高中数学 理科大题精练系列-17个专题精炼为学生挑好题学生版

目录TOC\o"1-3"\h\u专练系列一：三角函数与解三角形 1专练系列二：数列 5专练系列三：统计概率：分类、分步原理的应用 8专练系列四：统计概率：超几何分布 14专练系列五：统计概率：二项分步 19专练系列六：平行、垂直关系证明 26专练系列七：立体几何：建系困难问题 30专练系列八：立体几何：动点与设未知量 36专练系列九：圆锥曲线：范围（最值）问题 43专练系列十：圆锥曲线：定点、定值问题 48专练系列十一：圆锥曲线：存在性问题 53专练系列十二：函数与导数：存在、恒成立与最值问题 58专练系列十三：函数与导数：参数与分类讨论 61专练系列十四：函数与导数：零点（方程的解）的判断 67专练系列十五：函数与导数：极值点不可求与构造 72专练系列十六：选修4-4：坐标系与参数方程 76专练系列十七：选修4-5：不等式选讲 79专练系列一：三角函数与解三角形精选大题精选大题【例题】[2019·贵阳一中]在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求．1．[2019·通州期末]如图，在中，，，，点在边上，且．（1）求的长；（2）求的面积．2．[2019·济南外国语]的内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）若，的周长为，求的面积．3．[2019·宜昌调研]已知函数．（1）求函数的最小正周期以及单调递增区间；（2）已知的内角、、所对的边分别为、、，若，，，求的面积．专练系列二：数列精选大题精选大题【例题】[2019·榆林一模]已知数列是首项为，公比为的等比数列，设，数列满足．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前项和．1．[2019·驻马店期末]已知等差数列的前项和为，数列为正项等比数列，且，，，．（1）求数列和的通项公式；（2）若，设的前项和为，求．2．[2019·茂名一模]已知数列满足，．（1）求，，的值；（2）证明数列为等差数列；（3）设，求数列的前项和．3．[2019·哈三中期末]数列的前项和为，且，．（1）证明：数列为等比数列，并求；（2）若，求数列的前项和．专练系列三：统计概率：分类、分步原理的应用精选大题精选大题【例题】[2019·黄山一模]2015年11月27日至28日，中共中央扶贫开发工作会议在北京召开，为确保到2020年所有贫困地区和贫困人口一道迈入全面小康社会.黄山市深入学习贯彻习近平总书记关于扶贫开发工作的重要论述及系列指示精神，认真落实省委、省政府一系列决策部署，精准扶贫、精准施策，各项政策措施落到实处，脱贫攻坚各项工作顺利推进，成效明显.贫困户杨老汉就是扶贫政策受益人之一.据了解，为了帮助杨老汉早日脱贫，负责杨老汉家的扶贫队长、扶贫副队长和帮扶责任人经常到他家走访,其中扶贫队长每天到杨老汉家走访的概率为，扶贫副队长每天到杨老汉家走访的概率为，帮扶责任人每天到杨老汉家走访的概率为．（1）求帮扶责任人连续四天到杨老汉家走访的概率；（2）设扶贫队长、副队长、帮扶责任人三人某天到杨老汉家走访的人数为，求的分布列；（3）杨老汉对三位帮扶人员非常满意，他对别人说:“他家平均每天至少有1人走访”，请问：他说的是真的吗？1．[2019·甘肃期末]已知甲、乙两名工人在同样条件下每天各生产100件产品，且每生产1件正品可获利20元，生产1件次品损失30元，甲，乙两名工人100天中出现次品件数的情况如表所示．甲每天生产的次品数/件01234对应的天数/天4020201010乙每天生产的次品数/件0123对应的天数/天30252520（1）将甲每天生产的次品数记为（单位：件），日利润记为（单位：元），写出与的函数关系式；（2）如果将统计的100天中产生次品量的频率作为概率，记表示甲、乙两名工人1天中各自日利润不少于1950元的人数之和，求随机变量的分布列和数学期望．2．[2019·济南期末]某企业生产了一种新产品，在推广期邀请了100位客户试用该产品，每人一台．试用一个月之后进行回访，由客户先对产品性能作出“满意”或“不满意”的评价，再让客户决定是否购买该试用产品（不购买则可以免费退货，购买则仅需付成本价）．经统计，决定退货的客户人数是总人数的一半，“对性能满意”的客户比“对性能不满意”的客户多10人，“对性能不满意”的客户中恰有选择了退货．（1）请完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“客户购买产品与对产品性能满意之间有关”．对性能满意对性能不满意合计购买产品不购买产品合计（2）企业为了改进产品性能，现从“对性能不满意”的客户中按是否购买产品进行分层抽样，随机抽取6位客户进行座谈．座谈后安排了抽奖环节，共有6张奖券，其中一张印有900元字样，两张印有600元字样，三张印有300元字样，抽到奖券可获得相应奖金．6位客户每人随机抽取一张奖券（不放回），设6位客户中购买产品的客户人均所得奖金为元，求的分布列和数学期望．附：，其中．3．[2019·通州期末]北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长，共设13座车站．目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（1）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（2）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为元，求的分布列；（3）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元．试比较和的方差和大小．