信号与系统 课件全套 付华 第1-6章 信号与系统分析导论-系统的频率分析

信号与系统SignalsandSystems课程基本情况学时：48考核方式：考查平时成绩：20考勤：10课堂：5作业：5期末成绩：80加油！教学内容信号与系统分析导论1信号的时域分析

2系统的时域分析

3周期信号的频域分析

4非周期信号的的频域分析

5系统的频域分析

6

连续时间信号与系统的复频域分析

7离散信号与系统的复频域分析

8

系统的状态变量分析

9第一章信号与系统分析导论测控技术系《信号与系统》是电类相关专业的学生必须学习的专业理论基础课程之一，本章将分别对什么是信号，什么是系统，以及系统分析所采用的方法等问题作简单介绍。*信息科学的应用与发展通讯古老通讯方式：烽火、旗语、信号灯近代通讯方式：电报、电话、无线通讯现代通讯方式：计算机网络通讯、视频电视传播、卫星传输、移动通讯信号与系统问题无处不在信息科学已渗透到所有现代自然科学和社会科学领域*工业监控、生产调度、质量分析、资源遥感、地震预报、人工智能、高效农业、交通监控*宇宙探测、军事侦察、武器技术、安全报警、指挥系统*经济预测、财务统计、市场信息、股市分析*电子出版、新闻传媒、影视制作*远程教育、远程医疗、远程会议*虚拟仪器、虚拟手术应用举例（1）谐波分析电弧炉大型f50250幅度电网频谱分析(2)故障诊断——电动机鼠笼断条鼠笼断裂电机转子的鼠笼454950f滑差电流电动机频谱分析泄露（3）长电力传输线的故障检测脉冲发生器LT1T2互相关漏电生物医学信号处理应用举例滤波以前干扰严重滤波以后干扰祛除信号与系统分析导论

系统的描述及分类

信号与系统分析概述

信号的描述及分类

信号的描述与分类

信号的基本概念

确定信号与

随机信号连续信号与离散信号周期信号与非周期信号能量信号与功率信号

信号的分类一、信号的基本概念1.信号：消息的运载工具和表现形式2.表示：

函数：f(t)=Amcos(

t+

)

波形：数据：t0.10.20.30.40.50.60.7u(t)1.21.41.31.71.11.91.8t0f(t)语音信号：

空气压力随时间变化的函数。语音信号“你好”的波形静止的单色图象：

亮度随空间位置变化的信号f(x,y)。静止的彩色图象：

三基色红(R)、绿(G)、蓝(B)随空间位置变化的信号。二、信号的分类1.确定信号与随机信号

确定信号能够以确定的时间函数表示的信号。

随机信号也称为不确定信号，不是时间的确定函数。二、信号的分类2.连续信号与离散信号

连续信号：在连续时间范围内信号有确定的值。允许在其时间定义域上存在有限个间断点。通常以f(t)表示。Ot()tf模拟信号：时间和幅值均为连续的信号。二、信号的分类

离散信号：信号仅在规定的离散时刻有定义。通常以f[k]表示。抽样信号——时间离散幅值连续数字信号——时间离散幅值离散()nfn()nfnOt()tf

连续时间信号n012345t0连续时间信号（可包含不连续点）离散时间信号（抽样信号）f(t)t0数字信号f(n)

(2)

(1)(1)01234n值域连续值域不连续t<0时，f(t)=0的信号称为有始信号判断下列波形是连续时间还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号？

连续时间周期信号定义:，存在正数T，使得

二、信号的分类3.

周期信号与非周期信号成立，则f(t)

为周期信号。

离散时间周期信号定义:

kI

，存在正整数N，使得成立，则f[k]

为周期信号。满足上述条件的最小的正T、正N称为信号的基本周期。不满足周期信号定义的信号称为非周期信号。【例1-1】判断离散余弦信号是否为周期信号。解：如果，则是周期信号。应满足，为整数即有理数所以，只有在为有理数时，才是周期信号。二、信号的分类4.能量信号和功率信号能量信号功率信号信号（1）信号f(t)的能量

将信号f(t)施加于1Ω电阻上，它所消耗瞬时功率为，在区间(–∞,∞)的能量和平均功率定义为（2）信号的功率P0<P<∞,E=∞0<E<∞,P=0周期信号f(t)时限信号为能量信号周期信号属于功率信号，而非周期信号可能是能量信号，也可能是功率信号。有些信号既不是属于能量信号也不属于功率信号，如f(t)f(t)存在于有限时间内功率信号：周期信号直流信号随机信号[例1-2]判断下列信号是否为能量信号、功率信号。解：基本周期

其在一个基本周期内的能量为所以但其归一化功率是非零的有限值，因此是功率信号。

解：的归一化能量是无限值，归一化功率也是无限值，因此既不是能量信号也不是功率信号。

系统的描述及其分类

系统的数学模型

系统的方框图表示

系统的分类

连续时间系统与离散时间系统

线性系统与非线性系统

时不变系统与时变系统

因果系统与非因果系统

稳定系统与不稳定系统

系统的描述

系统

是指由相互作用和依赖的若干事物组成的、具有特定功能的整体。控制系统通信系统一、系统的描述1.

