轴对称约束-量场-约束-量场-动力响应的渐近解

轴对称约束-量场-约束-量场-动力响应的渐近解

电流和磁场间的相互作用18世纪初，ferada及其对手动关系发现，磁体的运动轨迹与电动势有关。当固体或液体运动时，将形成导电器，并将电流流动到输出。或由外部材料形成电路，其中导线也有电路。因此，磁体和磁体之间存在互相影响的声音，即磁体引导运动导线产生的电流并产生空虚感应电流。相反，诱导电流也产生自动端，影响原始外部碱性磁体。当运动的导体是耦合流场时,问题就更为复杂些.特别,如果研究流场在约束场中运动规律的学科称之为耦合动力学.因此,从本质上说耦合动力学就是研究耦合速度场和约束场之间相互作用的一门科学.衰减平衡向量场动力学考察耦合在约束场作用下的运动规律,也即考察约束场如何影响着耦合运动,反之耦合的运动又是如何地影响着约束场.因此,必须考察耦合运动的速度场和介质内部的约束场.而实验室内微观与自然界中宏观现象又向我们提出运用复合尺度方法进行分析求解的要求.本文将一个复杂的三维约束耦合动力学方程转化成复空间里一维的边界层问题,并进行了渐近摄动分析,得出多场耦合中扰动问题的特征值边界层解法.1密度摄动量标准我们首先考虑的是简单的模型板组成的一个无限平面流动薄层指定的剪切平衡向量场B0¯=ex¯B0x(y)+ez¯B0z(y),V0¯=ex¯V0x(y)+ez¯V0z(y),受到的重力加速度ey¯g指向y轴正方向.假设平衡速度场V0¯平行于约束场B0¯,平衡密度ρ假定只在y轴上改变.我们认为阻抗性的约束场方程对于不可压缩的平衡速度场,有统一的阻抗率和只包括垂直分量的碰撞的一部分粘性张量.由约束场和受重力影响的对流扰动耦合而成的衰减平衡向量场动力学方程由以下4个方程组成:∇×ρ(∂V¯∂t+V¯⋅∇V¯)=∇×1c(j-×B¯)+ρg¯+μ⊥∇2V¯],(1)∂B¯∂t=∇×(V¯×B¯)+η4π∇2B¯,(2)∂ρ∂t+∇⋅(ρV¯)=0,(3)∇⋅B¯=∇⋅V¯=0,(4)其中式(1)为动量守恒方程,式(2)为扩散方程,式(3)为连续方程,式(4)则反映约束场为无源场和约束场的不可压缩性(实际上模型允许轻微的压缩变形).ρ和V为密度和速度,η为阻抗系数,μ⊥为粘度的垂直系数.流动的速度场、平衡约束向量场和密度考虑平衡量和摄动量,V¯=V0¯+V1¯,B¯=B0¯+B1¯,ρ=ρ0+ρ1,其中V1¯,B1¯,ρ1为摄动量.由广义Maxwell方程,我们有j-=c4π∇×B¯‚则1c∇×(j-×B¯)=1c∇×(c4π∇×B¯)×B¯=14π∇×(B¯⋅∇)B¯-12∇B2=14π∇×(B¯⋅∇)B¯‚动量方程可以写为∇×ρ(∂V¯∂t+V¯⋅∇V¯)=∇×14π(B¯⋅∇)B¯+ρg¯+μ⊥∇2V¯].(5)线性化.对卷积动量方程(5)应用算子ey¯⋅∇×,然后得到两个耦合方程描述了y分量的一阶速度Vy1和平衡约束场By1.取所有一阶摄动量转化为像单纯Fourier调和函数expi(kxx+kzz)+ωt,其中k=kx,0,kz是水平波动向量而ω是增长速度,则我们从方程(5)得到ey¯⋅∇×∇×ρ0(∂∂tV1¯+V0¯⋅∇V1¯+V1¯⋅∇V0¯)=ey¯⋅{14π∇×∇×[(B0¯⋅∇)B1¯+(B1¯⋅∇)B0¯]+∇×∇×(ρg¯+μ⊥∇2V1¯)}.(6)现在分别对方程(6)做如下调和分析.方程左边各项简化为ey¯⋅∇×∇×ρ0∂∂tV1¯=wk2ρ0Vy1-(ρ0V′y1)′,ey¯⋅∇×∇×ρ0(V0¯⋅∇)V1¯=ik2ρ0(k¯⋅V0¯)Vy1-(ρ0(k¯⋅V0¯))´V´y1-ρ0(k¯⋅V0¯)Vy1˝ey¯⋅∇×∇×ρ0(V1¯⋅∇)V0¯=i(k¯⋅V0¯)˝ρ0Vy1+(k¯⋅V0¯)´(ρ0Vy1)´].