初一数学目标班：勾股定理

勾股定理145勾股定理145题（含解析）选择：如图为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点为BC边上一点连接ED并延长交CA的延长线于点过D作DH⊥EF交AC于交BC的延长线于H，则以下结论①EG②BE③H④BC其中正确的（ A．②③ B．③④ C．①④ D．①②③④26cm，（ ）A．36cm2B．27cm2C．18cm2D．12cm2如图所示在边长为2的正三角形ABC中已知点P是三角形内任意一点则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（ ）D．无法确定已知点A和点B（如图，以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等直角三角形，一共可作出（ ）A．2个 B．4个C．6个 D．8个110正方体的表面（不考虑接缝，如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至为（ ）A．40B．30+2D．10+10平面上有AB两点在平面内找点使得△ABC为等腰直角三角形的点有（ ）A．2个 B．4个C．6个 D．8个以线段AB为一边的等腰直角三角形有（ ）个 B．2个C．4个 D．6个已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（ ）A．2n﹣2 B．2n﹣1 C．2n D．2n+1下列命题中不正确的是（ ）A．有两个角相等的三角形是等腰三角形B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半C．等腰三角形两底角相等D．有一个角的平分线平分对边的三角形一定是等腰直角三角如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（ ）A．175B．575C．625D．700如图是我国古代数学家赵爽《勾股圆方图它是由四个全等的直角三形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（ ）A．169B．25C．19D．1313，另外两条边长为连续自然数，则周长为（ ）A．182B．183C．184D．185男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里最可恶的踩高跷的人，两人约定1m13m13m，他的鼻子是他唯一的弱点．戴维需离戈里多远时才能击中对方的鼻子而获胜？（）A．7mB．8mC．6mD．5m如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（ ）个 B．3个C．4个 D．6个S1S2S1、S2、S3之间的关系是（ ）1 2 A．Sl+S2＞S3 B．Sl+S2＜S3 C．S1+S2=S3 D．S2+S21 2 直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它周长是（ ）A．132B．121C．120D．以上答案都不对已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，那么BD等于（ ）A．4 B．6 C．8 D．一个直角三角形有两边长分别是6和8，下列说法正确的是（ A．第三边长是10B．三角形的周长是24C．24D102一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上这时梯子的顶端距墙脚2.4米那么梯足离墙脚的距离是（ ）米．A．0.7B．0.9C．1.5D．2.4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2，则AB为（ A．整数 B．分数 C．有理数D．以上都不对21．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AC：AB=（ ）A．1：2：3 B．1：4：9 ：：222．已知∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，OP=6，则点P到OA，OB的距离为（ ）A．6，6 B．3，3 ，323．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（ B．1 D．2设直角三角形的三边长分别为ab若则）A．2 B．3 C．4 D．5如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（ ）+2D．2+2如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（ ）A．a＞c B．b＞c C．4a2+b2=c2D．a2+b2=c227．如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发沿着圆锥的侧面爬行到点则蚂蚁爬行的最短路程（ D．3如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B需要爬行的最短距离（ B．25C．10+5 D．35如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到点，那么它所行的最短路线的长是（ ）（38）m ．10m C．1m ．无法确定4cm，2cm1cmAAB（）A．5cm B．5.4cmC．6.1cmD．7cm如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表爬到B顶点的最短路程是（ ）A．3 D．16cm，4cm3cmAAB（）（32）m．mCmm如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（ ）A．3 D．4如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（ ）米 B．4米C．5米 D．6米如图一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（ ）B．4 D．π+如图，是一个棱长为2的正方体，一只蜘蛛在顶点A处，一只小昆虫在点B处，则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长是（ ）D．如图在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（ ）A．