项目三 复杂直流电路

项目三复杂直流电路叠加定理3.4基尔霍夫定律3.1支路电流法3.2实际电源的等效变换3.3节点电压法3.5戴维南定理3.6含受控源电路的等效变换3.7▲典型问题

如图3-1为一个较基本也较典型的复杂电路，在已知电源与电阻值时，各支路电流怎么求解？有哪几种方法？图3-1典型复杂电路▲知识能力目标1．掌握求解复杂直流电路的最基本的二个定律：KCL、KVL。且能将此定律运用到支路法、节点电压法中，对电路进行分析求解。2．掌握叠加定理在线性电路中的应用；体会叠加思维的科学性。3．掌握戴维南定理在电路中的应用；理解等效的含义。4．掌握理想电压源与理想电流源的特点，熟练掌握实际电压源与实际电流源的等效变换。5．了解四种类型的受控源特点，了解含受控源电路的等效变换。3.1基尔霍夫定律3.1.1几个相关的电路名词3.1.2

基尔霍夫电流定律（KCL）3.1.1几个相关的电路名词1．支路：电路中通过同一个电流的每一个分支。如图3-2中有三条支路，分别是BAF、BCD和BE。支路BAF、BCD中含有电源，称为含源支路。支路BE中不含电源，称为无源支路。3．回路：电路中的任一闭合路径。如图3-2中有三个回路，分别是ABEFA、BCDEB、ABCDEFA。4．网孔：内部不含支路的回路，也称独立回路。如图3-2中ABEFA和BCDEB都是网孔，而ABCDEFA则不是网孔。图3-2复杂电路2．节点：电路中三条或三条以上支路的汇交点。如图3-2中B、E（F、D）为两个节点。3.1.2基尔霍夫电流定律（KCL）1.内容2.数学表达式

即:

ＩK=0

任一时刻，流入电路中任一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和。基尔霍夫电流定律简称KCL，反映了连接于同一节点上的各支路电流之间的关系对于节点B可以写出或改写为图3-2复杂电路

基尔霍夫电流定律不仅适用于任意节点，而且适用于电路的某一假想的闭合面，这个假想的闭合面称为广义节点。如下图所示的虚线圈即为广义节点。在这个闭合面内有三个节点a、b和c。3.推广可见，在任一瞬间，流入或流出任一闭合面的电流代数和恒等于零，或者说流出广义节点的电流之和等于流入该广义节点的电流之和。

对于节点a有：对于节点b有：对于节点c有：将三式相加则有：

所以，无论工作在什么情况下，晶体三极管3个电极的电流之间的关系，总是：发射极电流＝集电极电流＋基极电流。如图3-3所示的电路中，可以把三极管看作广义的节点，用KCL可列出Ie－Ib－Ic＝0,或：Ie＝Ib＋IcSIbICIebeC广义结点图3-3KCL的推广例3-1如图3-4所示电路，电流的参考方向已标明。若已知I1=2A，I2=-4A，I3=-8A，试求I4。图3-4例3.1图解：根据KCL可得3.1.3基尔霍夫电压定律（KVL）1.内容任一瞬间，作用于电路中任一回路各支路电压的代数和恒等于零。2.数学表达式：即

UK=0用于电路的某一回路时，必须首先假定各支路电压的参考方向并指定回路的循行方向（顺时针或逆时针），当支路电压与回路方向一致时取“＋”号，相反取“－”号。

在图3-2中，对于回路ABCDEFA，若按顺时针绕行方向，根据KVL可得根据欧姆定律，上式还可表示为即：说明：沿回路绕行方向，各电源电动势升的代数和等于各电阻电压降的代数和。图3-2复杂电路图3-6例3-2图例3-2求图3-6所示电路中U及UR。解：10Ω电阻上的电压，据欧姆定律可得：

顺时针绕行方向，对回路列KVL方程

图3-7例3-3图解：选回路绕行方向为顺时针方向，列KVL方程得由KVL的推广形式得或例3-3在图3-7中，已知R1＝4Ω，R2＝6Ω，US1

＝10V，US2

＝20V，试求UAC

。3.2支路电流法3.2支路电流法

支路电流法是以支路电流为未知量，应用KCL和KVL分别对节点和回路列出所需方程，组成方程组，然后求解出各支路电流的方法。一般来说，具有n个节点的电路，只能列出（n-1）个独立的KCL方程；具有m个独立回路，能列出m个独立的KVL方程。