这是在y上的微分,而方程右边各项简化为ey¯⋅∇×∇×(B0¯⋅∇)B1¯=ik2(k¯⋅B0¯)By1-(k¯⋅B0¯)´By1´-(k¯⋅B0¯)By1˝],ey¯⋅∇×∇×(B1¯⋅∇)B0¯=i(k¯⋅B0¯)˝By1+(k¯⋅B0¯)´By1´],ey¯⋅∇×∇×ρ1g¯=k2ρ1g,ey¯⋅∇×∇×μ⊥∇2(V1¯)=-μ⊥(∇2)2Vy1¯=μ⊥(∂2∂y2-k2)Vy1¯.对于密度摄动量ρ1我们可以应用式(3)线性化ρ1ω+i(k·V0)+ρ′0Vy1=0得到k2ρ1g=-k2gρ0´Vy1ω+i(k⋅V0).根据磁流动力学专家Furth,Killeen和Rosenbluth(1963)的方法,我们现在实行的标准量纲变量如下:ψ=By1B,W=-ikτRVy1,F=(k¯⋅B0¯)kB,α=ka,Ρ=ωτR,S=τRτΗ,ρ=ρ0〈ρ〉,k2=kx2+kz2,y=aμ,R*=τRk⋅Va¯(y),G=-gρ0´ρ0τΗ2,Ν*=4πμ⊥η.这里τR=4πa2/η,τΗ=a4πρ/B是边界层的阻抗和约束耦合动力学的时间尺度,S是拟Reynolds数,〈ρ〉和B是密度量和约束场强度,a是流层的特征量纲.在阻抗的扩散时间尺度上,F表示约束场的单位尺度,R*表示流场的单位尺度.时间尺度τR和τH根据不同问题的考虑会有相应的变化.例如,在星体的内部τR～109a,在太阳黑子中为τR～50a;而在试验室高热原子核反应的融合等离子体中为τR～10Ms.典型的中性氢云具有104个太阳的质量,密度达到10mH和10-6Gs的磁场,时间尺度为τH～107a,然而在试验室高热原子核反应的融合等离子体中τH～10-6μs.抗扩散与磁耦合动力学的时间尺度的比是非常大的.拟Reynolds数S的值对于试验室高热原子核反应的融合等离子体基本在103～107之间.在天体物理学的应用中特征量纲a是非常大的,S同样地被发现是一个大的数字.高的拟Reynolds数的意义就是对阻抗扩散影响微小的,在边界层外稳态约束场被认为是一个很好的逼近.由这些变量项,我们从式(6)左边有上面是对μ的微分.同样从式(6)右边有ey¯⋅{14π∇×∇×[(B0¯⋅∇)B1¯+(B1¯⋅∇)B0¯]+∇×∇×(ρg¯+μ⊥∇2V1¯)}=i4πk2(k¯⋅B0¯)By1-(k¯⋅B0¯)By1˝+(k¯⋅B0¯)˝By1+k2ρ1g-μ⊥(∂2∂y2-k2)Vy1¯=i(k¯⋅B0¯)4πk2By1-By1˝+(k¯⋅B0¯)˝(k¯⋅B0¯)By1+k2ρ1g-μ⊥a4(∂2∂μ2-α2)W-ikτR=i1ka2τR2{[ψ˝-ψ(α+F″F)]α2S2F+α2S2GWΡ+iR*+Ν*(∂2∂μ2-α2)2W}.由式(6)左右两边相等得所以动量方程最后变为P+iR*(ρ0W′)′-α2ρ0W+i[ρ0(R*)´]´W=ψ˝-ψ(α+F″F)α2S2F+α2S2GWΡ+iR*+Ν*(d2dμ2-α2)2W.(7)同样,对扩散方程(2)线性化并采取y分量得到wBy1=i(k¯⋅B0¯)Vy1-i(k¯⋅V0¯)By1+η4π∇2By1.(8)通过量纲化方程(2),可以化为(P+iR*)ψ+FW=ψ″-α2ψ.(9)2特征函数渐近扰动多场耦合中扰动问题的边界层解可以分为边界层内解和外解问题2个部分.按照前面的分析,当S很大时,对阻抗扩散影响微小,边界层外稳态约束场被认为是一个很好的逼近.