高分的频率约为：故高分人数为：【小问3详解】平均值为，设中位数为x，则故中位数为69.419、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为20、（1）（2）16【解析】（1）设抛物线的标准方程为：，再代入求解即可.（2）根据焦点弦公式求解即可.【小问1详解】由题意知抛物线C的对称轴是y轴，点在曲线C上，所以抛物线开口向上，设抛物线的标准方程为：，代入点的坐标得：，解得则抛物线的标准方程为：.【小问2详解】焦点，则直线的方程是，设，，由得，，所以，则，故.21、（1）；（2）1.【解析】(1)根据给定条件求出椭圆半焦距c，长短半轴长a，b即可得解.(2)设出直线的方程，再与椭圆C的方程联立，求出弦AB长及点P到直线的距离，然后求出面积的表达式并求其最大值即得.【小问1详解】设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距，，即，所以椭圆的标准方程为.【小问2详解】依题意，设直线，，由消去y并整理得：，由，解得，则有，，于是得，而点到直线的距离为，因此，的面积，当且仅当，即时取“=”，所以面积最大值为1.【点睛】结论点睛：直线l：y=kx+b上两点间的距离；