支路电流法求解电路的步骤：1．标出支路电流参考方向和回路绕行方向；2．根据KCL列写节点的电流方程式；3．根据KVL列写回路的电压方程式；4．解联立方程组，求取未知量。图3-9例3-5图例3-5如图3-9所示，为两台发电机并联运行共同向负载RL供电。已知RL＝24ΩE1＝130V，R1＝1Ω

E2＝117V，R2＝0.6Ω，求各支路的电流及发电机两端的电压。解：选各支路电流参考方向如图所示，回路绕行方向均为顺时针方向。1.根据基尔霍夫电流定律

ＩK=0结点A的电流方程式：－I1－I2＋I＝0

-----（1）结点B的电流方程式：I1＋I2－I＝0因将结点A的方程乘以－1，即等于结点B的方程，所以以上两个方程中只有一个是独立的。

结论：结点电流的独立方程数比结点少一个，即n个结点，则可列（

n－1）个独立方程。

2.根据基尔霍夫电压定律∑RKIK＝∑USK

ABCDA回路的电压方程：R1I1－R2I2＝E1－E2

``````（2）AEFBA回路的电压方程：R2I2＋RI＝E2

``````````（3）3.因回路电压方程数加结点电流方程数等于支路数3，也就是有3个待求电流I1、I2、I，所以方程(1)(2)(3)可以联立，代入数值，I1＝10A，I2＝-5A，I＝5A。

从该例的计算数据可知，为负值，表示电流的实际方向与参考方向相反。由此可得，第一台发电机产生功率，第二台发电机消耗（或吸收）功率。

电机两端电压U为

例3-6如图3-10所示电路，列出用支路电流法列写出求解各支路电流的方程组。

图3-10例3-6图

解：支路数为6条，方程数为6个，结点数为3个，独立的结点电流方程数为2个，网孔数为4个独立的KVL方程数为4个。

3.3实际电源的等效变换3.3.1实际电压源模型3.3.2

实际电流源模型3.3.3

实际电源的等效变换3.3实际电源的等效变换实际电源的两种电路模型：电压源模型电流源模型RLR0+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–R0UR0ISIRL3.3.1电压源模型

一个实际电源可用一个理想电压源和一个内电阻相串联的理想电路元件组合来代替，称电压源模型。RLRs+–USIU+–电压源模型伏安特性

U=US－RsIUS

IUO当电压源模型开路时，输出电流I＝0，输出电压U＝理想电压源电压US。当电压源模型接负载时，输出电压小于理想电压源的电压U。当外电路的电阻R减小时，电流I增加，输出电压U随之下降ΔU。当电压源模型短路时，输出电压U＝0，电压US全部作用于内阻上，短路电流仅受内阻限制，即Is＝E/Rs

。

可见：①内阻越小，输出电流变化时输出电压的变化就越小，电压越稳定；②理想情况下，Rs＝0，U为定值，伏安特性是一条直线，为理想电压源。US

IUO

ΔU=RIUI理想电压源3.3.2电流源模型

一个实际电源可用一个理想电流源IS和内电阻Rs相并联的理想电路模型组合来表示，称电流源模型。伏安特性

当电流源短路时，输出电压U＝0，IS全部成为输出电流，即I＝IS。

U+–电流源模型RsURsISIIS

UIO

当电流源开路时，输出电流I＝0，IS从内阻是通过，内阻电压最大，即开路电压最大，UOC＝ISRs。当电流源接负载时，IS不能全部输出，有一部分在内阻上通过。当外电路的电阻增加时，内阻电流增大，内阻压降也增大，即电流源的电压U增加，输出电流ΔI减小。可见：①内阻越大，输出电压变化时输出电流的变化就越小，电流越稳定；