40cm cm C．20cm cm382，BCM，AM最短距离为（ ）C．5 5cm，4cm，3cmAAB）cmB．cmC．4cmD．3cm如图所示是一个圆柱体是它的一个横截面一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（ ）B． D．5如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C′处的最短路径是（ ）D．2mA（长的四等分宽的三等分（）m．A．4.8B．C．5 D．A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠CABC（）个B．2个C．3个D．4个一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角是（ ）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形已知二条线段的长分别为cm，那么能与它们组成直角三角形第三条线段的长是（ ）A．1cm cm C．5cm D．1cm与cm在三边分别为下列长度的三角形中，哪些不是直角三角形（ A．5，13，12B．2，3，C．4，7，5 ，在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（ A．a=3，b=4，c=6 B．a=5，b=6，c=7C．a=6，b=8，c=9 D．a=7，b=24，c=25以下列各组线段作为三角形的三边其中能够组成直角三角形的（ A．6，7，8 B．5，6，7 C．4，5，6 D．5，12，13三角形的三边长分别为ab2b﹣b（b都是正整数则这个三角形是（ ）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2m，m2+1（m＞1）那么（ ）△ABCm2+1△ABC2m△ABCm△ABC下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10 △ABCA、∠B、∠Ca、b、c，下列命题中的假命题是（ ）如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABCc2=b2﹣a2，则△ABCC=90°如果（（﹣a），则△BC如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是（ A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20 D．7，24，25在△ABC中则△ABC的面积（ A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm2以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ A．3，5，3 B．4，6，8 C．7，24，25D．6，12，13下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（ A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，6，7 D．6，7，8下列各组中不能作为直角三角形的三边长的是（ ）A．6，8，10 B．7，24，25C．9，12，15D．15，20，30若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们的比为（ A．2：3：4 B．3：4：6 C．5：12：13D．4：6：7下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（ A．a=3，b=4，c=5 C．a=9，b=12，c=15 下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（ ）A．2，3，4 B．12，22，32 C．4，5，9 D．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，6已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（ A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（ ）c=25⑤a=2，b=2，c=4个 B．3个C．4个 D．5个a，b，c（ ）A．a=9，b=41，c=40 B．a=b=5，c=5C．a：b：c=3：4：5D．a=11，b=12，c=15如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）A．3 B．4 C．5 D．6如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（ ）+1 +1C．﹣1D．下面四组数中是勾股数的有（ ）（）15，2，2（），，2（3）1，1，2（4）0，12，1．A．1组 B．2组C．3组 D．4组ABCD3，EBCBE=2，PBDPE+PC的最小值为（ ）D．填空：正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为 cm．求图中直角三角形中未知的长度：b= ，c= ．3．Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c= ．若直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为20，则它的面为 ．已知如图所示BC的周长为42斜边B的长为则Rt△ABC的面积为 ．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为 ．已知如图以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形若斜AB=6，则图中阴影部分的面积为 ．在直角三角形中斜边与较小直角边的和差分别为则较长直角边为 ．9．△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=10，则a= b= ．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积为 ．若三角形三边之比为周长为则三角形面积为 ．ABCADCADCC′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′= BC．