数学模型

输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程

状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组2.

方框图表示RL串联电路描述系统的基本单元方框图连续时间系统离散时间系统二、系统的分类1．连续时间系统与离散时间系统

连续时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为连续时间信号连续时间系统的数学模型是微分方程式。离散时间系统：系统的输入激励与输出响应都必须为离散时间信号离散时间系统的数学模型是差分方程式。二、系统的分类2．线性系统与非线性系统

线性系统：具有线性特性的系统。线性特性包括均匀特性与叠加特性。1)均匀特性：2)叠加特性：

同时具有均匀特性与叠加特性方为线性特性

线性特性可表示为二、系统的分类2．线性系统与非线性系统其中

、

为任意常数二、系统的分类2．线性系统与非线性系统具有线性特性的离散时间系统可表示为其中

，

为任意常数非线性系统：不具有线性特性的系统。

线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式。二、系统的分类2．线性系统与非线性系统

含有初始状态线性系统的定义连续时间系统若则二、系统的分类2．线性系统与非线性系统

含有初始状态线性系统的定义离散时间系统若则二、系统的分类2．线性系统与非线性系统

含有初始状态线性系统的定义

结论:

具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应与零状态响应之和。[例]

判断下列系统是否为线性系统。解：②叠加特性①均匀特性满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。[例]

判断下列系统是否为线性系统。解：不满足均匀特性，该系统为非线性系统。[例]

判断下列系统是否为线性系统。满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。注：微积分运算是线性运算。解：①均匀特性②叠加特性线性系统非线性系统非线性系统线性系统零状态响应非线性不满足可分解性[例]

判断下列输出响应所对应的系统是否为线性系统？（其中y(0)为系统的初始状态，f(t)为系统的输入激励，y(t)为系统的输出响应）。2、零输入线性，系统的零输入响应必须对

所有的初始状态呈现线性特性。解：分析

任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和,即。1、具有可分解性3、零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。

因此，判断一个系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2．在判断系统的零输入响应yx(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中y(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。3．在判断系统的零状态响应yf(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量（如上述例题中f(t)），而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。判断系统是否线性注意问题例：已知某系统是连续时间系统，当其初始状态y(0)=2,系统的零输入响应而在初始状态y(0)=8及输入激励f(t)共同作用下产生的完全响应求（1）系统的零状态响应（2）系统的初始状态y(0)=1以及输入激励3f(t)共同作用下产生的完全响应。二、系统的分类3．时不变系统与时变系统系统的输出响应与输入激励的关系不随输入激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不变系统。否则，就称为时变系统。二、系统的分类3．时不变系统与时变系统

时不变特性

时不变的连续时间系统表示为

时不变的离散时间系统表示为

线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。(1)y(t)=sin[f(t)]

(2)y(t)=cost·f(t)

(3)y(t)=4f2(t)+3f(t)

(4)y(t)=2t·f(t)[例]

试判断下列系统是否为时不变系统。时不变系统时变系统时不变系统时变系统分析:判断一个系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励f(t)变为f(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否也变为y(t-t0)。由于系统的时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。二、系统的分类4．因果系统与非因果系统

因果系统：

当且仅当输入信号激励系统时才产生系统输出响应的系统。

非因果系统：

不具有因果特性的系统称为非因果系统。二、系统的分类5．稳定系统与不稳定系统

稳定系统：指有界输入产生有界输出的系统。

BIBO：BoundedInput,BoundedOutput

不稳定系统：系统输入有界而输出无界。

信号与系统分析概述

信号分析的主要内容系统分析的主要内容信号与系统之间的关系系统与电路之间的关系信号与系统的应用领域课程学习的基本方法主要参考书连续系统离散系统系统的描述输入输出描述法：N

阶微分方程系统响应求解状态空间描述：N个一阶微分方程组时域：频域：复频域：系统的描述输入输出描述法：N阶差分方程系统响应求解状态空间描述：N个一阶差分方程组时域：频域：Z域：y(t)=f(t)*h(t)连续信号离散信号抽样时域：信号表达为冲激信号的线性组合频域：信号表达为正弦信号的线性组合（CFS，CTFT）复频域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）时域：信号表达为脉冲序列的线性组合频域：信号表达为正弦序列的线性组合（DFS，DTFT）

Z域：信号表达为复指数的线性组合（单边、双边）信号与系统Y(jw)=F(jw)H(jw)Y(s)=F(s)H(s)y[k]=f[k]*h[k]Y(ejW)=F(ejW)H(ejW)Y(z)=F(z)H(z)系统分析信号分析信号与系统课程体系信号分析连续信号离散信号抽样时域：信号分解为冲激信号的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦信号的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合时域：信号分解为单位脉冲序列的线性组合频域：信号分解为不同频率正弦序列的线性组合复频域：信号分解为不同频率复指数的线性组合系统分析连续系统离散系统系统的描述输入输出描述法：N阶微分方程系统响应的求解系统的描述系统响应的求解状态空间描述：N个一阶微分方程组时域：频域：复频域：输入输出描述法：N阶差分方程状态空间描述：N个一阶差分方程组时域：频域：Z域：

信号与系统是相互依存的整体。

信号与系统之间的关系1.