对方程(7)两边除以S2,当G充分小时,由1/S2→0可以得到外解问题微分方程ψ″-ψ(α+F″/F)=0.对此方程我们可以利用常规分析方法得到渐近解.明显地,g=α是方程的一个解.将其代入有ψ={e-αμ(F+α),μ＞0eαμ(-F+α),μ＜0}=e-α|μ|(|F|+α),ψ′={-αe-αμ(F+α)+e-αμ(1-F2),μ＞0,αeαμ(-F+α)+e-αμ(-1+F2),μ＜0‚所以有外解与内解在0点左右匹配的跳跃条件,即内解的边界条件ψ′(0+)=-α2+1,ψ′(0-)=α2-1,Δext´=ψ′(0+)-ψ′(0-)ψ(0)=-2α2+22=2(1α-α).为计算边界层的内解,文献已对MHD方程进行了线性变化,通过Fourier调和分析、尺度变化,并引进新的参数,将一个复杂的三维耦合动力学方程转化成复空间里一维的边界层问题的四阶微分方程(Ρ+iRθ)d2Ηdθ2-θ2Η+G(F′)2Η-iRΡ+iRθ-Νd4Ηdθ4=Ρθ-F″ΔF′,(10)Δ′=Δ∫∞-∞(P+θH)dθ,(11)其中特征值P为复数,特征函数H为复函数,R为切变流特征参数,G为重力参数,N为粘度参数.边界层内解的特征函数渐近扰动方法如下.对边界层方程(10)进行H(θ)Fourier变换,定义h(k)=∫∞-∞H(θ)e-ikθdθ,将原物理场方程转变为Fourier空间内微分算子特征函数渐近求解问题.令ε=1/R,可以得到粘性撕裂模式的微分算子Lh=h˝+1ε(k2h)´-(k2Ρ+k4Ν)h和三阶微分算子(也可以称为粘性撕裂G模式算子)Μh=(1εddk-Ρ)Lh-G(F′)2h=2πiΡ1εδ″(k)-2π(iΡ2+RF˝ΔF′)δ′(k)+2πΡF˝ΔF′-iGε(F′)2δ(k).下面讨论主要特征函数渐近扰动问题εh″+(k2h)′-εPk2h=0,ε→0,-k0<k≤0,h″-Pk2h=0⇒h1～k-1/2e±0.5P1/2k2,-k<k0<0,εh″+(k2h)′=0⇒h2～e-k3/3ε,k→-∞.对于-k0<k≤0,我们可以忽略流场项,但对于大的k,则是流场项起主导作用.所以当k→-∞时我们可以忽略P惯性项.因为当流场项近似地平衡P惯性项,解的转化是从指数振荡解到代数解的过渡,即|1εk2h′|≈|Ρk2h|.因为在摄动区域有h′≈kP1/2h,所以有|ε-1k03P1/2h|≈|Pk02h|,可以得出从指数振荡解到代数解的过渡的转点k0≈1ε|Ρ|1/2.因此,当0≤χ≤π,对于Mh=0,-∞<k<0,0<k<+∞,我们可以根据Re(P)和N的值把特征函数归为4种形态:1)当N=0,Re(P)>0时,h(k)~{e-k3/(3ε),k→+∞,k-2eεΡk,k→-∞;2)当N=0,Re(P)<0,ε→0时,h(k)~{e-k3/(3ε),k→+∞,k-2,k→-∞;3)当N=0,Re(P)<0时,h(k)~{e-k3/(3ε),k→+∞,k-1/2e±0.5Ρ1/2k2,-k0＜k≤0,k-2,-∞＜k＜-k0;4)当N≠0时,h(k)~{exp{-[R+1/ε2+4Ν]k3/6},k→+∞,exp{-[R-1/ε2+4Ν]k3/6},k→-∞.在4)中,由于我们引入了粘度N的影响,h(k)的结构产生加速衰减的变化.考虑到流场ε变得很小时增长率P的特性,我们进行的渐近性的研究使我们能够在很小的ε极限分析下估计P.粘性撕裂N-G-模式方程给出如下:(1εddk-Ρ)Lh-G(F′)2h=0,-∞＜k＜0,0＜k＜∞,(12)这里,Lh=d2hdk2+1εddk(k2h)-(k2Ρ+k4Ν)h(13)是粘性撕裂模式算子.