（结论不需要证明）专练系列四：统计概率：超几何分布精选大题精选大题【例题】[2019·丰台期末]2018年11月5日上午，首届中国国际进口博览会拉开大幕，这是中国也是世界上首次以进口为主题的国家级博览会.本次博览会包括企业产品展、国家贸易投资展.其中企业产品展分为7个展区，每个展区统计了备受关注百分比，如下表：展区类型智能及高端装备消费电子及家电汽车服装服饰及日用消费品食品及农产品医疗器械及医药保健服务贸易展区的企业数(家)40060706501670300450备受关注百分比备受关注百分比指：一个展区中受到所有相关人士关注（简称备受关注）的企业数与该展区的企业数的比值．（1）从企业产品展7个展区的企业中随机选取1家，求这家企业是选自“智能及高端装备”展区备受关注的企业的概率；（2）从“消费电子及家电”展区备受关注的企业和“医疗器械及医药保健”展区备受关注的企业中，任选2家接受记者采访．（i）记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数，求随机变量的分布列；（ii）假设表格中7个展区的备受关注百分比均提升．记为这2家企业中来自于“消费电子及家电”展区的企业数．试比较随机变量，的均值和的大小．（只需写出结论）1．[2019·大兴期末]自由购是一种通过自助结算购物的形式．某大型超市为调查顾客自由购的使用情况，随机抽取了100人，调查结果整理如下：20以下70以上使用人数312176420未使用人数003143630（1）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；（2）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；（3）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋？2．[2019·广东期末]水果的价格会受到需求量和天气的影响．某采购员定期向某批发商购进某种水果，每箱水果的价格会在当日市场价的基础上进行优惠，购买量越大优惠幅度越大，采购员通过对以往的10组数据进行研究，发现可采用来作为价格的优惠部分（单位：元/箱）与购买量（单位：箱）之间的回归方程，整理相关数据得到下表（表中，）：（1）根据参考数据，①建立关于的回归方程；②若当日该种水果的市场价为200元/箱，估算购买100箱该种水果所需的金额（精确到元）．（2）在样本中任取一点，若它在回归曲线上或上方，则称该点为高效点．已知这10个样本点中，高效点有4个，现从这10个点中任取3个点，设取到高效点的个数为，求的数学期望．附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，，参考数据：．3．[2019·湖北联考]为发挥体育在核心素养时代的独特育人价值，越来越多的中学已将某些体育项目纳入到学生的必修课程，甚至关系到是否能拿到毕业证．某中学计划在高一年级开设游泳课程，为了解学生对游泳的兴趣，某数学研究性学习小组随机从该校高一年级学生中抽取了100人进行调查，其中男生60人，且抽取的男生中对游泳有兴趣的占，而抽取的女生中有15人表示对游泳没有兴趣．（1）试完成下面的列联表，并判断能否有的把握认为“对游泳是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没兴趣合计男生女生合计（2）已知在被抽取的女生中有6名高一（1）班的学生，其中3名对游泳有兴趣，现在从这6名学生中随机抽取3人，求至少有2人对游泳有兴趣的概率．（3）该研究性学习小组在调查中发现，对游泳有兴趣的学生中有部分曾在市级和市级以上游泳比赛中获奖，如下表所示．若从高一（8）班和高一（9）班获奖学生中各随机选取2人进行跟踪调查，记选中的4人中市级以上游泳比赛获奖的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．班级市级比赛获奖人数2233443342市级以上比赛获奖人数2210233212．专练系列五：统计概率：二项分步精选大题精选大题【例题】[2019·开封一模]大学先修课程，是在高中开设的具有大学水平的课程，旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练，为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备．某高中成功开设大学先修课程已有两年，共有250人参与学习先修课程，这两年学习先修课程的学生都参加了高校的自主招生考试（满分100分），结果如下表所示：分数人数25501005025参加自主招生获得通过的概率（1）这两年学校共培养出优等生150人，根据下图等高条形图，填写相应列联表，并根据列联表检验能否在犯错的概率不超过的前提下认为学习先修课程与优等生有关系？优等生非优等生总计学习大学先修课程250没有学习大学先修课程总计150（2）已知今年全校有150名学生报名学习大学选项课程，并都参加了高校的自主招生考试，以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率．（i）在今年参与大学先修课程学习的学生中任取一人，求他获得高校自主招生通过的概率；（ii）某班有4名学生参加了大学先修课程的学习，设获得高校自主招生通过的人数为，求的分布列，试估计今年全校参加大学先修课程学习的学生获得高校自主招生通过的人数．参考数据：参考公式：，其中．1．[2019·广东期末]某工厂共有员工5000人，现从中随机抽取100位员工，对他们每月完成合格产品的件数进行统计，统计表格如下：（1）工厂规定：每月完成合格产品的件数超过3200件的员工，会被评为“生产能手”称号．由以上统计数据填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为“生产能手”称号与性别有关？