信号必定是由系统产生、发送、传输与接收，离开系统没有孤立存在的信号；2.

系统的重要功能就是对信号进行加工、变换与处理，没有信号的系统就没有存在的意义。

信号与系统的应用领域控制计算机等信号处理信号检测非电类:社科领域：电类机械、热力、光学等股市分析、人口统计等

信号与系统的应用领域

系统与电路的关系1.

通常把系统看成比电路更为复杂、规模更大的组合2.

处理问题的观点不同：

电路：着重在电路中各支路或回路的电流及各节点的电压上

系统：着重在输入输出之间的关系上，即系统能实现何种功能。

课程学习的基本方法3.

加强实践环节(学会用MATLAB进行信号分析)，通过实验加深对理论与概念的理解。1.

着重掌握信号与系统分析的原理与方法，将数学概念、物理概念及其工程概念相结合。2.

注意提出问题，分析与解决问题的认知过程。4.

通过练习、复习和归纳等深刻理解基本概念，掌握分析与解决问题的方法。

主要参考书[1]EdwardW.K.,BonnieS.H.FundamentalsofSignalsandSystemsUsingMATLAB.Prentice-HallInternational,Inc.1997[2]SimonH.,BarryV.V.SignalsandSystems.JohnWiley&Sons,Inc.1999[3]A.V.Oppenheim.SignalsandSystems

或中译本（第2版）.西安交通大学出版社.[4]郑君里，应启珩等.信号与系统.第2版.

高等教育出版社，2000.

主要参考书[5]管致中，孟桥等.信号与线性系统.第4版.

高等教育出版社，2004[6]

吴大正等.信号与线性系统分析.第3版.

高等教育出版社，2005[7]吴湘淇等.信号、系统与信号处理(上).第2版.

电子工业出版社，1999[8]吴湘淇等.信号、系统与信号处理——软硬件实现.

电子工业出版社，2002[9]陈后金，胡健等.信号与系统学习指导与习题精解.

清华大学出版社，2004P16:1.31.9(1-5)1.10(1-6)1.111.12作业信号与系统SignalsandSystems信号的时域分析

连续时间信号的时域描述连续时间信号的基本运算离散时间信号的时域描述离散时间信号的基本运算确定信号的时域分解

连续时间信号的时域描述典型普通信号

直流信号正弦信号

指数类信号抽样信号奇异信号单位阶跃信号冲激信号斜坡信号冲激偶信号一、典型普通信号1.

直流信号一、典型普通信号2.

正弦信号A:振幅w0:角频率j:初始相位周期信号一、典型普通信号3.

指数类信号

—

实指数信号KO单边指数信号通常把称为指数信号的时间常数，记作,代表信号衰减速度，具有时间量纲一、典型普通信号3.

指数类信号—

虚指数信号周期性：虚指数信号的基本周期：也称正弦指数信号一、典型普通信号3.

指数类信号

—

复指数信号tt一、典型普通信号4.

抽样信号

抽样信号的性质：与Sa(t)信号类似的是sinc(t)

函数，定义偶函数二、奇异信号－信号本身或其导数（积分）具有不连续点的函数1.

单位阶跃信号

定义:二、奇异信号1.

单位阶跃信号

阶跃信号的作用：(1)表示任意的方波脉冲信号f(t)=u(t-T)-u(t-2T)二、奇异信号1.

单位阶跃信号

阶跃信号的作用：(2)利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围

二、奇异信号2.

冲激信号

单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流i(t)=Cdu(t)/dt可用冲激信号表示。

狄拉克(Dirac)定义：

(t)=0,t

0(2)冲激信号的定义(1)冲激信号的引出二、奇异信号2.

冲激信号(3)冲激信号的图形表示

(t)=0,t

0二、奇异信号2.

冲激信号说明：

①冲激信号可以延时至任意时刻t0，以符号

(t-t0)表示，其波形如图所示。

(t-t0)的定义式为：二、奇异信号2.

冲激信号③

冲激信号的物理意义：表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型。④

冲激信号的作用：②

冲激信号具有强度，其强度就是冲激信号对时间的定积分值。在图中用括号注明，以区分信号的幅值。A.表示其他任意信号B.表示信号间断点的导数说明：二、奇异信号2.

冲激信号(4)冲激信号的极限模型二、奇异信号2.