在原点k=0相关的边界和跳跃条件为h(±∞)=0,h(0+)=1,h′(0±)=-ie±iχ,(14)h″(0+)-h″(0-)=-2πiG(F′)2,(15)而特征值关系为2πΡ=h(0-)h′(0-)e-iχ-h(0+)h′(0+)eiχ,-π＜χ＜π.(16)在原点两边,h和h′的值都需要得到P的渐近估计.本文中我们先进行渐近分析以确定特征解h,然后预测小的参数ε下的特征值P以支持数值分析.由Lh=0渐近逼近以确定撕裂模的增长率.Bondeson和Persson(1986)发现粘性限制在N=0的情况下,当ε变得很小时撕裂模的增长率,表现为如下形式:Ρ~(12πεeiχ)1/2+cosχΓ(1/3)2πε-1/332/3,ε→0.(17)从这里可以看出当ε变小时Re(P)增大,其物理解释是剪切流沿B0¯破坏撕裂模式,这和Tokamaka中性束注入产生明显的后果一样.有些学者指出了大量流动(ε→0)可能存在因为|χ|<π,所以撕裂模相应的Δ′<0(例如π/2<|χ|<π)可引起不稳定.3n次解hn和n-1次解hnk的关系一个估计特征值P问题的渐近方法,对于粘性撕裂方程,可以表示为一个奇异摄动展开:h=h0+h1+h2+h3+…,ε→0,(18)这里hn(n=1,2,3,…)是n次摄动解,hn→0,ε→0.n次解hn和(n-1)次解hn-1渐近递推关系是{εh0˝+(k2h0)´=0,εhn˝+(k2hn)´=ε(k2Ρ+k4Ν)hn-1,n=1,2,3,⋯.(19)为了得到足够小的参数ε,解hn和hn(m)(m=0,1,2)假定在定性讨论的特征函数h(k)是衰减的.0阶解h0(k)和n阶解hn(k)满足边界条件h0(±∞)=h′0(±∞)=0,h0(±∞)=h′n(±∞)=0,(20)所以我们可以分别对于正负k求解式(19).3.1k0.kh1kh1k从式(12)的齐次方程可以得到一个简单的零阶解一般形式h0(k)=c0e-ξ+c1e-ξ∫0keξdk,ξ=13εk3,(21)这里c0和c1是任意常数.从式(19)取n=1,对零阶方程,分别在当k>0时在[k,+∞)上积分和在k<0时在(-∞,k]上积分得h1´+1εk2h1=Ρ∫∞kk2h0dk+Ν∫∞kk4h0dk,k＞0,h1´+1εk2h1=Ρ∫-∞kk2h0dk+Ν∫-∞kk4h0dk,k＜0.再应用L’Hospital法则得到h0(k)=c0e-ξ,k>0.(22)同样,对于k<0,我们从式(12)有h0(k)=c1e-ξ∫k-∞eξdk=o(k-2),k→-∞.(23)由式(22)和(23),在0点k=±0处解h0(k)的值是h0(0+)=c0,h′0(0+)=0,(24)h0(0-)=c1ε1/332/3Γ(13),h0´(0-)=c1.(25)3.2阶和三阶渐近解0+经使用0阶解h0(k),我们现在可以估计在0点左右两边高阶解hn(k)的情况.由式(19),我们得到h1´(0+)=Ρ∫∞0k2h0dk+Ν∫∞0k4h0dk=Ρc0∫∞0k2e-ξdk+Νc0∫∞0k4e-ξdk=-εΡc0-2Νc0ε5/331/3Γ(23),(26)h1´(0-)=Ρc1∫-∞0k2e-ξ∫-∞k′eξdk′dk+Νc1∫-∞0k4e-ξ∫-∞k′eξdk′dk=Ρc1ε2∫-∞0e-ξ∫-∞ξ′k-2eξ′dξ′dξ+Νc1ε2∫-∞0k2e-ξ∫-∞ξ′k-2eξdξ′dξ=3-2/3Ρc1ε4/3∫-∞0e-ξΓ(13,ξ)dξ+Νc1ε2∫-∞0ξ2/3e-ξΓ(13,ξ)dξ=O(Pε4/3,Nε2).