福建省诏安县怀恩中学2023年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题含解析

福建省诏安县怀恩中学2023年高二数学第一学期期末综合测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是定义在上的函数，且对任意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（）A. B.C. D.2．若抛物线的准线方程是，则抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.3．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为A. B.C. D.4．在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，点是面的中心，则的值为（）A.4 B.C.2 D.不确定5．已知双曲线的方程为，则下列关于双曲线说法正确的是（）A.虚轴长为4 B.焦距为C.焦点到渐近线的距离为4 D.渐近线方程为6．用这3个数组成没有重复数字的三位数，则事件“这个三位数是偶数”与事件“这个三位数大于342”（）A.是互斥但不对立事件 B.不是互斥事件C.是对立事件 D.是不可能事件7．在等差数列中，，，则数列的公差为（）A.1 B.2C.3 D.48．已知数列通项公式，则（）A.6 B.13C.21 D.319．双曲线的焦点坐标是（）A. B.C. D.10．已知等比数列，且，则（）A.16 B.32C.24 D.6411．平行六面体的各棱长均相等，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B.C. D.12．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（）A B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设，满足约束条件，则的最大值是_________.14．已知实数x，y满足方程，则的最大值为_________15．已知点是椭圆上的一点，分别为椭圆的左、右焦点，已知=120°，且，则椭圆的离心率为___________.16．已知双曲线的左，右焦点分别为，，右焦点到一条渐近线的距离是，则其离心率的值是______；若点P是双曲线C上一点，满足，，则双曲线C的方程为______三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的展开式中只有第五项的二项式系数最大.（1）求该展开式中有理项的项数；（2）求该展开式中系数最大的项.18．（12分）已知椭圆C：9x2＋y2＝m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由19．（12分）已知抛物线的准线方程是.（Ⅰ）求抛物线方程；（Ⅱ）设直线与抛物线相交于，两点，为坐标原点，证明：.20．（12分）已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.21．（12分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列（1）求数列通项公式；（2）设，求数列的前项和22．（10分）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，，，，，.（1）证明：平面平面PAC；（2）求平面PCD与平面PAB夹角的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】令，代入可得，即得，再由函数的图象关于点对称，判断得函数的图象关于点对称，即，则化简可得，即函数的周期为，从而代入求解.【详解】令，得，即，所以，因为函数的图象关于点对称，所以函数的图象关于点对称，即，所以，即，可得，则，故选：D.第II卷（非选择题2、D【解析】根据抛物线的准线方程，可直接得出抛物线的焦点，进而利用待定系数法求得抛物线的标准方程【详解】准线方程为，则说明抛物线的焦点在轴的正半轴则其标准方程可设为：则准线方程为：解得：则抛物线的标准方程为：故选：D3、A【解析】分析：根据离心率得a,c关系，进而得a,b关系，再根据双曲线方程求渐近线方程，得结果.详解：因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A.点睛：已知双曲线方程求渐近线方程：.4、A【解析】画出图形，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可【详解】如图，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体棱长为2，点是面的中心，是棱上一动点，所以，，，故选：A5、D【解析】根据双曲线的性质逐一判断即可.【详解】在双曲线中，焦点在轴上，，，，所以虚轴长为6，故A错误；焦距为，故B错误；渐近线方程为，故D正确；焦点到渐近线的距离为，故C错误；故选：D.6、B【解析】根据题意列举出所有可能性，进而根据各类事件的定义求得答案.