冲激信号(5)冲激信号的广义函数定义j

(t)为测试函数,是任意连续的信号二、奇异信号2.

冲激信号(6)冲激信号的性质①筛选特性二、奇异信号2.

冲激信号(6)冲激信号的性质②取样特性证明：利用筛选特性二、奇异信号2.

冲激信号(6)冲激信号的性质③展缩特性推论：冲激信号是偶函数。根据d(t)泛函定义证明取a=-1,可得d(t)=d(-t)二、奇异信号2.

冲激信号(6)冲激信号的性质④冲激信号与阶跃信号的关系[例]

计算下列各式

解:

2.对于

(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的展缩特性将其化为

(t+b/a)/|a|形式后，方可利用冲激信号的取样特性与筛选特性。1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是（-

，+

），但只要积分区间不包括冲激信号

(t-t0)的t=t0时刻，则积分结果必为零。注意：二、奇异信号3.

斜坡信号

定义：二、奇异信号3.

斜坡信号

斜坡信号与阶跃信号之间的关系：[例]

写出图示信号的时域描述式。(1)

解:

(1)(2)(2)二、奇异信号4.

冲激偶信号

冲激偶信号的图形表示

定义：二、奇异信号4.

冲激偶信号

性质：(取样特性)(筛选特性)(展缩特性)四种奇异信号具有微积分关系信号与系统SignalsandSystems信号的时域分析

连续时间信号的时域描述

连续时间信号的基本运算

离散时间信号的时域描述离散时间信号的基本运算确定信号的时域分解

连续时间信号的基本运算

信号的尺度变换信号的翻转信号的平移信号相加信号相乘信号的微分信号的积分1.尺度变换

f(t)

f(at)a>0若0<a<1，则f(at)是f(t)的扩展。若a>1，则f(at)是f(t)的压缩。[例]

尺度变换后语音信号的变化f(t)f(1.5t)f(0.5t)00.050.10.150.20.250.30.350.4-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5一段语音信号(“对了”)。抽样频率=22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)2.信号的翻转

f(t)

f(-t)将f(t)以纵轴为中心作180

翻转3.时移（平移）

f(t)

f(t

t0)f(t-t0)表示信号右移t0单位；f(t+t0)表示信号左移t0单位。t0>0[例1]

已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。解：注意：是对t的变换！！例2：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。t由f（5－2t)f(－2t)时移t解：（1）时移以而求得－2t，即f(5-2t)左移代替，由f(－2t)f(2t)反褶01t

f(2t)（2）反转：f(-2t)中以-t代替t，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形以t=0的纵轴为中心反转，注意是偶数，故由f(2t)f(t)比例－1012t（3）比例：以代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。4.信号的相加

f(t)=f1(t)+f2(t)+……+fn(t)5.信号的相乘

f(t)=f1(t)·

f2(t)6.信号的微分y(t)=df(t)/dt=f'(t)经过微分后突出显示了信号的变化部分！注意：对不连续点的微分7.信号的积分信号经积分运算后，突出部分变的平滑[例]

画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为常数，w0=2p/T。解：(1)(2)(1)[例]

画出下列信号及其一阶导数的波形，其中T为常数，w0=2p/T

。解：(1)(2)(2)

注意：信号与系统SignalsandSystems信号的时域分析

连续时间信号的时域描述连续时间信号的基本运算离散时间信号的时域描述

离散时间信号的基本运算

确定信号的时域分解

信号的分解1．信号分解为直流分量与交流分量2．信号分解为奇分量与偶分量之和3．信号分解为实部分量与虚部分量4．连续信号分解为冲激函数的线性组合5．离散序列分解为脉冲序列的线性组合1．信号分解为直流分量与交流分量

连续时间信号

离散时间信号直流交流2．信号分解为奇分量与偶分量之和

连续时间信号

离散时间信号偶分量奇分量[例]

画出信号f(t)的奇、偶分量解：3．信号分解为实部分量与虚部分量

连续时间信号

离散时间信号实部分量虚部分量4．连续信号分解为冲激函数的线性组合4．连续信号分解为冲激函数的线性组合当

0时，k

，

d

，且

物理意义：

不同的连续信号都可以分解为冲激信号，不同的信号只是它们的系数不同。

实际应用：

当求解信号通过系统产生的响应时，只需求解冲激信号通过该系统产生的响应，然后利用线性时不变系统的特性，进行迭加和延时即可求得信号f(t)产生的响应。信号分解为

(t)的物理意义与实际应用5．离散信号分解为单位脉冲序列的线性组合任意序列可以分解为单位脉冲序列及其位移的和6任意信号表示为阶跃函数的积分6任意信号表示为阶跃函数的积分信号与系统SignalsandSystems时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础。本课程中我们主要讨论输入、输出描述法。系统分析过程经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与

(t)有关的问题有待进一步解决——h(t)；卷积积分法:

任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。(新方法)系统的时域分析

线性时不变系统的描述及特点

连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性微分方程的列写根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑约束列写系统的微分方程。元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系,KCL，KVL。