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需 米．如图从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的固定缆绳这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有 m．如图一根树在离地面9米处断裂树的顶部落在离底部12米处树折断之前有 米．70cm50cm，4030m的木箱中他能放进去吗？ （填“能”或“不能”．小明想知道学校旗杆有多高他发现旗杆上的绳子垂到地面还余当他把绳子下端拉开5m后发现下端刚好接触地面则旗杆高度为 米如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需 m长．如图将一根长24cm的筷子底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的最小值是 108工师傅沿梯上去修路灯时梯子下滑到了B′处下滑后两次梯脚间的距离为米，则梯顶离路灯 米．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点则小虫爬行的最短路程 （结保留根号）如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食此时小猫正在B处它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程 m（结果不取近似值）如图这是一个供滑板爱好者使用的U型池该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 （边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）20.30.2A，B是这个台阶上两个相对的端点点有一只蚂蚁想到B点去吃可口的物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是 米．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点那么它所行的最短路线的长是 ．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为 m（3）753A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的物，则它所走的最短路线长度是 寸．在一个长为2米宽为1米的矩形草地上如图堆放着一根长方体的木块它的棱长和场地宽D平行且大于D木块的正视图是边长为02米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程 米（精确到0.01米）如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为 cm．底角等于顶角一半的等腰三角形是 三角形；如果一个等腰角形的一个顶角为80°，那么它的一个底角为 °．如图以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边连接C，以C为边作等边△CEBE在CD的同侧若B则BE 已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若边AB=3，则图中阴影部分的面积为 ．如图所示在△ABC中点D是BC上一点且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为 ．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点（6，2，则光线从A点到B点经过的路线的长度 （精确到0.01）把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是 cm2．如图以直角△ABC的三边向外作正方形其面积分别为且S2=8，则S3= ．已知，如图，OABCABC、∠ACBOD∥ABBC于E∥C交BC于E若BC10m则△E的周 m．如图图1供你参考四边形BDEF是长方形5B7E4C10，图2是以三角形a的三边为边长向外作正方形，正方形的面积表示在图中，则三角形a的面积是 ．如图已知△ADC中三角形的顶点在相互平行的三条直线上且l1，l2之间的距离为之间的距离为则的长是 ．如图中则AC= ．43．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，S3= ．在∠MON的角平分线上于于若OA=6cm，OP=10cm，那么则PB= cm．若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是 cm2．如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD和∠CAE是直角，若AB=6，BC=5，AC=4，则DE的长为 ．aA、B、C、D是 ．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 ．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示．已知斜放置的三个正方形的面积分别是正放置的四个正方形的面积依次是S1+S2+S3+S4= ．解答：121．求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？试比较立体图中∠BACB′A′C′的大小关系？如图，△ACB△ECDACB=∠ECD=90°，DAB边上一点，求证：△ACE≌△BCD；AD2+DB2=DE2．ABCDEFBADBAA′处；求证：B′E=BF；△ABCC=90°ABC2a2+b2c2的关系，并证明你的结论．（1）202820（1135，求中间小正方形的面积．（）65m，2m（26块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）Rt△ABCBCabABCSl．填表：三边a、b、ca+b﹣c3、4、525、12、1348、15、176如果b﹣m，观察上表猜想 （用含有m的代式表示；说出（2）中结论成立的理由．如图所示折叠长方形的一边D使点D落在边C的点F处已知B8m，BC=10cm，则EC的长为 cm．ABCDAEDBCFCE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积．