2024届一轮复习人教A版 第八章立体几何与空间向量第四节直线平面垂直的判定与性质 课件（47张）

第四节直线、平面垂直的判定与性质第八章内容索引0102强基础增分策略增素能精准突破课标解读衍生考点核心素养1.从定义和基本事实出发,借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系,并加以证明.2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.1.空间中垂直关系的判定2.线面垂直的判定与性质3.面面垂直的判定与性质4.平行、垂直关系的综合问题直观想象逻辑推理强基础增分策略知识梳理1.直线与平面垂直(1)定义:一般地,如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.直线l叫做平面α的

,平面α叫做直线l的

.直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做垂足.

与“所有直线”是同义的,但与“无数条”不同

垂线

垂面

(2)判定定理与性质定理

平行

a⊥α微思考空间中任意一直线m,在平面α内是否存在无数条直线与m垂直?提示

存在,如图.2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交,如果它们所成的二面角是

,就说这两个平面互相垂直.

直二面角

(2)判定定理与性质定理

垂线

b⊥α微点拨面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.微思考若平面α⊥β,且α∩β=l,若直线m⊥l,则m与平面β一定垂直吗?提示

不一定.当m⊂α时,m⊥β.常用结论直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面.(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个,则这条直线与另一个平面也垂直.(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.对点演练1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)已知直线a,b,c,若a⊥b,b⊥c,则a∥c.(

)(2)设m,n是两条不同的直线,α是一个平面,若m∥n,m⊥α,则n⊥α.(

)(3)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面.(

)(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线,则α⊥β.(

)√×××2.(2022山东烟台三模)若a和α分别为空间中的直线和平面,则“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案

A解析

若a⊥α,则a垂直α内所有直线,因此,命题“若a⊥α,则a垂直α内无数条直线”正确.a垂直α内无数条直线,若这无数条直线中无任何两条直线相交,此时直线a可以在平面α内,即不能推出a⊥α,所以“a⊥α”是“a垂直α内无数条直线”的充分不必要条件.3.已知直线a和平面α,β,若α⊥β,a⊥β,则a与α的位置关系为

.

答案

a∥α或a⊂α

解析

当a⊂α且a垂直于α,β的交线时,满足已知条件;当a∥α时也满足已知条件增素能精准突破考点一空间中垂直关系的判定典例突破例1.(1)(多选)已知a,b表示两条不同的直线,α,β表示两个不同的平面,下列说法正确的是(

)A.若a⊥α,b⊥β,α∥β,则a∥bB.若a⊥α,b⊥β,a⊥b,则α⊥βC.若a⊥α,a⊥b,α∥β,则b∥βD.若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β(2)(多选)(2022湖南怀化模拟)如图所示,已知四边形ABCD是由一个等腰直角三角形ABC和一个有一内角为30°的直角三角形ACD拼接而成,将△ACD绕AC边旋转的过程中,下列结论可能成立的是(

)A.CD⊥AB B.BC⊥ADC.BD⊥AB D.BC⊥CD答案

(1)ABD

(2)ACD

解析

(1)对于A,若a⊥α,α∥β,则a⊥β.又b⊥β,所以a∥b,故A正确;对于B,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α,所以存在直线m⊂α,使得m∥b.又b⊥β,所以m⊥β,所以α⊥β.故B正确;对于C,若a⊥α,a⊥b,则b⊂α或b∥α.又α∥β,所以b⊂β或b∥β,故C错误;对于D,若α∩β=a,a∥b,则b∥α或b∥β,故D正确.故选ABD.(2)当将△ACD绕AC边旋转到CD⊥BC时,因为CD⊥AC,AC∩BC=C,此时CD⊥平面ABC,而AB,BC⊂平面ABC,则CD⊥AB,CD⊥BC,A,D正确;此时AB⊥平面BCD,DB⊂平面BCD,所以AB⊥DB,C正确;若BC⊥AD,而AB⊥BC,AB∩AD=A,故必有BC⊥平面ABD,由图形可知,D点在B点正上方,而CD<BC,所以显然BC⊥AD不可能.故选ACD.方法总结

对点训练1下列说法中错误的是(

)A.如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面βB.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γD.如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β答案

D

解析

如图1所示,在正方体中,平面APCF⊥平面PBDC,AF∥平面PBDC,故A正确;如果平面α内存在直线垂直于平面β,则平面α垂直于平面β,故B正确;如图2所示,在平面γ内取一点Q,作QM⊥CP,QN⊥CD,因为平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,所以QM⊥平面α,QN⊥平面β.又因为α∩β=l,所以QM⊥l,QN⊥l.又QM∩QN=Q,则l⊥平面γ,故C正确;图1图2考点二线面垂直的判定与性质典例突破例2.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.求证:(1)CD⊥AE;(2)PD⊥平面ABE.证明