线性时不变系统的描述及特点

连续LTI系统用N阶常系数线性微分方程描述ai

、

bj为常数。

离散LTI系统用N阶常系数线性差分方程描述ai

、

bj为常数。线性时不变(LTI)系统的描述

线性时不变系统的描述及特点线性时不变系统的特点由于LTI系统具有线性特性和时不变特性，因此具有:1）微分特性或差分特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=

y[k]则T{

f[k]

-f[k-1]}=

y[k]

-y[k-1]2）积分特性或求和特性：若T{f(t)}=y(t)则若T{f[k]}=

y[k]则[例]

已知LTI系统在f1(t)激励下产生的响应为y1(t)

，试求系统在f2(t)激励下产生的响应y2(t)

。解：从f1(t)和f2(t)图形可以看得出，f2(t)与f1(t)存在以下关系根据线性时不变性质，y2(t)与y1(t)之间也存在同样的关系

连续时间LTI系统的响应经典时域分析方法卷积法零输入响应求解零状态响应求解

连续时间LTI系统的响应1.

经典时域分析方法:求解微分方程2.卷积法:系统完全响应=零输入响应+零状态响应

求解齐次微分方程得到零输入响应

利用卷积积分可求出零状态响应一、经典时域分析方法

微分方程的全解即系统的完全响应,由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成

齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定

特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定一、经典时域分析方法

齐次解yh(t)的形式(1)特征根是不等实根s1,s2,

,sn(2)特征根是等实根s1=s2=

=sn

=s(3)特征根是成对共轭复根一、经典时域分析方法

常用激励信号对应的特解形式[例]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,

输入信号f(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。特征根为齐次解yh(t)解:(1)求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=0的齐次解yh(t)特征方程为t>0[例]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,

输入信号f(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(2)求非齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t)=f(t)的特解yp(t)由输入f(t)的形式，设方程的特解为yp(t)=Ce-t将特解带入原微分方程即可求得常数C=1/3。t>0[例]

已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程

初始条件y(0)=1,y'(0)=2,

输入信号f(t)=e-t

u(t)，求系统的完全响应y(t)。解:(3)求方程的全解解得A=5/2，B=-11/61)

若初始条件不变，输入信号

f(t)=sint

u(t)，则系统的完全响应y(t)=？2)

若输入信号不变，初始条件y(0)=0,y'(0)=1,则系统的完全响应y(t)=？讨论齐次解的形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f(t)的形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。特解的形式由激励确定，称为系统的强迫响应。经典法不足之处

若微分方程右边激励项较复杂，则难以处理。若激励信号发生变化，则须全部重新求解。若初始条件发生变化，则须全部重新求解。这种方法是一种纯数学方法，无法突出系统响应的物理概念。二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应1.系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系统的初始状态单独作用而产生的输出响应。

数学模型:

求解方法：根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式

再由初始状态确定待定系数。解:

系统的特征方程为[例]

已知某线性时不变系统的动态方程式为:y"(t)+5y'(t)+6y(t)=4f(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1+K2=1y'(0-)=y'x(0-)=-2K1-3K2=3解得K1=6，K2=-5[例]

已知某线性时不变系统的动态方程式为:

y"(t)+4y'(t)+4y(t)=2f'(t)+3f(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=2，y'(0-)=-1，求系统的零输入响应yx(t)。解:

系统的特征方程为系统的特征根为（两相等实根）y(0-)=yx(0-)=K1=1;y'(0-)=y'x(0-)=-2K1+K2=3解得K1=2,K2=3[例]

已知某线性时不变系统的动态方程式为：

y"(t)+2y'(t)+5y(t)=4f'(t)+3f(t),t>0

系统的初始状态为y(0-)=1，y'(0-)=3，求系统的零输入响应yx(t)。解:

系统的特征方程为系统的特征根为y(0-)=yx(0-)=K1=1y'(0-)=y'x(0-)=-K1+2K2=3解得K1=1，K2=2二、卷积法系统完全响应=零输入响应+零状态响应求解系统的零状态响应yf

(t)方法：

1)直接求解初始状态为零的微分方程。

2)卷积法：利用信号分解和线性时不变系统的特性求解。

当系统的初始状态为零时，由系统的外部激励f(t)产生的响应称为系统的零状态响应，用yf

(t)表示。2.系统的零状态响应1)

将任意信号分解为单位冲激信号的线性组合2)求出单位冲激信号作用在系统上的响应

——冲激响应3)

利用线性时不变系统的特性，即可求出任意信号f(t)激励下系统的零状态响应yf

(t)

。卷积法求解系统零状态响应yf(t)卷积法求解系统零状态响应yf

(t)推导由时不变特性由均匀特性由积分特性[例]

已知某LTI系统的动态方程式为：y'(t)+3y(t)=2f(t)

