2024届新教材一轮复习人教A版 　等比数列及其前n项和 课件（46张）

第三节等比数列及其前n项和1．等比数列的有关概念(1)定义：①文字语言：从______起，每一项与它的前一项的__都等于___一个常数．②符号语言：__________(n∈N*，q为非零常数).(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么__叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇔G2＝____(a，G，b不为零).第2项比同G

ab

2．等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝_________(2)前n项和公式：a1qn－1

3．等比数列的性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(m，n∈N*).(2)对任意的正整数m，n，p，q，若m＋n＝p＋q，则___________＝_________．特别地，若m＋n＝2p，则_______________．(3)若等比数列前n项和为Sn，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m仍成等比数列，即(S2m－Sm)2＝__________________(m∈N*，公比q≠－1).am·an

ap·aq

Sm(S3m－S2m)(4)数列{an}是等比数列，则数列{pan}(p≠0，p是常数)也是____数列．(5)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为___．等比qk

1．(基础知识：等比中项)等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于(

)A．4

B．8

C．16

D．32C2．(基本能力：等比数列的前n项和)设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(

)A．63 B．64C．127 D．128CA4．(基本能力：求等比数列的项)在3与192中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________________.答案：12，485．(基本应用：等比数列的通项)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则an＝________________．答案：－2n－1B(2)(2020·高考全国卷Ⅲ)设等比数列{an}满足a1＋a2＝4，a3－a1＝8.①求{an}的通项公式；②记Sn为数列{log3an}的前n项和．若Sm＋Sm＋1＝Sm＋3，求m.方法总结解决等比数列有关基本能力问题的常用思想方法(1)方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．

[对点训练]等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.[典例剖析]类型1定义法证明等比数列[例1]

(2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn－an－4.(1)证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列；(2)求{an}和{bn}的通项公式．类型2等比中项法判定等比数列[例2]

(1)对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(

)A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列DD方法总结等比数列的判断与证明的常用方法续表续表2．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式．[典例剖析]类型1等比数列项的性质[例1]

(2021·黑龙江哈尔滨模拟)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(

)A．12 B．10C．8 D．2＋log3a5B解析：因为a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.类型2等比数列前n项和的性质[例2]已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________________．答案：2类型3等比数列综合问题[例3]

(2020·高考山东卷)已知公比大于1的等比数列{an}满足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)记bm为{an}在区间(0，m](m∈N*)中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.解析：(1)设{an}的公比为q.由题设得a1q＋a1q3＝20，a1q2＝8.解得q＝(舍去)或q＝2.由题设得a1＝2，所以{an}的通项公式为an＝2n.(2)由题设及(1)知b1＝0，且当2n≤m＜2n＋1时，bm＝n，所以S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋b6＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＋6×(100－63)＝480.方法总结1．在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.2．在一个无穷等比数列中，其中任何一项都是和这项项数距离相等的两项的等比中项，即a2m＝am－k·am＋k(m，k为正整数，且m＞k).3．等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，这个性质成立的前提条件是公比不为－1.

D2．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2，S3n＝14，则S4n＝________________．解析：第一步利用等比数列前n项和的性质．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，S4n－S3n成等比数列．第二步应用等比中项列出方程求解．(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)，即(S2n－2)2＝2·(14－S2n)，解得S2n＝6或S2n＝－4(舍去)，同理可得S4n＝30.答案：301．(2020·高考全国卷Ⅰ)设{an}是等比数列，且a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