(1)在四棱锥P-ABCD中,∵PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,∴PA⊥CD.∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC,∴CD⊥AE.(2)由PA=AB=BC,∠ABC=60°,可得AC=PA.∵E是PC的中点,∴AE⊥PC.由(1)知,AE⊥CD,且PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD,∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD,∴PA⊥AB.又AB⊥AD,且PA∩AD=A,∴AB⊥平面PAD,而PD⊂平面PAD,∴AB⊥PD.又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.方法总结证明直线与平面垂直与利用线面垂直的性质证明线线垂直的通法是线面垂直的判定定理的应用,其思维流程为:对点训练2(2022黑龙江哈尔滨九中三模)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=4,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=3,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥B1D;(2)求三棱锥A1-DEB1的体积.

(1)证明∵A1C1=B1C1,MA1=MB1,∴C1M⊥A1B1.∵CC1⊥平面A1B1C1,C1M⊂平面A1B1C1,∴CC1⊥C1M.∵BB1∥CC1,∴BB1⊥C1M.∵BB1∩A1B1=B1,BB1,A1B1⊂平面ABB1A1,∴C1M⊥平面AA1B1B,又B1D⊂平面ABB1A1,∴C1M⊥B1D.(2)解∵CC1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴CC1⊥BC.又BC⊥AC,AC∩CC1=C,∴BC⊥平面ACC1A1.考点三面面垂直的判定与性质典例突破例3.如图,在三棱锥A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O为BD的中点.(1)证明:OA⊥CD;(2)若△OCD是边长为1的等边三角形,点E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小为45°,求三棱锥A-BCD的体积.(1)证明在△ABD中,∵AB=AD,O为BD的中点,∴AO⊥BD.∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO⊂平面ABD,∴AO⊥平面BCD.∵CD⊂平面BCD,∴AO⊥CD.(2)如图,过点E作EN∥AO交BD于N,过点N作NM∥CD交BC于M.∵AO⊥平面BCD,EN∥AO,∴EN⊥平面BCD.∴EN⊥BC.在△BCD中,∵OB=OD=OC=1,∴∠BCD=90°,即DC⊥BC.∵NM∥CD,∴NM⊥BC.又EN∩NM=N,∴BC⊥平面EMN,∴BC⊥ME.∴二面角E-BC-D的平面角是∠EMN=45°,即△EMN是等腰直角三角形.方法总结利用面面垂直的判定定理证明面面垂直的一般方法

对点训练3(2022全国乙,文18)如图,四面体ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E为AC的中点.(1)证明:平面BED⊥平面ACD;(2)设AB=BD=2,∠ACB=60°,点F在BD上,当△AFC的面积最小时,求三棱锥F-ABC的体积.(1)证明∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E为AC的中点,∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E为AC的中点,∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.∵AC⊂平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.

考点四平行、垂直关系的综合问题典例突破例4.(2022北京潞河中学三模)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,AC=AB=AA1=2,∠AA1B1=60°,E,F分别为棱A1B1,BC的中点.(1)求证:AC⊥AE;(2)求三棱柱ABC-A1B1C1的体积;(3)在直线AA1上是否存在一点P,使得CP∥平面AEF?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.(1)证明三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1⊥底面ABC,AC⊥AB,又因为侧面ABB1A1∩底面ABC=AB,AC⊂底面ABC,所以AC⊥平面ABB1A1.又因为AE⊂平面ABB1A1,所以AC⊥AE.(2)解连接AB1,因为A1B1=AB,AB=AA1=2,所以A1B1=AA1=2.又因为∠AA1B1=60°,所以△AA1B1是边长为2的正三角形.因为E是棱A1B1的中点,所以AE⊥A1B1.又因为AE⊥AC,A1C1∥AC,所以AE⊥A1C1.因为A1C1∩A1B1=A1,A1C1,A1B1⊂底面A1B1C1,所以AE⊥底面A1B1C1.所以三棱柱ABC-A1B1C1的体积为(3)解在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.证明如下:连接BE并延长,与AA1的延长线相交,设交点为P,连接CP.因为BB1∥AA1,所以△A1PE∽△B1BE,由于E为棱A1B1的中点,所以EA1=EB1,故有PE=EB.又F为棱BC的中点,故EF为△BCP的中位线,所以EF∥CP.又EF⊂平面AEF,CP⊄平面AEF,所以CP∥平面AEF,故在直线AA1上存在点P,使得CP∥平面AEF.此时A1P=BB1