【详解】由题意，将2,3,4组成一个没有重复数字的三位数的情况有：{234,243,324,342,423,432}，其中偶数有{234,324,342,432}，大于342的有{423,432}.所以两个事件不是互斥事件，也不是对立事件.故选：B.7、B【解析】将已知条件转化为的形式，由此求得.【详解】在等差数列中，设公差为d，由，，得，解得.故选：B8、C【解析】令即得解.【详解】解：令得.故选：C9、B【解析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，即可求解.【详解】由题意，双曲线，可得，所以，且双曲线的焦点再轴上，所以双曲线的焦点坐标为.故选：B.10、A【解析】由等比数列的定义先求出公比，然后可解..【详解】，得故选：A11、B【解析】利用基底向量表示出向量，，即可根据向量夹角公式求出【详解】如图所示：不妨设棱长为1，，，所以＝＝，，，即，故异面直线与所成角的余弦值为故选：B注意事项：1.将答案写在答题卡上2.本卷共10小题，共80分.12、A【解析】把求面积转化为求底边和底边上的高，高就是圆上点到直线的距离.【详解】与x，y轴的交点，分别为，，点在圆，即上，所以，圆心到直线距离为，所以面积的最小值为，最大值为.故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、5【解析】由题可知表示点与点连线的斜率，再画出可行域结合图像知知.【详解】x，y满足约束条件，满足的可行域如图：则的几何意义是可行域内的点与（﹣3，﹣2）连线的斜率，通过分析图像得到当经过A时，目标函数取得最大值由可得A（﹣2，3），则的最大值是：故答案为5【点睛】(1)在平面直角坐标系内作出可行域(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值14、##【解析】设，根据直线与圆的位置关系即可求出【详解】由于，设，所以点既在直线上，又在圆上，即直线与圆有交点，所以，，即故答案为：15、【解析】设，由余弦定理知，所以，故填.16、①.##1.5②.【解析】求得焦点到渐近线的距离可得，计算即可求得离心率，由双曲线的定义可求得，计算即可得出结果.【详解】双曲线的渐近线方程为，即，焦点到渐近线的距离为，又，，，，.双曲线上任意一点到两焦点距离之差的绝对值为，即，，即，解得：，由，解得：,.双曲线C的方程为.故答案为：；.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）和【解析】（1）先求出，再写出二项式展开式的通项，令即可求解；（2）设第项系数最大，则，即可解得的值，进而可得展开式中系数最大的项.【详解】（1）由题意可得：，得，的展开式通项为，，要求展开式中有理项，只需令，所以所以有理项有5项，（2）设第项系数最大，则，即，即，解得：，因为，所以或所以，所以展开式中系数最大的项为和.【点睛】解二项式的题关键是求二项式展开式的通项，求有理项需要让的指数位置是整数，求展开式中系数最大的项需要满足第项的系数大于等于第项的系数，第项的系数大于等于第项的系数，属于中档题18、（1）证明见解析（2）能为平行四边形；斜率为4－或4＋【解析】（1）设两点坐标，由点差法证明（2）求出两点坐标，由平行四边形的几何性质判断【小问1详解】设的斜率为,，两式相减可得，即故【小问2详解】由（1）得的直线为，直线方程为联立，解得联立解得若四边形OAPB为平行四边形，则对角线互相平分为中点，解得，经检验，均符合题意故四边形OAPB能为平行四边形，此时斜率为4－或4＋19、（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析【解析】（Ⅰ）利用排趋性的准线方程求出p，即可求解抛物线的方程；（Ⅱ）直线y=k（x-2）（k≠0）与抛物线联立，通过韦达定理求解直线的斜率关系即可证明OM⊥ON试题解析：（Ⅰ）解：因为抛物线的准线方程为，所以，解得，所以抛物线的方程为.（Ⅱ）证明：设，.将代入，消去整理得.所以.由，，两式相乘，得，注意到，异号，所以.所以直线与直线的斜率之积为，即.考点：直线与抛物线的位置关系；抛物线的标准方程20、【解析】由抛物线的方程可得到焦点坐标，设，写出向量的坐标，由向量间的关系得到，将点代入物线即可得到轨迹方程.【详解】由抛物线可得：设①在上，将①代入可得：，即.【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.21、（1）（2）【解析】（1）设等差数列的公差为，依题意得到方程组，解得、，即可求出数列的通项公式；（2）由（1）可得，再利用分组求和法求和即可；【小问1详解】解：设等差数列的公差为，由题意，得，解得或，因为，所以【小问2详解】解：当时，，所以22、（1）证明见解析（2）【解析】（1）过点C作于点H，由平面几何知识证明，然后由线面垂直的性质得线线垂直，从而得线面垂直，然后可得面面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角【小问1详解】在梯形ABCD中，过点C作于点H.由，，，，可知，，，.所以，即，①因为平面