系统的冲激响应h(t)=2e-3t

u(t),f(t)=3u(t),

试求系统的零状态响应yf

(t)。解：信号与系统SignalsandSystems系统的时域分析

线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应

连续时间系统的冲激响应

卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应离散时间系统的单位脉冲响应卷积和及其性质冲激响应表示的系统特性

连续时间系统的冲激响应

连续系统的冲激响应定义

冲激平衡法求系统的冲激响应连续系统的阶跃响应一、连续系统的冲激响应定义

在系统初始状态为零的条件下，以冲激信号d(t)激励系统所产生的输出响应，称为系统的冲激响应，以符号h(t)表示。N阶连续时间LTI系统的冲激响应h(t)满足二、冲激平衡法求系统的单位冲激响应由于t>0+后,方程右端为零,故

n>m时n

m时,为使方程两边平衡,h(t)应含有冲激及其高阶导数，即

将h(t)代入微分方程，使方程两边平衡，确定系数Ki

，

Aj解：当f(t)=d(t)时，y(t)=h(t)，即动态方程式的特征根s=-3,且n>m,故h(t)的形式为解得A=2例1

已知某线性时不变系统的动态方程式为

试求系统的冲激响应。例2

已知某线性时不变系统的动态方程式为

试求系统的冲激响应。解：当f(t)=d(t)时，y(t)=h(t)，即动态方程式的特征根s=-6,且n=m,故h(t)的形式为解得A=-16,B=31)由系统的特征根来确定u(t)前的指数形式。2)由动态方程右边d(t)的最高阶导数与方程左边h(t)的最高阶导数确定d(j)(t)项。冲激平衡法小结三、连续系统的阶跃响应

求解方法:1)求解微分方程2)

利用冲激响应与阶跃响应的关系例3

求例1所述系统的单位阶跃响应g(t)。

例1已知某线性时不变系统的动态方程式为

例1系统的冲激响应为解：利用冲激响应与阶跃响应的关系，可得h(t)=2e-3t

u(t)

卷积积分的计算和性质

奇异信号的卷积积分

延迟特性微分特性积分特性等效特性

卷积积分的计算卷积积分的性质

交换律分配律结合律平移特性展缩特性一、卷积积分的计算

卷积的定义：1.将f(t)和h(t)中的自变量由t改为

；

卷积的计算步骤：2.把其中一个信号翻转得h(-)，再平移t；3.将f(t)与h(t-t)相乘；对乘积后信号的积分。4.不断改变平移量t，计算f(t)h(t-t)的积分。[例]解：[例]

计算y(t)=p1(t)*p1(t)。a)-

<t

-1b)-1

<

t

0y(t)=0c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0[例]

计算y(t)=p1(t)*p1(t)。c)0

<

t

1d)t>1y(t)=0a)-

<t

-1b)-1

<

t

0y(t)=0[例]

计算y(t)=p1(t)*p1(t)。

练习1：u(t)*u(t)

练习2：计算y(t)=f(t)*h(t)。=r(t)二、卷积的性质1)交换律

f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t)2)分配律

(f1(t)+f2(t))*f3(t)=f1(t)*f3(t)+f2(t)*f3(t)3)结合律

(f1(t)*f2(t))*f3(t)=f1(t)*(f2(t)*f3(t))4)平移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)

则f1(t-

t1)*f2(t-

t2)=y(t-t1

-t2)5)展缩特性二、卷积的性质平移特性

已知f1(t)*f2(t)=y(t)

则f1(t-

t1)*f2(t-t2)=y(t-

t1

-

t2)证明：二、卷积的性质展缩特性已知f1(t)*f2(t)=y(t)

则

证明：解:[例]

利用平移特性及u(t)*u(t)=r(t)

，计算y(t)=f(t)*h(t)。y(t)=f(t)*h(t)=[u(t)-

u(t-1)]*[u(t)-

u(t-2)]=u(t)*u(t)-u(t-1)*u(t)-

u(t)*u(t-2)+

u(t-1)*u(t-2)=r(t)–r(t

-1)-

r(t-2)+r(t-3)三、奇异信号的卷积1)延时特性

f(t)*

(t-T)=f(t-T)

2)微分特性

f(t)*

'(t)=f'(t)

3)积分特性4)等效特性[例]

已知y(t)=f1(t)*

f2(t)，求y'(t)和y(-1)(t)解：利用卷积的微分特性

y'(t)=y(t)*d'(t)=[f1(t)*

f2(t)]*d'(t)y(-1)(t)=y(t)*u(t)=[f1(t)*

f2(t)]*u(t)=

f1'(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2'(t)=

f1(-1)(t)*

f2(t)=f1(t)*

f2(-1)(t)利用卷积的结合律利用卷积的积分特性利用卷积的结合律解:[例]

利用等效特性，计算y(t)=f(t)*h(t)。f'(t)=d(t)-d(t-1)f'(t)*

h(t)=h(t)-

h(t-1)