面积可表示为：（b），也可表示为：4•b，由此推出勾股定理这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．请你用图（I（202）理（其中四个直角三角形全等；（III）（x+y）2=x2+2xy+y2；（xp（xq）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．1120、、39﹣）92﹣1）251，、、并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；的代数式来表示所有这些勾股（3）4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个4m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相ABCBCAB、ACh1、h2．请你结合图形来证明：h1+h2=h；MBCh2h图形，并直接写出结论不必证明；y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．MNPQMNPQ4MNPQ1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADPABCDMB=a，BQ=b，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．如图（1）AB2.5AACBC1.5DE（2）所示，BD=0.5A如图，AA320kmB40km60BF200km（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ABCD，如图所示，现计划在空地上种A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平200ABCDBAB=25km，CA=15km，DB=10kmEAkm如图所示的一块地12C9mC90°B39mBC3m，求这块地的面积．ABCDPAPC=45Q，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响AB秒？甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致15006/时的速度向东行走，1510：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？BAAOOBCBC印度数学家什迦逻（1141﹣1225）“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．A、BA、BAO16cmBO12cm．那么滑块A向下滑动6cm时，求滑块B向外滑动了多少cm？（结果精确到0.1cm，其中 ，）请阅读下列材料：（5mBCAC路线1：侧面展开图中的线段AC．如下图（2）所示：1设路线1的长度为l1，则l2=AC2=AB2+2=52+（5π）2=25+25π21路线2：高线AB+底面直径BC．如上图（1）所示：2设路线2的长度为l2，则l2=（AB+BC）2=（5+10）2=2252l12﹣l22=25+25π2﹣225=25π2﹣200=25（π2﹣8）＞0∴l12＞l22，∴l1＞l2所以要选择路线2较短．AB5cm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2= ；路线2：l22=（AB+BC）2= ∵l12 l22，∴l1 l2（填＞或＜）∴选择路线 （填1或2）较短．hAC从下面两个题目中任选一题作答：（A题）折竹抵地今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何（如图）友情提醒：请写出解答这首诗的方法和步骤．（B题）海岛算经ABCBD=1000BHBC123CFDE127G，GAEGHB（古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步．结果用里和步来表示）友情提醒：请写出必要的算法和过程．梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼ABABC与地面的夹角α=301m：，4根据这些数据求旗杆B的高度（可能用到的数据≈144172，结果保留两个有效数字）：，参照如图，写出勾股定理的逻辑证明．利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．ABCDB90°得到矩形A′BC′DAB=a，BC=b，BD=c．请利用该图验证勾股定理．145（含解析）---解析解析：选择：解：根据已知条件，∵△ABC是等腰直角三角形，CD是中线．∴BD=DC，∠B=∠DCA=45°．又∵∠BDC=∠EDH=90°，即∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDH∴∠BDE=∠CDH∴△DBE≌△DCG（ASA）∴DE=DG；BE=CG．同理可证：△DCH≌△DAF，可得：DF=DH；AF=CH．∵BC=AC，CH=AF，∴BH=CF．故选D．解根据勾股定理这边上高线==3 则以这边上高线为边长正方形的面积为27cm2．故选B．AP、BP、CPh∵正三角形ABC边长为2∴h=∵S△BPC=S△APC= ，S△APB=∴S△ABC=∵AB=BC=AC=∴PD+PF+PE=h=故选A．∴PD+PF+PE=h=解：此题应分三种情况：ABA可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；②以AB为腰，点B为直角顶点；可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；③以AB为底，点C为直角顶点；可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；6ABABC、D；Rt△ACF中，AC=AF，CF=10；则AC=AF=5；同理可得BD=5；Rt△CDE中，DE=CE=10，则CD=10；所以AB=AC+CD+BD=20 ；故选C．解：AB当AB为左侧直角边时，其左侧，右侧各存在一点C可满足条件，同理，AB为右侧直角边时，也有两点当为斜边时，上下两侧也有两点成立．所以共有6个点故选C．AB2ABABA2ABB2则以线段AB为一边的等腰直角三角形有6个．故选D．解：∵△ABC1=21﹣2；AC= = =2…，∴S△ACD=× S△ADE=×2×2=1=23﹣2…∴第n个等腰直角三角形的面积是2n﹣2．