②理想情况下，内阻Rs无穷大，I为定值，伏安特性是一条直线，为理想电流源。理想电流源IS

UIO

ΔI=U/RsIU3.3.3实际电源的等效变换条件：输出电压和输出电流不变。

U=US

－IRsU=ISR's–IR's等效变换条件:US=ISRsRLRs+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–R'sISIRL注意：

1.电压源模型是理想电压源与内阻串联，电流源模型是理想电流源与内阻并联。2.变换时两种电路模型的极性必须一致。3.理想电压源和理想电流源之间不能变换。RLRs+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–RsISIRL

例3-7

已知电压源的电压电流参考方向如图3-14所示，求各电压源的功率，说明是产生功率还是消耗功率。图3-14例3-7图解：图3-14（a），电流从电源负极性端流入，从正极性端流出，电压、电流为非关联参考方向，应用可得

可见故电压源产生功率。图3-14（b），电压电流为关联参考方向，故有可见故电压源消耗功率。例3-8

将图3-15（a）所示电压源化为等效电流源；将图3-15（c）所示电流源化为等效的电压源。图3-15例3-8图

故可把图3-15（a）所示的电压源等效成图3-15（b）所示的电流源。同理，可把图3-15（c）所示的电流源等效成图3-15（d）所示的电压源。解:根据（3-7)式有例3-9图例3-9如图所示，在二端网络中，已知

US=6V，

IS=2A，

R1=2Ω，R2=3Ω，求二端网络的VCR方程,并画出二端的等效电路。解：在图(a)左边的电流源IS，转化成电压源U1,得:内电阻不变R1=2Ω故VCR方程为电压源U1与电压源Us合并后,总电压和总电阻分别是:电路图如右3.4叠加定理3.4.1叠加定理3.4.2叠加定理的应用3.4.1叠加定理一、概念

叠加原理内容：在线性电路中，有几个电源共同作用时，在任一支路所产生的电流（或电压）等于各电源单独作用时在该支路所产生的电流（或电压）的代数和。电路元件：线性元件非线性元件线性电路：由线性元件组成的电路。

叠加原理是反映线性电路基本性质的一条重要原理使用叠加定理时应注意以下几点：1.叠加定理只适用于线性电路。2.所谓某个电源单独作用，是指电路中只有这个电源作用，其它电源不作用。不作用的理想电压源用短路线代替，不作用的理想电流源用开路代替。3.将各个电源单独作用所产生的电流(或电压)叠加时，必须注意各电流（或电压）的方向。当分量的参考方向和总量的参考方向一致时，该分量取“+”，反之则取“-”。4.在线性电路中，叠加定理只能用来计算电路中的电压和电流，不能用来计算功率。这是因为功率与电压、电流之间不是线性关系。二、推导电压源转化为电流源的方法得：结论：等于理想电压源和理想电流源单独作用时的电流代数和（理想电压源看成短路，理想电流源看成开路）。3.4.2叠加定理的应用叠加定理可以把一个含有多电源的复杂电路分解为只含单个电源的简单电路进行计算，简化了计算过程。特别是电路中有不同频率电流同时作用时，把电路的分析简化为不同频率电源单独作用时的电路分析，使问题简化。

例如在电子线路中，由直流电源向晶体管提供静态工作点，在静态工作点的基础上放大交流信号，就是交、直流同时存在的电路。用直流通路和交流通路分别分析直流、交流分别作用时的情况，依据的就是叠加定理。为了满足叠加定理对电路的线性要求，规定交流信号必须是小信号，而且晶体管用微变等效电路来代替。图3-17例3-10图例3-10电路如图3-17（a）所示，已知应用叠加定理计算各支路电流。解：图示电路中含有两个电源，故可以采用叠加定理进行计算。当电压源单独作用时。电流源不作用，以开路替代，如图3-17(b)所示。则（2）当电流源单独作用时。电压源不作用，以短路线替代，如图3-17(c)所示，则

（3）应用叠加定理，得各支路电流

图(a)可视为图(b)和图（c）的叠加。(b)E1单独作用(c)E2单独作用E1R1R2+--+E2RI1I2I（a）原电路E1例3-11

用叠加定理重求例题3-5（求解各支路电流）。解：由(b)可得E1R1R2+-R（b）E1单独作用I1'I2'由(c)可得（c）E2单独作用由各电流的参考方向，考虑正负号的关系可得：其结果与支路电流法的求解结果完全相同。