解:[例]

计算下列卷积积分。(1)(2)(3)(1)解:[例]

计算下列卷积积分。(1)(2)(3)(2)利用卷积的平移性质和题(1)的结论(3)信号与系统SignalsandSystems系统的时域分析

线性时不变系统的描述及特点连续时间LTI系统的响应连续时间系统的冲激响应卷积积分及其性质离散时间LTI系统的响应

离散时间系统的单位脉冲响应

卷积和及其性质

冲激响应表示的系统特性

冲激响应表示的系统特性

级联系统的冲激响应

并联系统的冲激响应

因果系统

稳定系统一、级联系统的冲激响应根据卷积积分的结合律性质，有h(t)一、级联系统的冲激响应

结论:1)级联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应的卷积。2)交换两个级联系统的先后连接次序不影响系统总的冲激响应。

两个离散时间系统的级联也有同样的结论。二、并联系统的冲激响应应用卷积积分的分配律性质，有h(t)二、并联系统的冲激响应

结论:并联系统的冲激响应等于两个子系统冲激响应之和。

两个离散时间系统的并联也有同样的结论。例1求图示系统的冲激响应，其中h1(t)=e-3t

u(t)，h2(t)=δ(t-1)，h3(t)=u(t)。解：

子系统h1(t)与h2(t)级联，h3(t)支路与h1(t)h2(t)级联支路并联。三、因果系统

定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信号有关。LTI系统因果的充分必要条件

因果连续时间LTI系统的冲激响应必须满足

因果离散时间LTI系统的单位脉冲响应必须满足四、稳定系统

定义：若系统对任意的有界输入其输出也有界，则称该系统是稳定系统。(BIBO稳定)LTI系统稳定的充分必要条件

连续时间LTI系统稳定的充分必要条件是

离散时间LTI系统稳定的充分必要条件是例2已知一因果LTI连续系统的冲激响应为h(t)=eatu(t)，判断该系统是否稳定。解：由于

当a<0时，系统稳定

当a

0时，系统不稳定综合例题1.

已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)

(2)

冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)

(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。

解：(1)系统的特征方程为s2+7s+12=0

特征根为s1=-3,s2=-4（两不等实根）

零输入响应为代入初始状态y(0-),y'(0-)===1

===2解得A=6

B=-5系统的零输入响应为 综合例题1.

已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)

(2)

冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)

(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。

解：(2)利用冲激平衡法可求出C=1D=-1系统的零状态响应

综合例题1.

已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)

(2)

冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)

(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。

解：(3)系统的固有响应为强迫响应为系统的稳态响应为暂态响应为综合例题1.

已知某连续因果LTI系统的微分方程为求:(1)零输入响应yx(t)

(2)

冲激响应h(t)、零状态响应yf(t)

(3)完全响应、暂态响应、稳态响应、固有响应、强迫响应(4)判断该系统是否稳定。

解：(4)该系统为稳定系统信号与系统SignalsandSystems信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质

连续周期信号的频域分析周期信号的傅里叶级数展开傅里叶级数的基本性质周期信号的频谱及其特点周期信号的功率谱

连续周期信号的频域分析将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合

从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。

从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应,而且每个正弦分量通过系统后的变化。

意义：一、周期信号的傅里叶级数展开1.周期信号展开为傅里叶级数条件周期信号f

(t)应满足Dirichlet条件，即：(1)在一个周期内绝对可积，即满足 (2)在一个周期内只有有限个有限的不连续点；(3)在一个周期内只有有限个极大值和极小值。注意：条件（1）为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。

Fourier，法国数学家、物理学家。1768年3月21日生于欧塞尔，1830年5月16日卒于巴黎。9岁父母双亡，被当地教堂收养。1798年随拿破仑远征埃及时任军中文书和埃及研究院秘书，1801年回国后任伊泽尔省地方长官。1817年当选为科学院院士，1822年任该院终身秘书，后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席。主要贡献是在研究热的传播时创立了一套数学理论。提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数。傅立叶级数（即三角级数）、傅立叶分析等理论均由此创始。一、周期信号的傅里叶级数展开2.指数形式傅里叶级数连续时间周期信号可以用指数形式傅里叶级数表示为其中两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量物理含义：周期信号f

(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数若f(t)为实函数，则有利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为令由于C0是实的，所以b0=0，故一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数一、周期信号的傅里叶级数展开3.三角形式傅里叶级数

纯余弦形式傅里叶级数其中

a0/2称为信号的直流分量，

Ancos(n

0

t

+

n)称为信号的n次谐波分量。例1试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解:

该周期信号f

(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，必然存在傅里叶级数展开式。因此，f

(t)的指数形式傅里叶级数展开式为例1试计算图示周期矩形脉冲信号f(t)的傅里叶级数展开式。解:可得，f(t)的三角形式傅里叶级数展开式为若

=T/2，则有由例2

试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:

该周期信号f

(t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在例2

试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:周期三角脉冲信号的指数形式傅里叶级数展开式为例2试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。解:周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为由例3

求Cn

。解:根据指数形式傅里叶级数的定义可得二、傅里叶级数的基本性质

线性特性

时移特性

二、傅里叶级数的基本性质

卷积性质

微分特性若f1(t)和

f2(t)均是周期为T0的周期信号，且二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(1)若f(t)为实信号二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(2)纵轴对称信号f

(t)=f

(-t)

纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(3)原点对称信号f

(t)=-f

(-t)

原点对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含有正弦项。二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(4)半波重迭信号f

(t)=f

(t±T/2)

半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。二、傅里叶级数的基本性质

对称特性

(5)半波镜像信号f

(t)=-f

(t±T/2)

半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性去掉直流分量后，

信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。

因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。例4求图示周期信号f(t)的傅里叶级数f(t)=f1(t)

-f2(t)信号与系统SignalsandSystems信号的频域分析

连续周期信号的频域分析连续非周期信号的频谱常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质

连续周期信号的频域分析周期信号的傅里叶级数展开傅里叶级数的基本性质周期信号的频谱及其特点周期信号的功率谱三、周期信号的频谱及其特点1.频谱的概念

周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和

Cn是频率的函数，它反映了组成信号各次谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。

不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数来研究信号的特性。三、周期信号的频谱及其特点2.频谱的表示

直接画出信号各次谐波对应的Cn线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。幅度频谱相位频谱例1

周期矩形脉冲信号的频谱图例2

已知连续周期信号的频谱如图，试写出信号的Fourier级数表示式。解：由图可知三、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(1)

离散频谱特性周期信号的频谱是由间隔为w0的谱线组成的。

信号周期T越大，w0就越小，则谱线越密。反之，T越小，w0越大，谱线则越疏。三、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(2)

幅度衰减特性当周期信号的幅度频谱随着谐波nw0增大时，幅度频谱|Cn|不断衰减，并最终趋于零。若信号时域波形变化越平缓，高次谐波成分就越少，幅度频谱衰减越快；若信号时域波形变化跳变越多，高次谐波成分就越多，幅度频谱衰减越慢。

f(t)不连续时，Cn按1/n的速度衰减

f'(t)不连续时，Cn按1/n2的速度衰减三、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(3)

信号的有效带宽0~2

/

这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即信号的有效带宽与信号时域的持续时间

成反比。即

越大，其wB越小；反之，

越小，其wB

越大。三、周期信号的频谱及其特点3.频谱的特性(3)

信号的有效带宽

物理意义：在信号的有效带宽内，集中了信号绝大部分谐波分量。若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽必须“匹配”。信号的有效带宽有多种定义方式。三、周期信号的频谱及其特点4.相位谱的作用幅频不变，零相位幅频为常数，相位不变四、周期信号的功率谱

物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。

周期信号的功率频谱：|Cn|2

随nw0

分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理例3

试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p

/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，

=1/20。解：周期矩形脉冲的傅里叶系数为将A=1，T=1/4，

=1/20，w0=2p/T=8p

代入上式例3

试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p

/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，

=1/20。解：包含在有效带宽(0~2p

/t)内的各谐波平均功率为信号的平均功率为例3

试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(0~2p

/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，

=1/20。周期信号的功率谱例4求f

(t)的功率。解：1)2)吉伯斯（Gibbs）现象

用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少，且为跳变值的9%

。吉伯斯现象产生原因

时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。N=5N=15N=50N=500吉伯斯（Gibbs）现象分析问题使用的数学工具为傅里叶级数最重要概念：频谱函数要点

1.频谱的定义、物理意义

2.频谱的特点

3.频谱的性质，应用性质分析复杂信号的频谱

4.功率谱的概念及在工程中的应用周期信号的频谱分析小结信号与系统SignalsandSystems信号的频域分析

连续周期信号的频域分析

连续非周期信号的频谱

常见连续时间信号的频谱连续时间Fourier变换的性质

连续非周期信号的频谱

从傅里叶级数到傅里叶变换频谱函数与频谱密度函数的区别傅里叶反变换非周期矩形脉冲信号的频谱分析一、从傅里叶级数到傅里叶变换

讨论周期T增加对离散谱的影响：周期为T宽度为t的周期矩形脉冲的Fourier系数为一、从傅里叶级数到傅里叶变换物理意义:F(jw)是单位频率所具有的信号频谱，称之为非周期信号的频谱密度函数，简称频谱函数。二、频谱函数与频谱密度函数的区别（1）周期信号的频谱为离散频谱，

非周期信号的频谱为连续频谱。（2）周期信号的频谱为Cn的分布，表示每个谐波分量的复振幅；非周期信号的频谱为TCn的分布，表示每单位带宽内所有谐波分量合成的复振幅，即频谱密度函数。

两者关系：三、傅里叶反变换物理意义：非周期信号可以分解为无数个频率为