故选A．解：由等腰三角形的判定知：A、CB、设等腰三角形的底角为x，则等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为：90°﹣x，顶角为：18°﹣22（9°﹣BD、有一个角的平分线平分对边的三角形不一定是等腰直角三角形，故D错误．故选D．解：根据勾股定理，正方形A的面积是225+400=625；故选C．13，1，∴四个直角三角形的面积和是13﹣1=12，即4×ab=12，2ab=12，a2+b2=13，∴（a+b）2=13+12=25B．x，y，13y，即（yx（y﹣x）161因为x、y都是连续自然数，可得，∴周长为13+84+85=182；A．解：则可作图如下：由于此三角形为直角三角形，可以很直观的看到x2=132﹣122．所以x=5．故选D．AB：C、D，E，HAB，AF当AB是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G．因而共有6个满足条件的顶点．故选D．解设直角三角形三边分别为则三个半圆的半径分别为由勾股定理得a2+b2=c2，即（）2+（）2=（）2两边同时乘以π得π（）2+π（π（S1、S2、S3S1+S2=S3故选C．a、则根据勾股定理，得：a2﹣b2=121∵另外两边的长都是自然数（b（a﹣）1212×1121，故三角形的周长是132．故选A．解：如图；△ABC中，AB=AC=10，DC=2；∴AD=AC﹣DC=8；Rt△ABD中，AB=10，AD=8；股定理，得：BD=B．解：①当8是斜边时，根据勾股定理得第三边是= = ；②当8是直角边时，第三边是=10；故选D．足离墙脚的距离．在Rt△ACB中，AB=2.5米，AC=2.4米，由勾股定理得，== =0.7米所以梯足离墙脚的距离为：0.7米，故选：A．解：∵△ABC∴AB=而2是开方开不尽的数，故是无理数D．21．解：∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴∠A=30°，∠B=60°，∠C=90°．设BC=x，则AB=2x，根据勾股定理，得AC=x，D．PC⊥OAC，由题意可得△OPC是等腰直角三角形，因为OP=6，根据勾股定理可得PC=3根据角平分线的性质，点P到OB的距离为3D．解：设两直角边分别为：a，b，c，∵直角三角形的斜边为2，周长为，，∵（a+b）2=a2+b2+2ab=c2+2ab=4+2ab=6，∴ab=1，三角形有面积=A．24．解：∵c﹣b=b﹣a＞0∴c＞b＞a，c+a=2b根据勾股定理得，﹣b（a（﹣）b，∴c﹣a=b∴ =4C．BBO⊥ACBOOB′=OBAC于E，此时DB′=DE+EB′=DE+BE的值最小．连接CB′，易证CB′⊥BC，根据勾股定理可得DB′=则△BDE周长的最小值为2+2．C．故选：D．4π．n°，根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4π=，解得n=120°，所以展开图中∠APD=120°÷2=60°，因为半径PA=PB，∠APB=60°，故三角形PAB为等边三角形，又∵D为PB的中点，AD⊥PB，根据勾股定理求得AD=3，所以蚂蚁爬行的最短距离为3C．A、根据两点之间线段最短，（1）如图，BD=10+5=15，AD=20，股定理得：AB===25．（2）如图，BC=5，AC=20+10=30，股定理得，AB==．只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：；由于25＜5B．AB68，故矩形对角线长AB=10．故选B．各个路线中确定最短的路线．（1）AB2=（2+4）2+12=37；（2）AB2=（1+4）2+22=29；（3）AB2=（2+1）2+42=25．所以最短路径的长为AB==5cm．故选A．得：最短路程是=．故选B．解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面，9则所走的最短线段是=；第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形，7所以走的最短线段是=；第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，10所以走的最短线段是=；三种情况比较而言，第二种情况最短．C．33．解：如图，AB==．故选C33．解：如图，AB=34．解：由题意得，路径一：AB= ；路径二：AB= =5；路径三：AB= ；＞5，∴5为最短路径．故选C．35．解将将圆柱体展开连接A根据两点之间线段最短B．棱长之和，利用勾股定理可求得AB= =2．故选D．4020．运用勾股定理得：cm．故选D．M∵BCM，所以MC=在直角三角形中AM== ．故选A．解：因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．（1）AB2=（5+4）2+32=90；（2）AB2=（3+4）2+52=74；（3）AB2=（3+5）2+42=80；所以最短路径长为cm．故选B．解：将圆柱体展开，连接A、C，∵ ===4，BC=3，根据两点之间线段最短，AC==5．故选D根据两点之间线段最短，AC=PC则两点之间，线段最短．根据勾股定理得：=．故选解：有两种展开方法：①将长方体展开成如图所示，连接A、B，两点之间线段最短，AB==m；②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB=m；C．43．解：①因为∠A+∠B=∠C，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；②因为∠A：∠B：∠C=1：2：3，设∠A=x，则x+2x+3x=180，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以△ABC是直角三角形；③因为∠A=90°﹣∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°﹣90°=90°，所以△ABC是直角三角形；④因为∠A=∠B=∠C，所以三角形为等边三角形．所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③共3个．故选：C．CACBDE，CACBODOEOOAB连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA，同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角．