(27)在这里Γ(a,x)=∫∞xua-1e-udu(a>0,x>0)是不完全Gamma函数.为了估计在0点左右两边一阶解h1(k),我们对等式(19)左右两边各乘以eξ,然后对于k>0时在0,k上积分和对于k<0是在(-∞,k]上积分,去寻求收敛解.因此我们有{h1eξ=Ρ∫0k′eξ∫∞kk2h0dkdk′+Ν∫0k′eξ∫∞kk4h0dkdk′,k＞0,h1eξ=Ρ∫-∞k′eξ∫-∞kk2h0dkdk′+Ν∫-∞k′eξ∫-∞kk4h0dkdk′,k＜0‚(28)这里h1满足假设条件h1(±∞)=0.这样,在0点正边上,按照标准化的解h(0+)=c0,h1给出如下:h1(0+)=0.(29)在0点负边上,h1给出如下:h1´(0-)=Ρc1∫-∞0eξ∫-∞kk2e-ξ∫-∞k′eξdk1dkdk′+Νc1∫-∞0eξ∫-∞kk4e-ξ∫-∞k′eξdk1dkdk′=Ρc1ε2∫-∞0eξ∫-∞ke-ξ∫-∞ξ′k-2eξ′dξ′dξdk+Νc1ε2∫-∞0eξ∫-∞kk2e-ξ∫-∞k′k-2eξdξ′dξdk=3-2/3Ρc1ε4/3∫-∞0eξ∫-∞ke-ξΓ(13,ξ)dξdk+Νc1ε2∫-∞0eξ∫-∞kξ2/3e-ξ∫-∞k′ξ-2/3eξdξ′dξdk=3-4/3Ρc1ε5/3∫-∞0ξ-2/3eξ∫-∞k′e-ξΓ(13,ξ)dξdξ+3-2/3Νc1ε7/3∫-∞0ξ-2/3eξ∫-∞k′ξ2/3e-ξΓ(13,ξ)dξ=O(Pε5/3,Nε7/3),ε→0.(30)同样方法,我们可以得到二阶和三阶渐近解h2´(0+)~-Ρ∫∞0k2(Ρc0ε2ke-ξ)dk+Ν∫∞0k4(-Ρ2c0ε2ke-ξ)dk=3-2/3Ρ2c0ε7/3Γ(13)+3ΝΡc0ε3(31)和|h′2(0-)|≪|h′0(0-)|=c1,ε→0,k<0.(32)所以当ε变小时h′2(0-)可能会被忽略.二阶解h2估计如下:h2=e-ξP∫k′0eξ∫k0k2h1dkdk′+N∫k′0eξ∫k0k4h1dkdk′=e-ξ·O(P2ε11/3,NPε13/3),ε→0,K>0,(33)从而导致h′3(0+)=P∫0∞k2h2dk+N∫0∞k4h2dk=O(P3ε14/3,N2Pε18/3).(34)4e2e,3,3,3,3,3,3,333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333最后,对标准化的一阶解取c0=1,我们有在k=±0处的解为h(0+)=h0(0+)=1,h(0-)=h0(0-)+h1(0-)=3-2/3ε1/3c0Γ(13)+Ο(Ρε5/3,Νε7/3)和{h′(0+)=h1´(0+)+h2´(0+)h3´(0+)=-εΡc0-2Νc031/3ε5/3Γ(23)+32/3ε7/3Ρ2c0Γ(13)+3ε3ΝΡc0+Ο(ε14/3Ρ3,ε18/3Ν2Ρ),h′(0-)=h0´(0-)=c1.(35)将h(0+)/h′(0+)和h(0-)/h′(0-)代入到特征值关系式(16)并匹配主项,我们得到2πΡ=h(0-)h′(0-)e-iχ-h(0+)h′(0+)eiχ~ReiχΡ+2⋅3-1/3ε2/3ΝΓ(2/3)-3-2/3ε4/3Ρ2(Ρ2/(32/3ε4/3))Γ(1/3)+3ε3ΝΡ+3-2/3ε1/3Γ(13)eiχ.(36)应用二项式定理得2πΡ~1Ρεeiχ[1-2ε2/3ΝΓ(2/3)31/3Ρ+ε4/3ΡΓ(1/3)32/3+4ε4/3Ν2Γ2(2/3)32/3Ρ2-4ε2ΝΡΓ(2/3)Γ(1/3)3Ρ+3-4/3ε8/3Ρ2Γ2(13)]+3-2/3ε1/3Γ(13)e-iχ+Ο(ε5/3Ρ).