（2）为提高员工劳动的积极性，该工厂实行累进计件工资制：规定每月完成合格产品的件数在定额2600件以内的（包括2600件），计件单价为1元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出件的部分，累进计件单价为元；超出400件以上的部分，累进计件单价为元．将这4段的频率视为相应的概率，在该厂男员工中随机选取1人，女员工中随机选取2人进行工资调查，设实得计件工资（实得计件工资=定额计件工资+超定额计件工资）超过3100元的人数为，求的分布列和数学期望．附：，2．[2019·六盘山期末]某高中随机抽取部分高一学生调查其上学路上所需时间(单位：分钟)，并将所得数据绘制成频率分布直方图（如图），其中上学路上所需时间的范围是，样本数据分组为，，，，．（1）求直方图中的值；（2）如果上学路上所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿，若招生1200名，请估计新生中有多少名学生可以申请住宿；（3）从学校的高一学生中任选4名学生，这4名学生中上学路上所需时间少于40分钟的人数记为，求的分布列和数学期望．（以直方图中频率作为概率）3．[2019·潍坊期末]某钢铁加工厂新生产一批钢管，为了了解这批产品的质量状况，检验员随机抽取了100件钢管作为样本进行检测，将它们的内径尺寸作为质量指标值，由检测结果得如下频率分布表和频率分布直方图：分组频数频率218103合计1001（1）求，；（2）根据质量标准规定：钢管内径尺寸大于等于或小于为不合格，钢管内径尺寸在或为合格，钢管内径尺寸在为优等．钢管的检测费用为元/根，把样本的频率分布作为这批钢管的概率分布．（i）若从这批钢管中随机抽取根，求内径尺寸为优等钢管根数的分布列和数学期望；（ii）已知这批钢管共有根，若有两种销售方案：第一种方案：不再对该批剩余钢管进行检测，扣除根样品中的不合格钢管后，其余所有钢管均以元/根售出；第二种方案：对该批钢管进行一一检测，不合格钢管不销售，并且每根不合格钢管损失元，合格等级的钢管元/根，优等钢管元/根．请你为该企业选择最好的销售方案，并说明理由．专练系列六：平行、垂直关系证明精选大题精选大题【例题】[2019·朝阳期末]如图，三棱柱的侧面是平行四边形，，平面平面，且，分别是，的中点．（1）求证：；（2）求证：平面；（3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．1．[2019·无锡期末]在四棱锥中，锐角三角形所在平面垂直于平面，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面．2．[2019·海淀期末]在四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）若是棱的中点，求证：对于棱上任意一点，与都不平行．3．[2019·大连期末]如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，．（1）求证：；（2）求证：平面平面；（3）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．专练系列七：立体几何：建系困难问题精选大题精选大题【例题】[2019·贵阳一中][2019·长沙统测]已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）证明：平面平面；（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值． 图一 图二1．[2019·安庆期末]矩形中，，，点为中点，沿将折起至，如图所示，点在面的射影落在上．（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．2．[2019·南阳期末]如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2．（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为．若二面角为，求与平面所成角的正弦值．3．[2019·苏州调研]如图，在四棱锥中，已知底面是边长为1的正方形，侧面平面，，与平面所成角的正弦值为．（1）求侧棱的长；（2）设为中点，若，求二面角的余弦值．专练系列八：立体几何：动点与设未知量精选大题精选大题【例题】[2019·遵义航天中学]如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为正三角形，且侧面底面，为线段的中点，在线段上．（1）当是线段的中点时，求证：平面；（2）是否存在点，使二面角的大小为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．1．[2019·跃华中学]如图所示，正四棱椎中，底面的边长为2，侧棱长为．（1）若点为上的点，且平面，试确定点的位置；（2）在（1）的条件下，点为线段上的一点且，若平面和平面所成的锐二面角的余弦值为，求实数的值．2．[2019·湖北联考]如图，在四棱锥中，，，，且，．（1）证明：平面；（2）在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由．3．[2019·西城44中]如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，，分别为，的中点，点在线段上．（1）求证：平面；（2）若为的中点，求证：平面；（3）如果直线与平面所成的角和直线与平面所在的角相等，求的值．专练系列九：圆锥曲线：范围（最值）问题精选大题精选大题【例题】[2019·江南十校]已知椭圆，为其短轴的一个端点，，分别为其左右两个焦点，已知三角形的面积为，且．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆交于，，为线段的中点，且，求的最大值．