故选C．边两种情况．当第三边是斜边时，第三边= =（，当第三边是直角边时，第三边= 1（m．故选．解：A、52+122=132，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故错误；、，根据勾股定理的逆定理，是直角三角形，故错误；C、42+52≠72，根据勾股定理的逆定理，不是直角三角形，故正确；根据勾股定理的逆定理是直角三角形故错误C．解：A、32+42≠62故错误；D、72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确．故选D．解：A、62+72≠82，不能构成直角三角形，故错误；D、132=122+52，能构成直角三角形，故正确．故选D时，则三角形为直角三角形，∵（a2﹣b2）2+（2ab）2=（a2+b2）2，∴三角形为直角三角形．故选A．50．解：∵（m2﹣1）2+（2m）2=（m2+1）2，∴三角形为直角三角形，且斜边长为m2+1，A、△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1，正确；B、△ABC是直角三角形，且斜边长为2m，错误；C、△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定，错误；D、△ABC是直角三角形，错误．故选A．解：A、1.52+22≠32，不符合勾股定理的逆定理，故正确；B、72+242=252，符合勾股定理的逆定理，故错误；C、62+82=102，符合勾股定理的逆定理，故错误；D、92+122=152，符合勾股定理的逆定理，故错误．故选A．解：AC90B、解得应为∠B=90度，故错误；C、化简后有c2=a2+b2，根据勾股定理，则△ABC是直角三角形，故正确；D、设三角分别为5x，3x，2x，根据三角形内角和定理可求得三外角分别为：90度，36度，54度，则△ABC是直角三角形，故正确．故选B．53．解：A，62+152≠172，不符合；B，72+122≠152，不符合；C，132+152≠202，不符合；D，72+242=252，符合．故选D54．解：∵AB2+BC2=AC2∴△ABC是直角三角形∴∠B=90°∴△ABC的面积=×12×16=96cm2．故选A．55．解：A、32+32≠52；B、42+62≠82；根据勾股定理7，24，25能组成直角三角形，故选C．56．解：A、32+42=52，能构成直角三角形，故符合题意；D、62+72≠82，不能构成直角三角形，故不符合题意．故选A．57．解：A、能，因为：62+82=102；B72+242=252；C92+122=152；D、不能，因为152+202≠302．故选D．解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故错误；D、42+62≠72，不能构成直角三角形，故错误．故选C．解：A、32+142=52，能构成直角三角形，故正确；）2，能构成直角三角形，故正确；C、92+122=152，能构成直角三角形，故正确；）2，不能构成直角三角形，故错误．故选D．解：A、22+32≠42，根据勾股定理，不是直角三角形，故错误；B、122+222≠322，根据勾股定理，不是直角三角形，故错误；C、42+52≠92，根据勾股定理，不是直角三角形，故错误；，根据勾股定理，是直角三角形，故正确．故选D．61．解：因为32+42=2552=25，所以32+42=52，所以能构成直角三角形的是C．故选C．由题意设三边长分别为：x，x，xx）2，∴三角形一定为直角三角形，并且是等腰三角形．故选D．解：①，根据勾股定理的逆定理不是直角三形，故不是；②a=6，∠A=45不是成为直角三角形的必要条件，故不是；③∠A=32°，∠B=58°则第三个角度数是90°，故是；④72+242=252，根据勾股定理的逆定理是直角三角形，故是；⑤22+22≠42，根据勾股定理的逆定理不是直角三角形，故不是．故选A．解：A、92+402=412A选项错误；根据勾股定理的逆定理能组成直角三角形故B选错误；C、设a=3k，则b=4k，c=5k，则（3k）2+（4k）2=（5k）2，根据勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故C选项错误；D、112+122≠152，根据勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故D选项正确．故选：D．DDE⊥BCE．∵∠A=90°，AB=4，BD=5，==3，∵BD平分∠ABC，∠A=90°，∴点D到BC的距离=AD=3．故选：A．12，斜边长为：=，∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：C．6（1）122，但不是正整数，故错误；（（）（）2，能构成直角三角形，但不是整数，故错误；（3）122+162=202，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确；（4）0.52+1.22=1.32，但不是正整数，故错误．故选A68．解：如图，连接AE，因为点C关于BD的对称点为点A，所以PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，∵正方形ABCD的边长为3，BE=2cm，，∴PE+PC的最小值是B填空：解：设对角线长是xcm．则有x2=18，即x=6．解：根据勾股定理得：b== ==30．故答案为：12，30．3．解：∵Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15∴由勾股定理得c===17．3x、则（3x）2+（4x）2=202，解得x=4，所以两直角边为12，16；×12×16=96，所以它的面积是96．AC=a，BC=b，∴ab=2，∴Rt△ABC的面积为ab=×2=1．故答案为：1．解：4是直角边时，则第三边==5；4是斜边时，则第三边== 则第三边是5或．a，ba2+b2=62，则则S阴影===××18=18．由题意可知，解得a=3，c=5b=4．根据勾股定理得：c=5xc=10所以x=2所以a=6，b=8．25144+25=169S3169．3x，4x，5x3x+4x+5x=24x=2∴三角形的三边是6，8，10三角形的面积=×6×8=2412．解：BD=C′D=x，∠BC′D=∠ADC=45°，可得∠C′DB=90°；故BC′=BC2，则地毯水平的部分的和是水平边的和，竖直的部分的和是竖则地毯的长是（2+2）米．