(37)重写式(37),我们得到2πΡ2~1εeiχ1+2ε1/3ΡΓ(1/3)cosχ32/3(Reiχ)-1-4ε2/3ΝΓ(2/3)31/3Ρ+⋯}.(38)5利用k0营造网络实验2/3,3/3,3/3,3.3,3.3,3.3,3.32/33333333333333333333333333333333333333.33.33.33.33333333333335/335.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33.33这一节介绍在非粘性极限N=0大流量限制下G-模式增长率P的渐近估计.由式(12)我们有(h′+1εk2h))˝-Ρεh˝-2Ρ(k2h)´=εh(G(F′)2-Ρ2k2).(39)做摄动展开h=h0+h1+h2+h3+…,ε→0,(40)这里零阶解和n阶解满足条件{h0(±∞)=h0´(±∞)=h0˝(±∞)=0,hn(±∞)=hn´(±∞)=hn˝(±∞)=0,(41)和第3节一样我们分别在k的正负微扰下解式(39).有零阶差分项到非齐次项得到式(39)的渐近递推关系是{(εh0´+k2h0)″=0,(εhn´+k2hn)″=Ρε2hn-1˝-2εΡ(k2hn-1)′+(G(F′)2-Ρ2k2)ε2hn-1,n=1,2,3,⋯.(42)这个方法可以对于粘性撕裂模式增长率得到很好的估计,这在前面已经过测试.我们只使用在k=±0只有两边h和h′的值来估计P.n阶展开解hn,h′n和h″n必须满足边界条件当k→∞时这些解衰变.与前相同,G-模渐近解可由摄动方法取得.收集h(0+),h(0-),h′(0+),h′(0-),h″(0+),h″(0-)这些结果在一起,对于ε→0在k=0±处我们最后得到{h(0+)=1,h(0-)=3-2/3ε1/3c0Γ(13)-3-1/3ε2/3c1Γ(23)+o(ε5/3Ρ);h′(0+)=-εΡ+ε7/33-2/3Ρ2Γ(13)+2ε8/33-1/3ΡΓ(23)+o(ε5/3G),h´(0-)=c0+c0ε4/33-2/3ΡΓ(13)+o(ε5/3Ρ);h˝(0+)=ε4/3G32/3(F′)2Γ(13)-ε8/33-1/3Ρ2Γ(23)+o(ε3G),h˝(0-)=c1.(43)在式(43)配平0次项,可以估计增长率P.特征值关系式为2πΡ=h(0-)h′(0-)e-iχ-h(0+)h′(0+)eiχ,-π＜χ＜π.比例h(0-)/h′(0-)和h(0+)/h′(0+)如下:h(0-)h′(0-)={3-2/3ε1/3c0Γ(13)-3-1/3ε2/3c1Γ(23)}/c0+c03-2/3ε4/3ΡΓ(13)～3-2/3ε1/3Γ(13)-3-1/3ε2/3c1Γ(2/3)c0·1-3-2/3ε4/3ΡΓ(13)},(44)h(0+)h′(0+)=1εΡ{1-ε4/33-2/3ΡΓ(1/3)-2ε5/33-1/3Γ(2/3)},(45)在这里当ε足够小时二项展开式的高阶项被忽略了.把式(44)和(45)代入特征值关系式得2πΡ~1εΡeiχ+2⋅3-2/3ε1/3Γ(13)cosχ+2ε2/3Γ(2/3)Ρ31/3-ε5/3ΡΓ(1/3)34/3eiχ-c1ε2/3Γ(2/3)c031/3e-iχ.(46)现在估计式(46)中的c1e-iχ/c0,2πG(F′)2=h″(0+)h′(0+)-eiχh″(0-)h′(0-)e-iχ,(47)这里,由式(43)有h˝(0+)h′(0