1．[2019·柳州模拟]已知点，直线，为平面内的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，且．（1）求动点的轨迹的方程；（2）过点作直线（与轴不重合）交轨迹于，两点，求三角形面积的取值范围．（为坐标原点）2．[2019·雷州期末]如图，已知抛物线和，过抛线上一点作两条直线与相切于、两点，分别交抛物线于、两点，圆心点到抛物线准线的距离为．（1）求抛物线的方程；（2）当的角平分线垂直轴时，求直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距为，求的最小值．3．[2019·周口调研]已知直线与抛物线交于，两点，线段的中点为，点为的焦点，且（为坐标原点）的面积为1．（1）求抛物线的标准方程；（2）过点作斜率为的直线与交于，两点，直线，分别交直线于，两点，求的最大值．专练系列十：圆锥曲线：定点、定值问题精选大题精选大题【例题】[2019·甘肃联考]已知椭圆的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线与椭圆交于，两点，且与圆相切．试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由．1．[2019·安庆期末]已知椭圆过点，焦距长，过点的直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）已知点，求证：为定值．2．[2019·东莞期末]已知椭圆的中心在坐标原点，左右焦点分别为和，且椭圆经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右顶点作两条相互垂直的直线，，分别与椭圆交于点，（均异于点），求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．3．[2019·漳州一模]已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，且椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）过椭圆的右焦点且斜率存在的直线交椭圆于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，证明：为定值．专练系列十一：圆锥曲线：存在性问题精选大题精选大题【例题】[2019·株洲一模]已知，分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且轴，的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，设为坐标原点，是否存在常数，使得恒成立？请说明理由．1．[2019·宜昌调研]已知椭圆的离心率为，短轴长为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆交于、两点，是椭圆的上焦点．问：是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．2．[2019·江西联考]已知点为抛物线的焦点，抛物线上的点满足(为坐标原点)，且．（1）求抛物线的方程；（2）若直线与抛物线交于不同的两点，，是否存在实数及定点，对任意实数，都有？若存在，求出的值及点的坐标；若不存在，请说明理由．3．[2019·哈三中期末]在圆上取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，设线段中点的轨迹为．（1）求的方程；（2）试问在上是否存在两点，关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．专练系列十二：函数与导数：存在、恒成立与最值问题精选大题精选大题【例题】[2019·广州一模]已知函数．（1）若，求的单调区间；（2）当时，记的最小值为，求证．1．[2019·青海联考]已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）当有最小值，且最小值不小于时，求的取值范围．2．[2019·咸阳模拟]设函数，．（1）当时，求的单调区间；（2）求证：当时，．3．[2019·东莞期末]已知函数，函数．（1）求函数的单调区间；（2）设，是函数的两个极值点，若，求的最小值．专练系列十三：函数与导数：参数与分类讨论精选大题精选大题【例题】[2019·揭阳毕业]已知函数（，）．（1）讨论函数的单调性；（2）当时，，求的取值范围．1．[2019·周口调研]已知函数．（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数的图像不在轴上方，求的取值范围．2．[2019·济南期末]已知函数．（1）若曲线在点处切线的斜率为1，求实数的值；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．3．[2019·漳州一模]已知函数．（1）求在上的最值；（2）设，若当，且时，，求整数的最小值．专练系列十四：函数与导数：零点（方程的解）的判断精选大题精选大题【例题】[2019·江西联考]已知函数，．（1）若，且曲线在处的切线过原点，求的值及直线的方程；（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围．1．[2019·宁夏联考]已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论函数的零点个数．2．[2019·肇庆统测]已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．3