解：如图所示，AB=6m，AC=10m，据勾股定理可得：BC==8m．AB=9AC=12BC==15米15+9=24根据题意，得x2=502+402+302=5000，702=4900，因为4900＜5000，所以能放进去．xm，则绳子长为（x+1）m，∵旗杆垂直于地面，x5（xx12．BD=CE=12m，即直角三角形的两直角边故斜边长AC=即小鸟至少要飞解：由图可知这条木板的长为==1.5m．得：故=13cm，h=24﹣13=11cm．OB=6m，根据题意，得：OB′=6+2=8m．又∵梯子的长度不变，在Rt△A′OB′中，根据勾股定理，得：OA′=6m．则AA′=8﹣6=2m．=2，CB=2．故答案为：2 ．==2，故答案为：2 ．解：圆锥的底面周长是6π，则6π=，∴n=180°，即圆锥侧面展开图的圆心角是180度．则在圆锥侧面展开图中AP=3，AB=6，∠BAP=90度．∴在圆锥侧面展开图中BP=故小猫经过的最短距离是m．故答案是：3 ．AD=πR=4π，AB=CD=20m．DE=CD﹣CE=20﹣2=18m，在Rt△ADE中，AE=≈21.9≈22m．22m．2，宽为（0.2+0.3）×3，B可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2=22+[（0.2+0.3）×3]2=2.52，解得x=2.5．AB68，故矩形对角线长AB= =10，即蚂蚁所行的最短路线长是10．故答案为：10．解：圆柱展开图为长方形，则A，B所在的长方形的长为圆柱的高12cm，宽为底面圆周长的一半为πrcm，蚂蚁经过的最短距离为连接A，B的线段长，由勾股定理得AB=== 故蚂蚁经过的最短距离为15（π取）AB24，7由勾股定理得AB==25寸．AB+2∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．于是最短路径为：=2.60米故答案为：2.60．解：根据题意：第一个正方形的边长为第二个正方形的边长为： ；第三个正方形的边长为： =32；…此后，每一个正方形的边长是上一个正方形的边长所以第n个正方形的边长为64×（ ）n﹣1cm，则第4个正方形的边长为64×（ cm．解：如图，依题意得△PBC8cm∴此三角形中斜边上的高应该为4cm，∴水深至少应为10﹣4=6cm．32．解：设顶角为x°，则底角为+x=180°，x=9045°，∴底角等于顶角一半的等腰三角形是等腰直角三角形；底角为（180°﹣80°）÷2=50°．解：∵等腰直角三角形ABC中，AB=，AB=1，∵等边△ABD和等边△DCE，∴AD=BD，CD=ED，∠ADB=∠CDE，∴∠ADC=∠BDE，在C和BE中，，C≌BE（S，∴BE=AC=1．Rt△ABCAB2=AC2+BC2，AB=3，S阴影=S△AHC+S△BFC+S△AEB=× +××=（AC2+BC2+AB2）=AB2，=×32=．故图中阴影部分的面积为．解：Rt△ABD，EBDAE=BE=DE；∴∠B=∠BAE，即∠AED=2∠B；∵∠C=2∠B，∴∠AEC=∠C，AE=AC=6.5；∴BD=2AE=13；股定理，得：AB==12．BCyDBBE⊥DEE，根据光学反射原理得∠ACO=∠BCX，而∠BCX=∠DCO∴∠ACO=∠DCO∴△ACO≌△DCO∴AC=DC∴OD=OA=1．在直角△DBE中，BE=6，DE=2+1=3，=∴光线从A到B经过的路线的长度约是6.71．故答案为：6.71．30°的相同的直角三角尺，∠ABC=∠EBD=30°，==，×AB=×12=6 ，，过D作DF⊥BE，在Rt△BDF中，∠DBE=30°，==，DF=3 ×6 ×3 =27cm2．故答案为：27．解：∵△ABC∴BC2+AC2=AB2，∵S1=BC2，S2=AC2，S3=AB2，S1=4，S2=8，∴S3=S1+S2=12．解：∵OC、OBACB、∠ABC∴∠5=∠6，∠1=∠2，∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠4=∠6，∠1=∠3．∴∠4=∠5，∠2=∠3，即OD=BD，OE=CE．∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+CE=BC=10cm．故答案为：10．S△AEC=S△ABC﹣S△ADE﹣S△EFC﹣S▱BFED==11．CCE⊥l3EAAF⊥l3则：CE=5，AF=3．∵在△ADC中，∠ADC=90°，∴∠ADF+∠CDE=90°，∵∠ADF+∠DAF=90°，∴∠CDE=∠DAF，在△ADF和△DCE中，，F≌C（S，∴DE=AF=3，，．故答案为：2 ．42．解：∵∠1=∠B，∴AD=BD=13．在直角三角形ACD中，根据勾股定理，得AC=12．a、b、c，如图所示：则S1=）2= ，S2=π（）2=π（因为a2+b2=c2，所以 + = ．即S1+S2=S3．所以S3=70．解：∵PMONA，PB⊥ONB∴PB=PA在Rt△AOP中∵OA=6cm，OP=10cm∴PA=8cm∴PB=8cm．BC∵等腰三角形ABC的周长为16cm∴2AB+2BD=16cm，即AB+BD=8①，在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD2=AB2﹣AD2=AB2﹣42②，联立①②方程，解得，AB=5cm，DB=3cm×6×4=12cm2BE，CDF．根据SAS可以证明△ADC≌△ABE，则∠ADC=∠ABE．则∠DBF+∠BDF=90°则∠BFD=90°．根据勾股定理得：DF2=BD2﹣BF2，EF2=CE2﹣CF2，BF2+CF2=BC2．根据已知条件和勾股定理得BD=6DE2=DF2+EF2=BD2﹣BF2+CE2﹣CF2=BD2+CE2﹣（BF2+CF2）=BD2+CE2﹣BC2=72+32﹣25=79，∴DE= ．ABMCDNMNABD解：图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积．即阴影部分的面积=π﹣4．所以阴影部分的面积是π﹣4．解：观察发现，∵AB=BE，∠ACB=∠BDE=90°，∴∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC+∠EBD=90°，∴∠BAC=∠EBD，BC≌BE（S，∴BC=ED，∵AB2=AC2+BC2，∴AB2=AC2+ED2=S1+S2，即S1+S2=1，同理S3+S4=3．则S1+S2+S3+S4=1+3=4．故答案为：4．解答：．