3.5节点电压法

当电路中的独立节点数少而支路数较多时，采用节点电压法来求解电路的各支路电流及其他物理量比较简单。1．定义：以电路中各节点对参考点的电压(称为节点电压)为未知量，列KCL方程求解电路的方法。2．解题步骤：以如图3-19所示电路为例，用节点电压法求解电路的步骤为：3.5节点电压法图3-19多支路少节点复杂电路（1）

选定一个节点为参考点（零电位点），如图3-19中B点，并标上符号“⊥”。节点A与参考点之间电压UA作为未知量。（2）设各支路电流方向如图3-14所示，据KCL列出节点电流方程：（3）利用欧姆定律和KVL列写支路电流表达式，代入电流方程，求出节点电压UA。

，(4)由上面求出的节点电压UA，据电流表达式，求出各支路电流。将各支路电流表达式代入节点电流方程：整理后得节点电压方程：上面公式适用于所有只有一个独立节点的电路，其节点电压方程一般式为：

上式也称为弥尔曼定理。分母为各支路电导之和；分子为各支路电源电压与本支路电导积之代数和。注意：“代数和”是指当电源电压与节点电压同方向时，取“+”；反之，取“-”。例3-12设上图3-19中，设,,,采用点电压法求各支路电流。解:应用上面讨论得出的公式，可得节点电压：各支路电流：例3-13采用节电压法,重求例题3-5。图3-9例3-5结论：求得的各支路电流大小、电压与前面采用支路法、叠加定理求得的结果一致。解:节点电压各支路电流：3.6戴维南定理3.6.1戴维南定理3.6.2戴维南定理的应用

一、二端网络的概念

二端网络：具有两个出线端的部分电路。

无源二端网络：二端网络中没有电源。

有源二端网络：二端网络中含有电源。无源二端网络有源二端网络BAUS+–R1R2ISR3R4BAUS+–R1R2ISR33.6.1戴维南定理

AB无源二端网络+_USR0ABAB有源二端网络ABISR0无源二端网络可化简为一个电阻有源二端网络可化简为一个电源R0AB等效电源有源二端网络RLAB+U–IUOCRiB+_RLA+U–I二、戴维南定理

戴维南定理：任何一个线性有源二端网络，对外电路来说，总可以用一个电压源与电阻的串联模型来替代。电压源的电压等于该有源二端网络的开路电压，与电压相串联的电阻则等于该有源二端网络中所有电压源短路、电流源开路时的等效电阻。应用一：将复杂的有源二端网络化为最简形式例3-14

用戴维南定理化简图3-21(a)所示电路。解(1)求开路端电压在图3-21(a)所示电路中应用KVL

3.6.2戴维南定理的应用图3-21例3-10图或(2)求等效电阻将电路中的电压源短路，得无源二端网络，如图3-21(b)所示。可得(3)作等效电压源模型作图时，应注意使等效电源电压的极性与原二端网络开路端电压的极性一致，电路如图(c)所示。【补充】用戴维南定理重解例3-5（求电流I）

IIIRi+-UOCR

BA(b)戴维南等效电路

Ri-+Uoc

AR1R2+--+US1US2

B(c)求开路电压R1R2

B(d)求等效电阻R1R2+--+US1US2R

BA(a)

原电路IA

解：1.先将（a）图中点划线框内的有源二端线性网络，等效为一个电压源模型，如图（b）。其中理想电压源电压为UOC，内阻为Ri。

2.这个电压源模型的理想电压源电压等于A、B两端的开路电压UOC，如图（c）。所以UOC＝R2I1＋US2＝(0.6×8.13＋117)V＝122V3.内阻Ri为AB两端无源网络的入端电阻，如图（d）所以应用二：计算电路中某一支路的电压或电流当计算复杂电路中某一支路的电压或电流时，采用戴维南定理比较方便。例3-15

用戴维南定理计算图3-22(a)所示电路中电阻上的电流。解：（1）把电路分为待求支路和有源二端网络两个部分。断开待求支路，得有源二端网络，如图3-22(b)所示。图3-22例3-11图（2）求有源二端网络的开路端电压。因此时，由图b)可得

将有源二端网络中的电压源短路、电流源开路，可得无源二端网络，如图3-22(c)所示，则（3）求等效电阻(4)画出等效电压源模型，接上待求支路，电路如图3-22(d)所示。所求电流为应用三：分析负载获得最大功率的条件例3-16试求例3-11中负载电阻RL的功率。若RL为可调电阻，问RL为何值时获得的功率最大？其最大功率是多少？由此总结出负载获得最大功率的条件。解：（1）利用例3-11的计算结果可得：（2）若负载是可变电阻，由图(d)，可得则RL从网络中所获得的功率为上式说明：负载从电源中获得的功率取决于负载本身的情况。当负载开路（无穷大电阻）或短路（零电阻）时，功率皆为零。当负载电阻在零到无穷大之间变化时负载可获得最大功率。这个功率最大值应发在的时候，经算得:

综上所述，负载获得最大功率的条件是负载电阻等于等效电源的内阻即RL=Req，电路的这种工作状态称为电阻（或阻抗）匹配。电阻匹配的概念在电子技术中有着重要的应用，有关内容可参阅变压器中的相关内容。I5I5已知：R1=5

、R2=5

R3=10、R4=5US

=12V、R5=10BADCUS–+R3R4R1R2R5有源二端网络图(b)R5BADCUS–+R3R4R1R2图(a)【补充】试用戴维南定理求电流I5。(1)求开路电压UOCUOC+–I1I2

UOC=I1R2–I2R4=(51.2–5

0.8)V

=2V或：

UOC=I2R3–I1R1=2V

解：先将a图中点划线框内的有源二端线性网络，等效为一个电压源模型，如图(b)。US–+ACR3R4R1R2DB图(c)解:

(2)求等效电源的内阻Ri从a、b看进去，R1和R2并联，R3和R4并联，然后再串联。CR3R4R1R2DBRi电压源短路图(d)解：(3)画出等效电路求电流I5I5ABDCUS–+R3R4R1R2R5UOCRi+_R5BD图(e)

若要通过电桥对角线支路的电流I5＝0（电桥平衡），则需UOC＝0。

利用电桥的平衡原理，当3个桥臂的电阻为已知时，则可准确地测出第4桥臂的电阻。电桥平衡条件3.7含受控源电路的等效变换3.7.1受控源3.7.2含受控源电路的等效变换在电子电路中广泛使用各种晶体管、运算放大器等多端器件。这些多端器件的某些端钮的电压或电流受到另一些端钮电压或电流的控制。为了模拟多端器件各电压、电流间的这种耦合关系，需要定义一些多端电路元件(模型)。本节介绍的受控源是一种非常有用的电路元件，常用来模拟含晶体管、运算放大器等多端器件的电子电路。从事电子、通信类专业的工作人员，应掌握含受控源的电路分析方法。3.7含受控源电路的等效变换

受控源又称为非独立源。一般来说，一条支路的电压或电流受本支路以外的其它因素控制时统称为受控源。受控源由两条支路组成，其第一条支路是控制支路，呈开路或短路状态；第二条支路是受控支路，它是一个电压源或电流源，其电压或电流的量值受第一条支路电压或电流的控制。

受控源可以分成四种类型，分别为:（1）电流控制的电压源(CCVS)（2）电流控制的电流源(CCCS)（3）电压控制的电流源(VCCS)（4）电压控制的电压源(VCVS)3.7.1受控源每种受控源由两个线性代数方程来描述：（r具有电阻量纲，称为转移电阻）1.电流控制的电压源(CCVS)2.电流控制的电流源(CCCS)（α无量纲，称为转移电流比）

CCCSCCVSμ无量纲，称为转移电压比

4.电压控制的电压源(VCVS)3.电压控制的电流源(VCCS)g具有电导量纲，称为转移电导

VCVSVCCSRLR0+–USIU+–电压源模型电流源模型U+–R0UsR0ISIRL

由独立电源和线性电阻构成的二端网络，就端口特