解（1）在平面展开图中可画出最长的线段长为（1分）如图（1）中的A′C′，在Rt△A′C′D′中，∵C′D′=1，A′D′=3，由勾股定理得，（3分）4（另三条用虚线标出（4）（BCBC4（5）在平面展开图中，连接线段′C，由勾股定理可得：'B'=，B'C=（7分）又∵A′B′2+B′C′2=A′C′2，由勾股定理的逆定理可得△A'B'C'为直角三角形．又′BB′ABC（8）BA′′=4（9）BCB′C（10）（1）CBEC90°，∴∠ACD+∠BCD=∠ACD+∠ACE，即∠BCD=∠ACE．∵BC=AC，DC=EC，∴△ACE≌△BCD．（2）∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B=∠BAC=45度．∵△ACE≌△BCD，∴∠B=∠CAE=45°∴∠DAE=∠CAE+∠BAC=45°+45°=90°，∴AD2+AE2=DE2．由（1）知AE=DB，∴AD2+DB2=DE2．（1）BB，∠BE=∠B，ABCDAD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B'EF，∴B′F=B′E，∴B′E=BF；（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．证明：连接BE，由（1）知B′E=BF=c，∵B′E=BE，∴四边形BEB′F是平行四边形，∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，∵AE=a，AB=b，∴a2+b2=c2；（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．证明：连接BE，则BE=B′E．由（1）知B′E=BF=c，∴BE=c，在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c．解：若△ABCa2+b2＞c2（1）若BCCb＜（2）当△ABCAAD⊥BCDCDx，BD=a﹣x（3）b2﹣x2=AD2=c2﹣（a﹣x）2即b2﹣x2=c2﹣a2+2ax﹣x2．∴a2+b2=c2+2ax（5分）＞0，x＞2x＞0．b＞（6）当△ABC证明：过B作BD⊥AC，交AC的延长线于D．设CD为y，则有BD2=a2﹣y2（7分）b2by（9）∵b＞0，y＞0，∴2by＞0，b＜（10）（1）、b（a＞，则依题意有：，①两边平方﹣②，得ab=6，（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=1，∴a﹣b=1，故小正方形的面积为1．（2）解（1）tBC的面积Sb，周长lbc，故当、b、c三边分别为3、4、5时，S=故=，同理将其余两组数据代入可得为1，．∴应填：，1，（2）通过观察以上三组数据，可得出．（3）∵l=a+b+c，m=a+b﹣c，lm（b（b﹣）=（b）﹣2bb﹣．∵∠C=90°，∴a2+b2=c2，s=ab，∴lm=4s．即 ．解：∵D，FAEAEDAEF∴AF=AD=BC=10，DE=EF，设EC=x，则DE=8﹣x．∴EF=8﹣x，在Rt△ABF中，BF==6，∴FC=BC﹣BF=4．在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2+FC2=EF2，即：x2+42=（8﹣x）2，解得x=3．∴EC的长为3cm．解：由折叠可知△ADEAFEAEAF=AD，EF=DE=DC﹣CE=8﹣3=5．所以CF=4，设BF=xcm，则AF=AD=BC=x+4．在Rt△ABF中，由勾股定理，得82+x2=（x+4）2．解得x=6，故BC=10．所以阴影部分的面积为：18﹣2△A80﹣53（m．（1）大正方形的面积为：阴影部分直角三角形面积和为：4×ab；ab=b2﹣2ab+a2+2ab=a2+b2；（x（xyx，yxyx2+2xy+y2（x）x2xyy2成立；（x（xqx）•（xqx的则其面积又可表示为：xqxpq，（x（xq）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．1．解（1）（9﹣1），（9）5；（2﹣1）1，（251）=13；∴7，24，25的股的算式为（72﹣1）弦的算式为（49）=（1（4分），，nn3nn﹣）n（7分），，例如关系式①：弦﹣股=1；关系式②：勾2+股2=弦2（9分）证明关系式弦﹣股=或证明关系式②：勾2+股2=n2+[（n2﹣1）]2=n4+=（n2+1）2=弦（12）：例如探索得当m为偶数且m＞4时股弦的代数式分别为，：（14另加分问题，例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．即上一组为：，（﹣1，（1（n为奇数且n3，分别记为：A1、B1、C1，下一组为：n，（n2）﹣1]（n2）1]（n为奇数且n3，分别记为：A2、B2、C2，则B1+C2=B2+C1（证略）等等．1（1）M，ME，hM，hB，∵S△ABC=S△ABM+S△AMC，S△ABM=×AB×ME=×AB×h1，S△AMC=×AC×MF=×AC×h2，又∵S△ABC=×AC×BD=×AC×h，AB=AC，×AC×h=×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2=h．（2）解：如图所示：h1﹣h2=h．（3）解：在y=x+3中，令x=0得y=3；令y=0得x=﹣4，（﹣4，，B（0，）C（1，0．AB= =5，AC=5AB=AC，即△ABC为等腰三角形．（ⅰ）当点M在BC边上时，由h1+h2=h得：=把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=，所以此时（，．当点M在CB延长线上时由h1﹣h2=h得把它代入y=﹣3x+3中求得：Mx=﹣，所以此时（﹣，．综合（ⅰ（ⅱ）知：点M的坐标为M（，）或（﹣，．1（1）AQ=3，BQ=4，∠Q=90°．AQ•BQ=6；同理S△BCM=S△CDN=S△ADP=6．又∵MQ=7∴S正方形MNPQ=49．∴S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△ABQ=49﹣4×6=25．（2）勾股定理或完全平方公式．（只要给出其一即可得1分）验证：在△BCM、△ABQ中．∵∠M=∠Q=∠ABC=90°，∴∠MBC=∠QAB．又∵AB=BC∴△BCM≌△ABQ同理△CDN≌△DAP≌△BCM．∵MB=a，BQ=b，S正方形MNPQ=S正方形ABCD+4S△ABQab即（a+b）2=a2+2ab+b2（完全平方公式）或又∵S正方形ABCD=S正方形MNPQ﹣4S△